PRZYKAADOWE ZADANIA TEORETYCZNE. KOLOKWIUM II.
1. Podać definicję różniczki funkcji. Korzystając z różniczki obliczyć wartości przybliżone:
4
arctg 0.98 , e-0.02 , 15.96
2. Sformułować i udowodnić twierdzenie Rolle'a. Zbadać czy można zastosować to twierdzenie do
3
funkcji: f ( x ) = x -1 i g( x ) = x -1 określonych na <0,2>.
1
3. Sformułować twierdzenie Lagrange'a. Znalezć punkty na wykresie funkcji f ( x ) = w których
1+ x
1
ć3, .
styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej przez punkty (0,1)i
4
Ł ł
4. Sformułować twierdzenie o wartości średniej. Korzystając z tego twierdzenia uzasadnić,że
x
1.("x > 0) < ln(1+ x ) < x
1+ x
2.("x R) ex ł 1+ x
3.("x, y R) arctgx - arctgy Ł x - y
4.("x, y -1,1 ) arsin x - arcsin y ł x - y
5. Sformułować twierdzenie o wartości średniej i wykazać, że jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
i
ma pochodną w (a,b) oraz ("x ( a,b )) f ' ( x ) = 0, to f jest funkcją stałą na (a,b).
6. Korzystając z twierdzenia o wartości średniej wykazać, że jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale i
ma pochodną w (a,b) oraz ("x ( a,b )) f ' ( x ) ł 0, to f jest funkcją niemalejącą na (a,b).
7. Korzystając z twierdzenia o wartości średniej wykazać tożsamości:
1- x2
("x (0,1 ) arccos x = arcsin 1- x2 = arctg
x
8. Sformułować twierdzenie Taylora. Jakim wielomianem czwartego stopnia można przybliżyć funkcję
f (x) = ln(1+ x )?
9. Sformułować i udowodnić lemat Fermata. Podać przykład funkcji, która ma pochodną równą zero w
pewnym punkcie, ale nie osiąga w nim ekstremum.
10. Sformułować i udowodnić I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego.
11. Sformułować i udowodnić II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego.
12. Sformułować i udowodnić warunek konieczny istnienia punktu przegięcia dla funkcji klasy C2(( a,b )).
13. Sformułować warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia dla funkcji klasy C2(( a,b )).
14. Sformułować i udowodnić twierdzenie o całkowaniu przez części.
2
15. Podać definicję funkcji pierwotnej dla funkcji f. Wykazać, że funkcje F( x ) = 3- cos x i
1
G( x ) = 2 - cos 2x są funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f. Znalezć tę funkcję.
2
16. Wykazać, że całkowanie jest operacją liniową, tzn: dla dowolnych całkowalnych na przedziale I R
funkcji f i g i dowolnych stałych C1 ,C2 prawdziwa jest równość:
f ( x )dx + C2 x )dx
1
(C f ( x )+ C2 g( x ))dx = C1 g(
17. Sformułować twierdzenie pierwsze o całkowaniu przez podstawienie i korzystając z tego twierdzenia
udowodnić, że
ó
u ( x )
("u C1( I ),u( x ) ą 0) dx = ln| u( x )| +C
u( x )
y
18. Podać definicję granicy funkcji wielu zmiennych. Wykazać, że nie istnieje lim
(x,y)(0,0)
x2 + y
19. Podać definicję pochodnej cząstkowej funkcji wielu zmiennych. Znalezć pochodne cząstkowe funkcji
xy
( x, y ) ą (0,0)
2
f ( x, y ) =
x2 + y
0
(x, y)= (0,0)
oraz wykazać, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie w (0,0).
sin x
20. Sformułować twierdzenie Schwarza. Sprawdzić dla funkcji f ( x, y ) =
sin y
21. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej wykazać, że każda funkcja postaci
2
z(x,t)= f ( x + at )+ g( x - at ), gdzie f i g należą do C (R), jest rozwiązaniem równania struny
2 2
ś z ś z
= a2
2
śt śx2
22. Podać definicję pochodnej kierunkowej. Wykazać, że pochodne cząstkowe są pochodnymi w kierunku osi
współrzędnych.
23. Podać definicję gradientu funkcji. Wykazać, że gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego
wzrostu funkcji.
24. Podać definicję różniczki funkcji. Obliczyć różniczkę funkcji f ( x, y ) = x2 + y2 w punkcie P0 = (-3,4)
25. Sformułować twierdzenie Lagrange'a o przyrostach. Wykazać, że jeżeli pochodne funkcji f są ciągłe na
zbiorze A, to funkcja f jest ciągła na A.
26. Sformułować twierdzenie Lagrange'a o przyrostach. Wykazać, że jeżeli pochodne cząstkowe funkcji f są
tożsamościowo równe zeru na zbiorze A, to funkcja f jest stała na A.
27. Podać definicję ekstremum lokalnego funkcji n zmiennych. Sformułować warunek konieczny ekstremum
dla funkcji klasy C1(D), D Rn .
28. Znalezć punkty stacjonarne i korzystając z definicji sprawdzić, czy funkcja f (x, y)= x4 - y4 ma ekstrema
lokalne.
29. Sformułować warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych.
Wyszukiwarka