Wykład 17 Witold Obłoza 3 kwietnia 2011 WYZNACZNIKI DEFINICJA 236 Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}. k DEFINICJA 237 Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny. TWIERDZENIE 238 Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k. WYZNACZNIKI DEFINICJA 236 Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}. k DEFINICJA 237 Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny. TWIERDZENIE 238 Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k. WYZNACZNIKI DEFINICJA 236 Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}. k DEFINICJA 237 Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny. TWIERDZENIE 238 Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k. WYZNACZNIKI DOWÓD: aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) = p"Sn p(j)=k aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) = (-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) = (-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k, al p(l) l < j, gdzie bl s(l) = al+1 p(l+1) l e" j. WYZNACZNIKI DOWÓD: aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) = p"Sn p(j)=k aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) = (-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) = (-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k, al p(l) l < j, gdzie bl s(l) = al+1 p(l+1) l e" j. WYZNACZNIKI DOWÓD: aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) = p"Sn p(j)=k aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) = (-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) = (-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k, al p(l) l < j, gdzie bl s(l) = al+1 p(l+1) l e" j. WYZNACZNIKI DOWÓD: aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) = p"Sn p(j)=k aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) = (-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) = (-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k, al p(l) l < j, gdzie bl s(l) = al+1 p(l+1) l e" j. WYZNACZNIKI DOWÓD: aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) = p"Sn p(j)=k aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) = (-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) = (-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k, al p(l) l < j, gdzie bl s(l) = al+1 p(l+1) l e" j. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 239 Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k. l=1 l=1 TWIERDZENIE 240 Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe. Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przekatnej. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 239 Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k. l=1 l=1 TWIERDZENIE 240 Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe. Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przekatnej. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 239 Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k. l=1 l=1 TWIERDZENIE 240 Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe. Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przekatnej. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 241 Niech dane beda dwie macierze kwadratowe A = {ai j}i,j"Z , n B = {bi j}i,j"Z , n stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k
wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie ai j dla j = k
ci j = . ai k + bi k WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 241 Niech dane beda dwie macierze kwadratowe A = {ai j}i,j"Z , n B = {bi j}i,j"Z , n stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k
wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie ai j dla j = k
ci j = . ai k + bi k WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 241 Niech dane beda dwie macierze kwadratowe A = {ai j}i,j"Z , n B = {bi j}i,j"Z , n stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k
wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie ai j dla j = k
ci j = . ai k + bi k WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 242 Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie znak wyznacznika. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 242 Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie znak wyznacznika. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 242 Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie znak wyznacznika. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 242 Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie znak wyznacznika. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 242 Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie znak wyznacznika. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 242 Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie znak wyznacznika. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to wyznacznik jest równy zero. Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie. WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI TWIERDZENIE 243 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p}, B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p}, cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q}, ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q} wtedy det C = det A det B. TWIERDZENIE 244 Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n}, B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B. DOWÓD: Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j. l=1 WYZNACZNIKI Utwórzmy macierz ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p}, 1 i=j, gdzie i j = 0 i = j.
WYZNACZNIKI Utwórzmy macierz ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p}, 1 i=j, gdzie i j = 0 i = j.
WYZNACZNIKI Utwórzmy macierz ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p}, 1 i=j, gdzie i j = 0 i = j.
WYZNACZNIKI Utwórzmy macierz ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p}, 1 i=j, gdzie i j = 0 i = j.
WYZNACZNIKI Utwórzmy macierz ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p}, 1 i=j, gdzie i j = 0 i = j.
WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n} cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n}, WYZNACZNIKI Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy macierz C(2). Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p}, WYZNACZNIKI Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy macierz C(2). Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p}, WYZNACZNIKI Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy macierz C(2). Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p}, WYZNACZNIKI Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy macierz C(2). Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p}, WYZNACZNIKI Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy macierz C(2). Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n}, ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p}, WYZNACZNIKI Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy ł ł d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2nł ł ł ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł ł ł łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . annł ł ł C(n) = . ł ł 0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0 ł ł ł ł 0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0 ł ł ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł 0 0 . . . 0 0 0 . . . -1 Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że |A B| = |A||B|. WYZNACZNIKI Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy ł ł d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2nł ł ł ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł ł ł łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . annł ł ł C(n) = . ł ł 0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0 ł ł ł ł 0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0 ł ł ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł 0 0 . . . 0 0 0 . . . -1 Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że |A B| = |A||B|. WYZNACZNIKI Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy ł ł d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2nł ł ł ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł ł ł łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . annł ł ł C(n) = . ł ł 0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0 ł ł ł ł 0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0 ł ł ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł 0 0 . . . 0 0 0 . . . -1 Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że |A B| = |A||B|. WYZNACZNIKI DEFINICJA 245 Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza jednostkowa. TWIERDZENIE 246 Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.
TWIERDZENIE 247 Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy łniech łT A11 . . . A1n 1 ł łł istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . . |A| An1 . . . Ann WYZNACZNIKI DEFINICJA 245 Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza jednostkowa. TWIERDZENIE 246 Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.
TWIERDZENIE 247 Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy łniech łT A11 . . . A1n 1 ł łł istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . . |A| An1 . . . Ann WYZNACZNIKI DEFINICJA 245 Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza jednostkowa. TWIERDZENIE 246 Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.
