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1
Aula 10 – Parte 2
1
Sistemas de Amortização................................................................................................................... 2
1.1
Conceito ............................................................................................................................................ 2
1.2
Sistema Francês de Amortização ............................................................................................ 2
1.2.1
Tabela Price ............................................................................................................................ 4
1.2.2
Descrição das parcelas no Sistema Francês .............................................................. 4
1.2.3
Exercícios Resolvidos .......................................................................................................... 5
1.3
Sistema de Amortização Constante (SAC) ........................................................................ 21
1.3.1
Exercícios Resolvidos ........................................................................................................ 27
2
Relação das questões comentadas ............................................................................................................ 35
3
Gabaritos .................................................................................................................................................... 41
4
Tabelas Financeiras ............................................................................................................................ 42
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2
1 Sistemas de Amortização
1.1
Conceito
A amortização de um empréstimo é o processo de sua liquidação por meio de
pagamentos periódicos (anuidades). Há vários processos para amortizar o
capital emprestado de modo que estudaremos os seguintes: Sistema Francês
(Tabela Price), Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de
Amortização Misto (SAM) e o Sistema Americano (SA).
Ao estudar um sistema de amortização tem-se como principal objetivo a
descrição do estado da dívida ao longo do tempo: a decomposição de cada
prestação (juros + quota de amortização) e o saldo devedor após o pagamento
de cada prestação.
Em suma, as prestações são compostas de duas parcelas: as amortizações,
que correspondem ao pagamento da dívida; os juros que correspondem à
remuneração do capital emprestado.
1.2
Sistema Francês de Amortização
Esse sistema admite prestações constantes e periódicas ao longo de todo o
período de amortização.
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros.
A quota de amortização diminui o valor da dívida e os juros remuneram o
capital.
Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são
formadas por duas parcelas:
- as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital
emprestado.
- os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado.
= +
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro.
Já que a prestação é constante, à medida que são pagas as parcelas, a quota
de amortização vai aumentando enquanto a quota de juros vai diminuindo.
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3
Esse sistema corresponde à sequência de anuidades periódicas postecipadas e
esquematizadas da seguinte forma:
Onde D é o valor do empréstimo na data 0 e P é o valor de cada
prestação.
Trata-se na realidade do cálculo do valor atual de uma sequência uniforme de
capitais.
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela
fórmula a seguir:
= ∙
¬
Onde
n
i
a
¬
é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
Utilizaremos esta expressão caso a questão forneça a tabela financeira. Caso
contrário, utilizaremos o fato de que:
¬
=
(1 + )
− 1
∙ (1 + )
= ∙
(1 + )
− 1
∙ (1 + )
Podemos também escrever a prestação em função do valor da dívida:
=
¬
Ou ainda:
= ∙
1
¬
Onde o número
¬
é chamado de Fator de Recuperação de Capital.
1
2
3
4
5
6
7
8
n
P
P
P
P
P
P
P
P
P
0
D
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4
1.2.1 Tabela Price
Sabemos que, para aplicar as fórmulas de Matemática Financeira, a unidade da
taxa de juros deve ser a mesma do número de períodos. Se por acaso isso não
acontecer, isto é, estivermos trabalhando com taxas nominais, o Sistema
Francês será chamado de Sistema Price ou Tabela Price, em homenagem ao
teólogo, filósofo e especialista em finanças e seguros Richard Price.
Trata-se apenas de um caso particular do Sistema Francês.
Em suma, o Sistema Price tem as mesmas características do Sistema Francês.
O único detalhe é que a taxa de juros será dada em termos nominais.
O enunciado da questão será idêntico, a taxa que poderá ser escrita assim, por
exemplo:
- 24% ao ano com capitalização mensal
- 24% ao ano, Tabela Price
Ao informar “Tabela Price” já estará indicada que a capitalização será na
mesma unidade que o número de parcelas.
Por exemplo: 20 parcelas bimestrais, a uma taxa de 24% ao ano, Tabela Price.
Isso significa que a taxa será 24% ao ano com capitalização bimestral.
1.2.2 Descrição das parcelas no Sistema Francês
Descrever as parcelas no Sistema Francês significa indicar qual o juro pago e
qual a quota de amortização em cada parcela.
No Sistema Francês de Amortização as parcelas são calculadas a partir das
seguintes expressões:
= ∙
1
¬
= ∙
∙ (1 + )
(1 + )
− 1
Vamos aprender agora a calcular a quota de amortização em cada
prestação e, consequentemente, o juro pago em cada prestação.
