Kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa II, 2.XII.2004
1. Dane sa dwa ciagi (Xn), (Yn) zmiennych losowych. Dla n e" 1

zmienna Xn ma gestość gn(x) =n(1-n|x|)·1{|x|d" 1 , a Yn ma rozk zadany
lad
}

n
nastepujaco:

k-1 n2
k k 1 1
P (Yn = ) = 1 - · , k =1, 2, . . . , n2, P (Xn = n3) = 1 - .
n n n n
Udowodnić, że ciag Xn+Yn jest zbieżny wed rozk i wyznaczyć rozklad
lug ladu

graniczny.
2. W urnie znajduje sie 6 kul bialych i 4 czarne. Losujemy ze zwracaniem


aż do momentu, gdy wylosujemy 120 bia kul. Jakie jest prawdopodo-
lych
bieństwo tego, że losowaliśmy ponad 240 razy?
3. Dany jest ciag (Xn) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla

1 1
n e" 1, Xn ma rozk P (Xn = Ä…n) = , P (Xn =0) =1 - . Czy ten ciag
lad
2n n
spe warunek Lindeberga?
lnia
4. W urnie znajduje sie jedna bia kula. Wykonujemy nieskończenie
la

wiele losowań ze zwracaniem; po każdym losowaniu dok
ladamy jedna czarna
kule. Niech Sn oznacza liczbe bialych kul wyciagnietych po n losowaniach.


Zbadać zachowanie sie ciagu

Sn - ESn
" .
lnn
5. Zmienne losowe X, Y sa niezależne, przy czym X ma nastepujacy

1
rozk P (X = Ä…1) = , a Y ma rozk jednostajny na odcinku [0, 4].
lad: lad
2
Wyznaczyć rozklad zmiennej X · Y .

6. Dany jest ciag (µn) niezależnych zmiennych losowych o tym samym

1
rozk P (µn = Ä…1) = . Udowodnić, że ciag
ladzie
2

1
Xn = µiµj, n =1, 2, . . .
n
1d"ijest zbieżny wed rozk
lug ladu.
7. Dane sa niezależne zmienne X, Y, Z o tym samym symetrycznym
rozk takim, że dowolna liniowa kombinacja zmiennych X i Y ma ten
ladzie
sam rozk co zmienna Z. Wykazać, że X ma rozk Cauchy ego lub jest
lad, lad
równa 0 z prawdopodobieństwem 1.