Wykład 3 Funkcje zespolone 3.1 Funkcje zmiennej zespolonej Jeśli znamy regułe przypisuja ca liczbie zespolonej z liczbe zespolona w to
mówimy, że w jest funkcja z, co zapisujemy
w = f(z). (3.1) Jeśli według tej regułu jednej liczbie z odpowiada jedna liczba w to mamy funkcje jednowartościowa . Jeżeli jednej wartości z odpowiada wiele war-
tości w to otrzymujemy funkcje wielowartościowa . Ponieważ w = u + iv
jest liczba zespolona , która zależy od liczby zespolonej z = x + iy to f(z) = u(x,y) + iv(x,y). (3.2) Mówimy, że funkcja u to cześć rzeczywista funkcji f, natomiast v to jej
cześć urojona.
Przykład: Dla f(z) = z2 mamy w = z2 = (x + iy)2 = (x2 - y2) + 2ixy Sta d u(x,y) = x2 - y2 v(x,y) = 2xy . 1 Jeżeli ograniczamy sie tylko do pewnego podzbioru płaszczyzny zespo-
lonej D ‚" C, z której dziaÅ‚a funkcja to D nazywamy dziedzina funkcji f. Wtedy R = f(D) (3.3) to obraz dziedziny poprzez funkcje f. Zwykle staramy sie okreÅ›lić funkcje
na całej płaszczyznie zespolonej z wyja tkiem punktów, w których wartość funkcji jest nieskończona lub nieokreślona. Na przykład 1 f(z) = (3.4) 1 + z jest nieskończona w punkcie z = -1. Przykład: Funkcja w = z2 z dziedzina D D = {z = (x,y); x 0, y 0} odwzorowuje pierwsza ćwiartke płaszczyzny zespolonej w górna pół-
płaszczyzne
R = {w = (u,v); - " < u < ", v 0}. 3.2 Pot¸ caÅ‚kowita liczby zespolonej ega Liczbe zespolona można podnieść do potegi caÅ‚kowitej n, korzystaja c ze
wzoru zn = (reiĆ)n = rn einĆ (3.5) Otrzymujemy w ten sposób funkcje potegowa o wykładniku natutalnym
f(z) = zn (3.6) Dla z = eiĆ otrzymujemy wzór de Moivre a (cos Ć + i sinĆ)n = cos(nĆ) + i sin(nĆ) (3.7) Możemy przy jego pomocy wyprowadzić wzory trygonometryczne na wielo- krotność ka ta, na przykład (cos Ć + i sinĆ)2 = (cos2 Ć - sin2 Ć) + i(2sin Ć cos Ć) = cos(2Ć) + i sin(2Ć) i stad
cos(2Ć) = cos2Ć - sin2Ć (3.8) sin(2Ć) = 2 sinĆ cos Ć. (3.9) 2 Przykład: Policzmy " " (1 + i)100 = ( 2eiĄ/4)100 = ( 2)100 (eiĄ/4)100 = 250 e25Ąi = -250 . 3.3 Pierwiastki liczby zespolonej Zdefiniujemy n-ty pierwiastek liczby zespolonej korzystaja c ze wzoru 1/n 1/n " n z = z1/n = r eiĆ = r ei(Ć+2Ąk) (3.10) gdzie k " Z. Sta d ostateczny wzór
" i(Ć + 2Ąk) n z = r1/n exp (3.11) n Dla k = 0,1,... ,(n-1) otrzymujemy n różnych pierwiastków. Sta d funk- cja " n f(z) = z (3.12) jest wielowartościowa, tzn. tej samej wartości z odpowiada n różnych wartości pierwiastka. Przykład Obliczmy trzeci pierwiastek z jedynki " 3 1 = e2Ąk i/3 , k = 0,1,2 (3.13) i sta d trzy pierwiastki z1 = 1 " 3 z2 = e2Ą i/3 = -1 + i 2 2 " 3 z3 = e4Ą i/3 = -1 - i. (3.14) 2 2 3 3.4 Funkcje trygonometryczne Z równań eiy = cosy + i siny (3.15) e-iy = cosy - i siny (3.16) wyliczymy cosinus i sinus zmiennej rzeczywistej y eiy + e-iy eiy - e-iy cos y = , siny = . (3.17) 2 2i Zastepuja c y zmienna zespolona z, otrzymujemy jako definicje
eiz + e-iz eiz - e-iz cosz = sinz = (3.18) 2 2i Funkcje te sa określone na całej płaszczyznie zespolonej. W przeciwieństwie do argumentu zespolonego moduł zespolonych funkcji trygonometrycznych nie jest ograniczony, gdyż dla y ą " znajdujemy
ei(iy) + e-i(iy) e-y + ey
|cos(iy)| = = ".