O primeiro passo é calcular o juro pago na primeira prestação.
Para isso, basta calcular
D i
⋅
.
A prestação P (constante) do primeiro período compreende uma parcela de
amortização do capital (A
1
), somada aos juros do primeiro período (J
1
= D.i).
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Logo, P = A
1 +
J
1
Feito isso, calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo
com a fórmula abaixo:
1
1
(1
)
n
n
A
A
i
−
=
⋅
+
Para calcular o juro, basta efetuar P = A
n
+ J
n
.
1.2.3 Exercícios Resolvidos
01.
(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$
100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir
maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser
quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi
acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e
os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que
a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do
principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de
amortização utilizado na transação descrita foi
(A) Amortização Constante.
(B) Amortização Francês (Tabela Price).
(C) Amortização Americano.
(D) Amortização Misto.
(E) Amortizações Variáveis.
Resolução
A situação descreve perfeitamente o Sistema de Amortização Francês, já que
as prestações são constantes.
Letra B
02.
(FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel
no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela
Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de
1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a
18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que
pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da
dívida, depois de paga a 19
a
prestação, em reais, é
(A) 16.234,29
(B) 16.226,01
(C) 15.570,53
(D) 15.562,25
(E) 15.398,27
Resolução
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Depois de ser paga a 18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Como a
taxa é de 1% ao mês, então a quota de juros na próxima prestação será igual
a:
1%16.398,27 =
1
100
∙ 16.398,27 = 163,98
A prestação é igual a R$ 1.000,00. Destes R$ 1.000,00, R$ 163,98 são
referentes aos juros da transação. Qual é a cota de amortização?
= 1.000 − 163,98 = 836,02
O que diminui a dívida é a quota de amortização. A dívida antes era de R$
16.398,27. Ao pagar a próxima prestação, esta dívida diminuirá R$ 836,02 e
passará a ser 16.398,27 − 836,02 = 15.562,25 reais.
Letra D
03.
(AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no
valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a
uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação
no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule
quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os
centavos.
a) R$ 300,00
b) R$ 240,00
c) R$ 163,00
d) R$ 181,00
e) R$ 200,00
Resolução
Já que as prestações são mensais e iguais, a questão trata sobre o Sistema
Francês de Amortização.
O juro pago na primeira prestação é dado por:
1
J
D i
=
⋅
1
15.000 0, 02
J =
⋅
1
300
J =
Para calcular as quotas de amortização, precisamos saber qual o valor da
prestação.
n
i
D
P a
¬
=
⋅
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São 18 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês.
18 2%
15.000
P a
¬
=
⋅
15.000
14,992031
P
=
⋅
P
1.000, 00
≅
E como sabemos que
1
300
J =
, então a quota de amortização da primeira
prestação será:
1
1
P
A
J
=
+
1
1
A
P
J
=
−
1
1.000
300
A =
−
1
700
A =
Estamos interessados na décima prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a
fórmula abaixo:
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8
1
1
(1
)
n
n
A
A
i
−
=
⋅
+
Assim, a quota de amortização da 10ª prestação será:
10 1
10
1
(1
)
A
A
i
−
=
⋅
+
9
10
700 1, 02
A
=
⋅
O valor de 1,02
9
foi dado na tabela abaixo.
10
700 1,195092
A
=
⋅
Como a prestação é constante e igual a R$ 1.000,00, o juro pago na décima
prestação é igual a 1.000 – 836,56 = 163,44.
Letra C
04.
(BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver
um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais,
vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano,
com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de
Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao
período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O
respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é
a) R$ 273,30
b) R$ 272,70
c) R$ 270,00
d) R$ 266,70
e) R$ 256,60
10
836, 56
A
=
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9
Resolução
Temos nessa questão um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 para
ser quitado em 10 prestações mensais iguais.
A taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal
deverá ser transformada em uma taxa efetiva. Já que a capitalização é
mensal, a taxa de juros efetiva mensal será 24% / 12 = 2% ao mês.
Temos uma novidade nessa questão: “para a taxa de juros compostos de
2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a
0,111.”
O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta:
1
n i
a
¬
Para começar, vamos calcular o valor de cada prestação.
n
i
D
P a
¬
=
⋅
1
n
i
n
i
D
P
D
a
a
¬
¬
=
=
⋅
10 2%
1
15.000
15.000 0,111 1.665
P
a
¬
=
⋅
=
⋅
=
Calculemos o juro da primeira prestação.
