Zadanie 1.
Znalez
ć minimalną wartość wyrażenia f(x,y,z)=2x-3y-5z+2 przy zadanych ograniczeniach:
x+y-z-2>=0, -x>=3+z+y, 2x+y=4+z, x>=0.
Podstawić po zmienna "x_opt" punkt w którym znajduje się wartość najmniejsza, pod zmienną
"w_opt" wartość funkcji f(x,y,z) w tym punkcie
Do rozwiÄ…zania zadania wykorzystujemy funkcjÄ™ SciLaba linpro(), funkcja f(x,y,z) jest bowiem
wyrażeniem liniowym. linpro() znajdzie wartość najmniejszą wyrażenia f1(x,y,z)=2x-3y-5z.
FunkcjÄ™ celu zapisujemy w postaci macierzowej jako:
x 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚yśł ïÅ‚- 3śł
f (x, y, z) = pT *
ïÅ‚ śł, p = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚- 5ûÅ‚
śł
ðÅ‚zśł ðÅ‚
ûÅ‚
Ograniczenia zapisujemy jako:
2x + y - z = 4
- x - y + z d" -2
x + y + z d" -3
Polecenia zapisujemy jako:
// parametr m okre la liczb ogranicze równo ciowych
p=[2;-3;-5], C=[2,1,-1;-1,-1,1;1,1,1], b=[4;-2;-3], m=1
// okre lenie zakresu w którym poszukujemy warto ci zmiennych x,y,z
ci=[0;-100000;-100000], cs=[100000;100000;100000]
[x_opt,lagr,f]=linpro(p,C,b,ci,cs,m)
w_opt= f+2
// uzyskane rozwi zanie: x_opt=[0;0.5;-3.5], w_opt=18
Zadanie 2.
Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi: y = cos(x)+8; y = x^2+2*x+4
39
35
31
27
23
19
15
11
7
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Jeden ze sposobów rozwiązania polegałby na znalezieniu punktów przecięcia się wykresów obu
funkcji, obliczenia dwóch całek pojedynczych, oraz ich różnicy.
Polecenia zapisujemy jako:
// znalezienie punktów przeci cia  wykorzystanie funkcji SciLaba
// fsolve()  tworzymy układ równa :
// y - cos(x)- 8 = 0
// y - x^2-2*x-4 = 0
function [y]=fst(z)
// w definiowanej funkcji przyjmujemy z=[x;y]
a=[0,0;-1,0]; b=[0,1;-2,1]; c=[-8;-4]; d=[-1,0;0,0]
y=a*z^2+b*z+c+d*cos(z)
endfunction
// u ycie funkcji fsolve()  pocz tkowym rozwi zaniem punkt (0,0)
xy1=fsolve([0;0],fst);
// znalezione rozwi zanie: xy1=[ 1.2959523; 8.2713968]
xy2=fsolve([-3;0],fst);
// znalezione rozwi zanie: xy2=[ - 3.0024159; 7.0096695]
// obliczenie całek pojedynczych
c1= integrate('cos(x)+8','x',xy1(1),xy2(1))
c2= integrate('x^2+2*x+4','x',xy1(1),xy2(1))
pole = c1-c2
// znalezione rozwi zanie: pole = 15.882402
Zadanie 3.
Zapisz funkcję o nazwie "styczne(x0,f,g)" która oblicza przybliżone rozwiązanie równania f(x)=0
wykorzystujÄ…c algorytm metody stycznych (patrz prezentacja Laboratorium nr 2) wykonujÄ…c 10
iteracji. Punktem startowym jest argument "x0", funkcjÄ… argument "f" , argument "g" oznacza
funkcję będącą pochodną funkcji "f"
Algorytm metody stycznych:
f (xi )
xi+1 = xi -
f '(xi )
Polecenia zapisujemy jako:
function x=styczne(x0,f,g)
for i=1:10
x=x0-f(x0)/g(x0)
x0=x
end
endfunction
Zadanie 3a.
Zapisz funkcję o nazwie "sieczne(x0,x1,f)" która oblicza przybliżone rozwiązanie równania f(x)=0
wykorzystujÄ…c algorytm metody siecznych (patrz prezentacja Laboratorium nr 2) wykonujÄ…c 10
iteracji. Punktami startowymi sÄ… argumenty "x0,x1", funkcjÄ… argument "f"
Algorytm metody siecznych:
(xi - xi-1)
xi+1 = xi - f (xi )
f (xi )- f (xi-1)
Polecenia zapisujemy jako:
function x=sieczne(x0,x1,f)
for i=1:10
x=x1-(x1-x0)*f(x1)/(f(x1)-f(x0))
x0=x1
x1=x
end
endfunction
Zadanie 4.
Oblicz przybliżoną wartość całki z funkcji f(x) = sin(2x)+x-3 na [0,10] przy użyciu kwadratury
złożonej - wzoru trapezów, dzieląc przedział całkowania na 5 części (np. wykorzystując funkcję
inttrap()).
Polecenia zapisujemy jako:
// u ycie funkcji linspace():
// wygenerowanie wektora 6 punktów dziel cych [0,10] na 5 cz ci
x=linspace(0,10,6)
y=sin(2*x)+x-3
c=inttrap(x,y)
// otrzymany wynik c=19.729104
Zadanie 4a.
Oblicz przyblizoną wartość całki z funkcji f(x) = sin(2x)+x-3 na [0,10] przybliżając ją funkcją
sklejaną w oparciu o punkty węzłowe {0,2,4,6,8,10} (wykorzystując funkcję intsplin()).
Polecenia zapisujemy jako:
x=[0,2,4,6,8,10]
y=sin(2*x)+x-3
c=intsplin(x,y)
// otrzymany wynik c= 18.784725