UKA
AD SIA
RÓWNOLEGA
YCH
Układ sił równoległych jest to taki układ w którym linie działania wszystkich sił są do
siebie równoległe.
P1 P2 P4 P5
P3
P
Układ sił równoległych mo\
na zastąpić siłą wypadkową P w której linia
działania jest równoległa do linii działania danych sił a jej wartość równa się
sumie algebraicznej rzutów sił na oś skierowaną zgodnie z układem sił.
Współrzędne środka sił równoległych wyznaczamy obracając wszystkie siły o kąt
prosty, po wcześniejszym określeniu wypadkowej P.
n
P = Pi
"
i=1
Środek sił równoległych obliczamy ze wzoru:
n n
yi Å" Pi
"x Å" Pi "
i
i=1 i=1
xc = yc =
n n
"P "P
i i
i=1 i=1
ÅšRODKI CI
śKOŚCI
Åšrodkiem ciÄ™\
kości bryły materialnej nazywamy graniczne poło\
enie środka
sił równoległych, które są środkiem cię\
kości poszczególnych cząstek bryły
przy zało\
eniu, \
e ka\
dy wymiar cząstki bryły dą\
y do zera.
y
Q
yi
Qi = "  elementarny ciÄ™\
ar
"Q
"
"
xi
x
Dla takiego układu środki cię\
kości wyznaczamy ze wzorów:
n
n n
"x Å" Qi
i
yi Å"Qi
" "z Å"Qi
i
i=1
i=1 i=1
xc =
yc = zc =
n
n n
"Q
i
"Q "Q
i i
i=1
i=1 i=1
Je\
eli analizowana bryła jest jednorodna, tzn. cię\
ar właściwy ł jest stały w
Å‚
Å‚
Å‚
ka\
dym elementarnym ciÄ™\
arze Qi, przy objętości elementarnej "Vi to dzieląc
"
"
"
przez ciÄ™\
ar właściwy ł otrzymamy:
Å‚
Å‚
Å‚
n n n
yi Å" "Vi zi Å" "Vi
"x Å" "Vi " "
i
i=1 i=1 i=1
xc = yc = zc =
n n n
"V "V "V
i i i
i=1 i=1 i=1
PrzechodzÄ…c do granicy, zale\
ności na środki cię\
kości przybierają postać:
x Å" "V y Å" "V z Å" "V
+"
+" +"
V
V
V
zc =
yc =
xc =
V
V
V
V =
gdzie:
+""V
V
Zale\
ności na środki cię\
kości brył są słuszne równie\
dla figur płaskich
o powierzchni całkowitej S:
y Å" "S
x Å" "S
z Å" "S
+"
+"
+"
S
S
S
yc =
xc =
zc =
S
S
S
S =
gdzie:
+""S
S
podobnie jak dla linii o długości L:
z Å" "L
y Å" "L
x Å" "L
+"
+"
+"
L
L
L
zc =
yc =
xc =
L
L
L
L =
+""L
gdzie:
L
Twierdzenia wynikające ze wzorów na środki cię\
kości:
1 Åšrodek ciÄ™\
kości bryły, figury płaskiej lub linii (układu) mającej środek
symetrii le\
y w tym środku;
2 Je\
eli układ ma płaszczyznę symetrii, to środek cię\
kości le\
y na tej
płaszczyz
nie;
3 Je\
eli układ ma oś symetrii, to środek cię\
kości le\
y na tej osi;
4 Je\
eli układ ma dwie lub więcej osi symetrii, to środek cię\
kości le\
y w
punkcie przecięcia się tych osi,
5 Rzut środka cię\
kości figury płaskiej na płaszczyznę jest środkiem cię\
kości
rzutu tej figury na daną płaszczyznę.
PIERWSZE TWIERDZENIE GULDINA
Pole powierzchni S powstałej wskutek obrotu płaskiej linii dookoła płaskiej osi
le\
ącej w płaszczyz
nie tej linii jest równe długości tej linii L pomno\
onej przez
długość okręgu 2Ą
Ä„xc:
Ä„
Ä„
S = L Å" 2Ä„xc
gdzie: xc  środek cię\
kości linii L
DRUGIE TWIERDZENIE GULDINA
Objętość bryły V powstałej wskutek obrotu figury płaskiej S dookoła osi le\
Ä…cej w tej
płaszczyz
nie i nie przecinającej jej równa się iloczynowi jej powierzchni S przez
długość jej obrotu 2Ą
Ä„xc:
Ä„
Ä„
V = S Å" 2Ä„xc
Åšrodki ciÄ™\
kości wybranych figur płaskich:
y
r
r sinÄ…
L
- dla linii łuku koła:
xc =
x
Ä…
Ä…
Ä…
r
2r
xc =
- dla linii półkola:
Ä„
y
r
2
r sinÄ…
x
Ä…
- dla wycinka koła:
3
xc =
Ä…
Ä…
4 r
xc = Å"
- dla półkola:
3 Ä„
y
r
x
Ä…
4 r sin3 Ä…
Ä…
xc = Å"
- dla linii łuku koła:
3 2Ä… - sin2 Ä…
r