Granice funkcji i ciągłość
1 marca 2012
1. Znajomość definicji Heinego oraz definicji Cauchy ego - granice właści-
we i niewłaściwe, w puncie p " R oraz w +" i -", granica lewo- i
prawostronna
2. Umiejętność udowodnienia ile wynoszą te granice w konkretnych przy-
kładach (również niewłaściwe, w +" i -" oraz jednostronne - prze-
czytać sobie rozwiązane przykłady w zbiorach zadań!)
3. Wykazywanie, że granica (właściwa/ niewłaściwa/ prawostronna/ le-
wostronna/. . . ) nie istnieje.
4. Znajomość twierdzeń dotyczących granic (tabelka na końcu rozdziału
w zbiorze zadań). Umiejętność udowodnienia tych twierdzeń (również
limx0 sin x z wykładu oraz te z twierdzeń, których nie omówiliśmy do-
x
kładnie na ćwiczeniach - poszukać w książkach, do 2-3 z nich jeszcze
wrócimy w przyszłym tygodniu).
5. Umiejętność wykorzystania powyższych twierdzeń w konkretnych przy-
kładach.
6. Własności dla granic funkcji (suma funkcji, różnica, iloczyn, iloraz itp.).
7. Umiejętność obliczania granic z wykorzystaniem definicji Heinego ba-
zując na wiedzy dotyczącej granic ciągów (przykłady takie jak rozwią-
zywane na zajęciach limx2+ ln(x + 2), czy limx0+ xx).
8. Ciągłość funkcji - znajomość obu definicji.
9. Badanie ciągłości z obu definicji (szukanie zbioru punktów ciągłości,
sprawdzanie, czy funkcja jest globalnie ciągła): m.in. przykłady funk-
cji określonych różnymi wzorami na różnych przedziałach, przykłady
funkcji określone różnymi wzorami na zbiorze liczb wymiernych i nie-
wymiernych
1
10. Badanie ciągłości funkcji korzystając z wiadomości o granicach funkcji
(rownież przykłady z parametrem).
11. Dookreślanie funkcji w punkcie, w którym nie była wcześniej określona
tak, aby była ciągła.
12. Wykorzystanie własności ciągłości funkcji przy liczeniu granic (trzeba
umieć stosować i wiedzieć, w którym miejscu się tę własność stosuje).
13. Szukanie asymptot funkcji.
14. Własności funkcji ciągłych: iloczyn i suma funkcji ciągłych, iloraz (czy
zawsze?), złożenie, własność Darboux (z zastosowaniami).
15. Funkcja ciągła, jednostajnie ciągła, Lipschitzowska, Hoelderowska i za-
leżności miedzy tymi rodzinami funkcji. Znajomość konkretnych przy-
kladów: funkcja ciągła, która nie jest jednostajnie ciągła, funkcja jed-
nostajnie ciągła, która nie jest Lipschitza itp. Kiedy funkcja ciągła jest
automatycznie jednostajnie ciągła? Umiejetność sprawdzania (z defini-
cji) czy te własności są spełnione. (Do tego tematu jeszcze na chwilę w
przyszłym tygodniu wrócimy.)
2