TWIERDZENIE 247 Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy łniech łT A11 . . . A1n 1 ł łł istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . . |A| An1 . . . Ann WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), WYZNACZNIKI DOWÓD: Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy n ci j = ai lAj l = i j |A|. l=1 DEFINICJA 248 Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora. TWIERDZENIE 249 Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn ( to samo dla wierszy ), b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ), c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla wierszy ), MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ). UWAGA 250 Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego wartości na elementach pewnej bazy. TWIERDZENIE 251 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) m nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla m i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ). UWAGA 250 Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego wartości na elementach pewnej bazy. TWIERDZENIE 251 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) m nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla m i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ). UWAGA 250 Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego wartości na elementach pewnej bazy. TWIERDZENIE 251 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) m nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla m i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ). UWAGA 250 Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego wartości na elementach pewnej bazy. TWIERDZENIE 251 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) m nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla m i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ). UWAGA 250 Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego wartości na elementach pewnej bazy. TWIERDZENIE 251 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) m nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla m i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 252 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech n x = Łn ąivi. i=1 Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi. k=1 i=1 MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 252 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech n x = Łn ąivi. i=1 Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi. k=1 i=1 MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 252 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech n x = Łn ąivi. i=1 Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi. k=1 i=1 MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 252 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech n x = Łn ąivi. i=1 Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi. k=1 i=1 MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 252 Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś (w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W. Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech n x = Łn ąivi. i=1 Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi. k=1 i=1 MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 253 Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz MA = MA. DEFINICJA 254 Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V. Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) n nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla n i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 253 Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz MA = MA. DEFINICJA 254 Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V. Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) n nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla n i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 253 Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz MA = MA. DEFINICJA 254 Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V. Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) n nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla n i=1 k " Zn. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO UWAGA 255 Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest macierza odzorowania identycznościowego przestrzeni V z baza (v1, v2, . . . , vn) w przestrzeń V z baza (v1, v2, . . . , vn). Macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest macierza odwrotna do macierzy przejścia od bazy(v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn). MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO UWAGA 255 Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest macierza odzorowania identycznościowego przestrzeni V z baza (v1, v2, . . . , vn) w przestrzeń V z baza (v1, v2, . . . , vn). Macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest macierza odwrotna do macierzy przejścia od bazy(v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn). MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 256 Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, n n oraz x = ąivi = ąivi to i=1 i=1 ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy i=1 v do bazy v . TWIERDZENIE 257 Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni W Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza odwzorowania A w bazach v , w . MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 256 Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, n n oraz x = ąivi = ąivi to i=1 i=1 ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy i=1 v do bazy v . TWIERDZENIE 257 Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni W Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza odwzorowania A w bazach v , w . MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 256 Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, n n oraz x = ąivi = ąivi to i=1 i=1 ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy i=1 v do bazy v . TWIERDZENIE 257 Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni W Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza odwzorowania A w bazach v , w . MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 256 Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, n n oraz x = ąivi = ąivi to i=1 i=1 ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy i=1 v do bazy v . TWIERDZENIE 257 Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V, a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni W Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza odwzorowania A w bazach v , w . MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 258 Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przes-trzeni V, a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz MA w v to macierz MA w v = Q-1MA w vP, gdzie P jest macierza przejścia od bazy v do v , a Q jest macierza przejścia od bazy w do w jest macierza odwzorowania A w bazach v , w . MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO TWIERDZENIE 258 Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przes-trzeni V, a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz MA w v to macierz MA w v = Q-1MA w vP, gdzie P jest macierza przejścia od bazy v do v , a Q jest macierza przejścia od bazy w do w jest macierza odwzorowania A w bazach v , w . MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DEFINICJA 259 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V, złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W. DEFINICJA 260 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W, złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f. TWIERDZENIE 261 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy dimker f + dimim f = dim V. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DEFINICJA 259 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V, złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W. DEFINICJA 260 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W, złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f. TWIERDZENIE 261 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy dimker f + dimim f = dim V. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DEFINICJA 259 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V, złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W. DEFINICJA 260 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W, złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f. TWIERDZENIE 261 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy dimker f + dimim f = dim V. MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DOWÓD: Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f. Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli 1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe 0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów v1, v2, . . . , vn. Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) = f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) + + f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn). MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DOWÓD: Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f. Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli 1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe 0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów v1, v2, . . . , vn. Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) = f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) + + f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn). MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DOWÓD: Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f. Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli 1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe 0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów v1, v2, . . . , vn. Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) = f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) + + f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn). MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DEFINICJA 262 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f jest a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0}, b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W, c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W. TWIERDZENIE 263 n Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr j=1 wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy {aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r. DOWÓD: Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć, łA ł a11 . . . a1r ł. że det . . . . . . . .łł = 0.
ar1 . . . arr MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DEFINICJA 262 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f jest a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0}, b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W, c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W. TWIERDZENIE 263 n Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr j=1 wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy {aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r. DOWÓD: Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć, łA ł a11 . . . a1r ł. że det . . . . . . . .łł = 0.
ar1 . . . arr MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO DEFINICJA 262 Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f jest a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0}, b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W, c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W. TWIERDZENIE 263 n Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr j=1 wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy {aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r. DOWÓD: Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć, łA ł a11 . . . a1r ł. że det . . . . . . . .łł = 0.