1
J
D i
=
⋅
1
15.000 0, 02
J =
⋅
1
300
J =
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 1.665,00 e o juro pago na
primeira prestação é igual a R$ 300,00, então a quota de amortização da
primeira prestação é igual a 1.665,00 – 300,00 = 1.365,00.
Ou seja, já que
1
1
P
A
J
=
+
1
1
A
P
J
=
−
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10
1
1.665 300
1.365
A =
−
=
Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a
fórmula abaixo:
1
1
(1
)
n
n
A
A
i
−
=
⋅
+
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
2 1
2
1
(1
)
A
A
i
−
=
⋅
+
1
2
1.365 1, 02
A =
⋅
2
1.392, 30
A =
Já que
2
2
P
A
J
=
+
2
2
J
P
A
=
−
2
1.665 1.392, 30
272, 70
J
=
−
=
Letra B
05.
(AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser
pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre,
vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor
mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda
prestação.
a) R$ 75.560,00.
b) R$ 76.120,00.
c) R$ 78.220,00.
d) R$ 77.440,00.
e) R$ 76.400,00.
Resolução
Trata-se novamente da quitação de um financiamento pelo Sistema
Francês. O valor do financiamento é de R$ 82.000,00 e será feito em
18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre.
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O grande problema é que nessa prova não foi fornecida a tabela
financeira.
O valor da parcela será calculado com o auxílio da seguinte expressão:
= ∙
¬
= ⋅
(1 + )
− 1
(1 + )
⋅
Onde i = 0,10 e n = 18.
O problema surge aqui.
A questão foi anulada
porque alguns candidatos
receberam a tabela financeira e outros candidatos não receberam.
Quem recebeu a tabela financeira fez apenas uma divisão. Quem não recebeu,
teve que calcular 1,10
$
na mão, o que não deve ter sido agradável.
= ∙
¬
82.000 = ⋅
$¬%%
82.000 = ⋅ 8,20
= 10.000,00
O juro pago na primeira parcela é
1
82.000 0,10
8.200
J
D i
=
⋅
=
⋅
=
Assim a quota de amortização da primeira parcela é A
1
= 10.000 – 8.200 =
1.800
Ou seja, dos R$ 82.000,00 (valor da dívida), foram pagos R$ 8.200,00 de
juros e amortizados R$ 1.800 da dívida. Assim, o saldo devedor é igual a
82.000 – 1.800 = 80.200.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a
fórmula abaixo:
1
1
(1
)
n
n
A
A
i
−
=
⋅
+
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
2 1
2
1
(1
)
A
A
i
−
=
⋅
+
1
2
1.800 1,10
A =
⋅
2
1.980
A =
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Ao efetuar o pagamento da 1ª prestação (R$ 10.000,00) o saldo devedor foi
de R$ 80.200,00. Ao efetuar o pagamento da 2ª prestação (também de R$
10.000,00) foram amortizados mais R$ 1980,00. Assim, o saldo devedor é
igual a 80.200 – 1.980 = 78.220,00.
Letra C (questão anulada)
06.
(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00
deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas,
vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o
Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros
compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de
Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de
amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da
2ª prestação, apresenta um valor de
a) R$ 37.473,15
b) R$ 36.828,85
c) R$ 35.223,70
d) R$ 35.045,85
e) R$ 34.868,15
Resolução
Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser
quitado em 20 prestações mensais iguais.
Calculemos o valor de cada prestação.
n
i
D
P a
¬
=
⋅
1
n
i
n
i
D
P
D
a
a
¬
¬
=
=
⋅
= 40.000 ∙ 0,06415 = 2.566,00
Vamos calcular agora o juro da primeira prestação.
1
J
D i
=
⋅
= 40.000 ∙ 0,025 = 1.000,00
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago na
primeira prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de amortização da
primeira prestação é igual a 2.566,00 – 1.000,00 = 1.566,00.
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Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a
fórmula abaixo:
1
1
(1
)
n
n
A
A
i
−
=
⋅
+
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
2 1
2
1
(1
)
A
A
i
−
=
⋅
+
'
= 1.566 ∙ 1,025 = 1.605,15
O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será
D – A
1
– A
2
= 40.000 – 1.566,00 – 1.605,15 = 36.828,85
Letra B
07.
(ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$
300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos,
seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais,
vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule
esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que:
• a taxa é nominal de 12% ao ano,
• o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência
• os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao
saldo devedor do financiamento.
a) US$ 37,134.00
b) US$ 39,253.00
c) US$ 40,564.00
d) US$ 43,740.00
e) US$ 45,175.00
Resolução
As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4
semestres).
A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas
semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização
semestral.
Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre.
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Temos o seguinte desenho do enunciado.
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela
fórmula a seguir:
n
i
D
P a
¬
=
⋅
(1)
Onde
n
i
a
¬
é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
Tem-se que
(1
)
1
(1
)
n
n
i
n
i
a
i
i
¬
+
−
=
+
⋅
.
Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser
paga exatamente uma data após a realização do empréstimo.
Em suma, não pode haver carência. Carência é o período
compreendido entre a tomada do empréstimo e o pagamento da 1ª
parcela.
A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4
semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre.
Lembre-se sempre: a primeira prestação deve ser paga exatamente
uma data após a realização do empréstimo.
Assim, devemos transportar o empréstimo de US$ 300.000,00 para o
4º semestre.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1
)
n
i
+
.
Assim, devemos multiplicar 300.000,00 por
4
(1 0, 06)
+
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
300.000,00
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Dessa
forma,
US$
300.000,00
na
data
0
equivale
a
4
300.000 1, 06
378.743,10
⋅
=
no 4º semestre. O desenho da questão ficará
assim:
Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês.
n
i
D
P a
¬
=
⋅
12 6%
378.743,10
P a
¬
=
⋅
378.743,10
8,383844
P
=
⋅
378.743,10
45.175, 35
8,383844
P =
=
Letra E
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08.
(Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um
financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12%
ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a
primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois
anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam
ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento,
desprezando os centavos.
a) R$ 20.330,00
b) R$ 18.093,00
c) R$ 16.104,00
d) R$ 15.431,00
e) R$ 14.000,00
Resolução
As prestações são semestrais. Tem-se uma carência de 2 anos (4 semestres).
A taxa nominal é de 12% ao ano. Como as prestações serão pagas
semestralmente, então a taxa é de 12% ao ano com capitalização semestral.
Logo, a taxa efetiva é de 12% / 2 = 6% ao semestre.
Temos o seguinte desenho do enunciado.
Podemos relacionar o valor da dívida com o valor de cada prestação pela
fórmula a seguir:
n
i
D
P a
¬
=
⋅
Onde
n
i
a
¬
é o “fator de valor atual de uma série de pagamentos”.
Tem-se que
(1
)
1
(1
)
n
n
i
n
i
a
i
i
¬
+
−
=
+
⋅
.
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Para utilizar corretamente essa fórmula a primeira prestação deve ser paga
exatamente uma data após a realização do empréstimo.
A dificuldade dessa questão está no fato de que há uma carência de 4
semestres. A primeira prestação é paga no 5º semestre.
Assim, devemos transportar o empréstimo de R$ 100.000,00 para o 4º
semestre.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1
)
n
i
+
.
Assim, devemos multiplicar 100.000,00 por
4
(1 0, 06)
+
Assim, R$ 100.000,00 na data 0 equivale a
4
100.000 1, 06
126.247, 70
⋅
=
no 4º
semestre. O desenho da questão ficará assim:
Podemos, agora, aplicar a fórmula do Sistema Francês.
n
i
D
P a
¬
=
⋅
8 6%
126.247, 70
P a
¬
=
⋅
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126.247, 70
6, 209794
P
=
⋅
126.247, 70
20.330, 42
6, 209794
P =
=
Letra A
09.
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$
19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao
final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros
do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o
saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de:
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 14.147,53.
c) R$ 14.198,84.
d) R$ 14.213,05.
e) R$ 14.322,01.
Resolução
A próxima prestação é composta pelo juro e pela quota de amortização. O juro
pago na próxima prestação é igual a:
2%($14.696,13 = 0,02 ∙ 14.696,13 = 293,92
Como a parcela é constante e igual a R$ 777,00, então a quota de amortização
é igual a:
= 777,00 − 293,92 = 483,08
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O saldo devedor ao final do 12º mês era de R$ 14.696,13 e com o pagamento
da próxima prestação foram amortizados R$ 483,08. Assim, o saldo devedor
após este pagamento será de:
*
+
= 14.696,13 − 483,08 = 14.213,05
Letra D
10.
(AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em
12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao
mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a
alternativa que indica a resposta correta.
a) $ 51.492,10
b) $ 58.492,10
c) $ 62.492,52
d) $ 66.492,10
e) $ 68.234,52
Resolução
O primeiro passo é calcular o valor da prestação P.
= ∙
(1 + )
− 1
(1 + )
∙
100.000 = ∙
1,01
'
− 1
1,01
'
∙ 0,01
Infelizmente a FEPESE não forneceu as tabelas financeiras.
100.000 = ∙
0,12682503
1,12682503 ∙ 0,01
100.000 = ∙ 11,25507746
= 8.884,88
Para saber o saldo devedor no 6º mês, basta calcular o valor na data 6
de todas as parcelas que ainda faltam ser pagas.
Precisamos pagar ainda 6 prestações (pois são 12 prestações). Logo,
*
,
= ∙
(1 + )
-
− 1
(1 + )
-
∙
*
,
= 8.884,88 ∙
1,01
-
− 1
1,01
-
∙ 0,01
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*
,
= 8.884,88 ∙
1,06152015 − 1
1,06152015 ∙ 0,01
*
,
= 8.884,88 ∙
1,06152015 − 1
1,06152015 ∙ 0,01
= 51.492,11
Letra A
11.
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor
de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e
consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração
da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela
PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor
de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A
soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da
primeira prestação e da segunda prestação é igual a
a) R$ 3.168,00.
b) R$ 3.232,00.
c) R$ 3.264,00.
d) R$ 3.368,00.
e) R$ 3.374,00.
Resolução
No sistema de amortização francês, temos a seguinte relação entre o valor da
dívida e as prestações.
= ∙
¬
=
¬
= ∙
1
¬
O número
¬
é o chamado Fator de Recuperação de Capital.
= 80.000 ∙ 0,04
= 3.200,00
O juro pago na primeira prestação é dado por:
= ∙ = 80.000 ∙ 0,02 = 1.600
Portanto, a quota de amortização da primeira prestação é igual a
= −
= 3.200 − 1.600 = 1.600
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Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo com a
fórmula abaixo:
=
∙ (1 + )
.
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
'
=
∙ (1 + )
'.
'
= 1.600 ∙ 1,02
'
= 1.632
A soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da
primeira prestação e da segunda prestação é igual a
+
'
= 1.600 + 1.632 = 3.232
Letra B
1.3
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Cada prestação é composta de duas partes: a quota de amortização e os juros.
Em suma, as prestações relativas ao pagamento de um empréstimo são
formadas por duas parcelas:
- as quotas de amortizações, que correspondem à devolução do capital
emprestado.
- os juros, que correspondem à remuneração do capital emprestado.
P = A + J
Onde P é a prestação, A é a quota de amortização e J o juro.
Como o próprio nome já indica, as quotas de amortização do SAC são
constantes. Logo, as prestações não serão constantes.
É óbvio que à medida que vamos pagando as prestações, cada vez mais
amortizamos a dívida, de modo que os juros pagos em cada prestação vão
diminuindo.
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O juro pago em cada prestação é calculado incidindo a taxa de juros sobre o
saldo devedor do período anterior.
Vejamos um simples exemplo para entender o funcionamento do SAC.
Exemplo: Construa o plano de amortização de um empréstimo de R$
96.000,00 que deve ser pago em 6 prestações trimestrais pelo SAC, à
taxa de 9% ao trimestre.
Construir o plano de amortização é dizer quanto será a prestação em cada
período, discriminando em cada período a quota de amortização, o juro pago e
qual o saldo devedor após o pagamento.
O SAC caracteriza-se por obrigar a quota de amortização ser constante em
cada prestação. Dessa forma, se o empréstimo de R$ 96.000,00 será quitado
em seis prestações, de modo que em cada prestação o valor de amortização
seja o mesmo, devemos dividir R$ 96.000,00 por 6 para saber quanto será
amortizado em cada prestação.
Chamando de a quota de amortização:
96.000
16.000
6
A =
=
Chamando o valor da dívida de D, então
D
A
n
=
Ou seja, em cada prestação foram amortizados R$ 16.000,00 da dívida. Assim
para calcular o valor da prestação, devemos saber quanto será o juro devido
ao saldo devedor do período anterior.