2 2 Funkcje tangens i cotangens zdefiniowane sa w nastepuja cy sposób
sinz cos z tg z = , ctg z = . (3.19) cos z sinz Aatwo udowodnić, że dla argumentu zepolonego wcia ż słuszna jest toż- samość cos2 z + sin2 z = 1. (3.20) Ponadto, cosinus jest funkcja parzysta , natomiast sinus nieparzysta cos(-z) = cosz , sin(-z) = -sin(z). (3.21) Przykład Policzmy 1 cos(5i) = (e-5 + e5). 2 4 3.5 Funkcje hiperboliczne Definiuje sie funkcje hiperboliczne określone na całej płaszczyznie zespolonej
ez + e-z ez - e-z coshz = sinhz = . (3.22) 2 2 Zachodzi dla nich cosh2 z - sinh2 z = 1. (3.23) Podobnie jak dla funkcji trygonometrycznych, cosh jest funkcja parzysta , natomiast sinh jest funkcja nieparzysta : cosh(-z) = cosh z (3.24) sinh(-z) = -sinhz . (3.25) W analogii do funkcji trygonometrycznych defniujemy również tangens i cotangens hiperboliczny sinhz coshz tghz = , ctghz = . (3.26) coshz sinhz Przykład Policzmy eiĄ + e-iĄ cosh(iĄ) = = cos Ą = 1 2 eiĄ - e-iĄ sinh(iĄ) = = isinĄ = 0. 2 Przykład ten ilustruje prosty zwia zek pomiedzy funkcjami hiperbolicz-
nymi i trygonometrycznymi cosh(iz) = cosz sinh(iz) = i sinz . (3.27) 5 3.6 Logarytm zmiennej zespolonej Logarytm zmiennej zespolonej z = 0 definiuje sie jako funkcje odwrotna do
funkcji wykładniczej, w = lnz , <=> ew = z (3.28) Sta d wynika eln z = z (3.29) Ze wzgledu na okresowość funkcji wykładniczej
ew = ew+2Ąk i (3.30) logarytm jest funkcja wieloznaczna dla k " Z. Tej samej wartości z odpo- wiada wiec nieskończenie wiele wartości logarytmu
lnz = w + 2Ąk i . (3.31) Dla postaci biegunowej z = |z|eiĆ otrzymujemy lnz = ln|z| + i(Ć + 2Ąk) (3.32) gdyż eln z = eln|z| + i(Ć + 2Ąk) = eln |z| ei(Ć + 2Ąk) = |z|eiĆ = z . Wartości logarytmu dla ustalonego n nazywamy gałezia logarytmu.
" " ln(1 + i) = ln 2eiĄ/4 = ln 2 + i(Ą/4 + 2Ąni). 6 Logarytm jest określony na całej płaszczyznie zespolonej z wyja tkiem dowolnej półprostej o pocza tku w punkcie z = 0 zwanej cieciem. Zwykle
wybiera sie ja wzdłuż ujemnej półosi rzeczywistej. Wtedy gała z główna lo-
garytmu jest zdefiniowana dla ka ta -Ą < Ć Ą . (3.33) Wartość logarytmu wykazuje skok przy przejściu przez ciecie. Tak wiec dla
liczb rzeczywistych mniejszych od zera mamy tuż powyżej ciecia
lnz = ln|z| + iĄ , (3.34) a wykonuja c pełny obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy tuż poniżej ciecia
lnz = ln|z| - iĄ . Nie można wiec określić jednoznacznie wartości funkcji wzdłuż ciecia. Mo-
żemy natomiast rozważyć sytuacje, w której po wykonaniu pełnego obrotu
przechodzimy na inny płat Riemanna płaszczyzny zespolonej. Logarytm jest wtedy funkcja jednoznaczna , określona na nieskończonej rodzinie takich płatów. Pocza tek ciecia w punkcie z = 0 nazywamy punktem rozgałezienia.
Przy jego obiegu wartość funkcji nie wraca do wartości wyjściowej wykazujac
niecia gÅ‚ość (skok). 1. Z definicji logarytmu i wÅ‚asnoÅ›ci eksponenty otrzymujemy eln(z1·z2) = z1 · z2 = eln z1 eln z2 = eln z1 + lnz2 . Tak wec logarytm iloczynu to suma logarytmów z dokÅ‚adnoÅ›cia do czynnika 2Ä„k i ln(z1 · z2) = lnz1 + lnz1 + 2Ä„k i (3.35) 2. Podobnie, ze wzgledu na
z1 ln = lnz1 - lnz1 + 2Ąk i (3.36) z2 7 3. Policzmy jeszcze dla całkowitego n n n eln(z ) = zn = elnz = en lnz i stad
ln(zn) = n lnz + 2Ä„k i (3.37) 3.7 Pot¸ zespolona ega Operacje podnoszenia do zespolonej potegi w przy zespolonej podstawie
z = 0 definiujemy w nastepuja cy sposób
zw = ew ln z (3.38) W wyniku funkcja f(z) = zw (3.39) jest wielowartościowa ze wzgledu na wystepuja cy w definicji logarytm. W
zwia zku z tym nie sa ogólnie słuszne relacje znane z przypadku rzeczy- wistego zw zu = zw+u
w w (z1z2)w = z1 z2
(zw)u = zwu . (3.40)
Przykład 1. Policzmy 1i = ei ln 1 = ei{(0+2Ąni)} = e-2Ąn . (3.41) Otrzymaliśmy nieskończenie wiele wartości dla n " Z. Dla 1 " i1/2 = e(ln i)/2 = ei(Ą/2+2Ąn)/2 = eiĄ/4 eiĄn = ą (1 + i) 2 mamy tylko dwie wartości. 2. Korzystajac z wyniku (3.41) znajdujemy
i (1i)i = e-2Ä„n = ei ln e-2Ä„n= ei {-2Ä„n+2Ä„k i} = e-2Ä„n i-2Ä„k , gdzie k,n " Z. Podczas, gdy 1i·i = 1-1 = e- ln 1 = e-2Ä„ni = (1i)i .