Vejamos passo a passo:
A primeira prestação será paga ao fim do primeiro trimestre. Assim,
como a taxa de juros é de 9% ao trimestre, então na primeira
prestação serão pagos
0, 09 96.000
8.640
×
=
referentes aos juros.
Dessa forma, a primeira prestação será a quota de amortização R$
16.000,00 mais o juro relativo ao saldo devedor – R$ 8.640,00.
1
16.000 8.640
24.640, 00
P =
+
=
E qual o novo saldo devedor?
Para calcular o saldo devedor devemos efetuar a seguinte diferença:
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(Saldo devedor anterior) – (quota de amortização).
Assim, como antes o saldo devedor era de R$ 96.000,00 e foram
amortizados
R$ 16.000,00 da dívida, então o novo saldo devedor é de R$ 80.000,00.
Observe que juros não amortizam dívida.
Eis o início da planilha para esse empréstimo.
Trimestre
Saldo
Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital
total
amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00 16.000,00
Vejamos a segunda prestação: o saldo devedor é de R$ 80.000,00 e como a
taxa de juros é de 9% ao trimestre, então o juro pago no próximo trimestre
será igual a
0, 09 80.000
7.200
×
=
. Como a quota de amortização é igual a R$
16.000,00, então a prestação será igual a R$ 16.000,00 + R$ 7.200,00 = R$
23.200,00.
Como o saldo devedor era de R$ 80.000,00 e foram amortizados R$
16.000,00, então o novo saldo devedor é igual a R$ 80.000,00 – R$ 16.000,00
= R$ 64.000,00.
Trimestre
Saldo
Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital
total
amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00 16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00 23.200,00 32.000,00
Terceira prestação: O saldo devedor é de R$ 64.000,00. Como a taxa de juros
é de 9% ao trimestre, então no próximo trimestre serão pagos
0, 09 64.000
5.760
×
=
referentes aos juros. Como no SAC a quota de
amortização
é
constante,
a
dívida
de
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R$ 64.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$
48.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) +
R$ 5.760,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
Trimestre
Saldo
Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital
total
amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00 16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00 23.200,00 32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00 21.760,00 48.000,00
Quarta prestação: O saldo devedor é de R$ 48.000,00. Como a taxa de juros é
de
9%
ao
trimestre,
então
no
próximo
trimestre
serão
pagos
0, 09 48.000
4.320
×
=
referentes aos juros. Como no SAC a quota de
amortização é constante, a dívida de R$ 48.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O
novo saldo devedor é de R$ 32.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00
(quota de amortização) + R$ 4.320,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
Trimestre
Saldo
Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital
total
amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00 16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00 23.200,00 32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00 21.760,00 48.000,00
4
32.000,00
16.000,00
4.320,00 20.320,00 64.000,00
Quinta prestação: O saldo devedor é de R$ 32.000,00. Como a taxa de juros é
de
9%
ao
trimestre,
então
no
próximo
trimestre
serão
pagos
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0, 09 32.000
2.880
×
=
referentes aos juros. Como no SAC a quota de
amortização
é
constante,
a
dívida
de
R$ 32.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O novo saldo devedor é de R$
16.000,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de amortização) +
R$ 2.880,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
Trimestre
Saldo
Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital
total
amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00 16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00 23.200,00 32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00 21.760,00 48.000,00
4
32.000,00
16.000,00
4.320,00 20.320,00 64.000,00
5
16.000,00
16.000,00
2.880,00 18.880,00 80.000,00
Sexta prestação: O saldo devedor é de R$ 16.000,00. Como a taxa de juros é
de
9%
ao
trimestre,
então
no
próximo
trimestre
serão
pagos
0, 09 16.000 1.440
×
=
referentes aos juros. Como no SAC a quota de
amortização é constante, a dívida de R$ 16.000,00 diminuirá R$ 16.000,00. O
saldo devedor é R$ 0,00. A prestação será igual a R$ 16.000,00 (quota de
amortização) + R$ 1.440,00 (juro do período).
A planilha ficará assim:
Trimestre
Saldo
Devedor
Amortização
Juros
Prestação
Capital
total
amortizado
0
96.000,00
-
-
-
-
1
80.000,00
16.000,00
8.640,00 24.640,00 16.000,00
2
64.000,00
16.000,00
7.200,00 23.200,00 32.000,00
3
48.000,00
16.000,00
5.760,00 21.760,00 48.000,00
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4
32.000,00
16.000,00
4.320,00 20.320,00 64.000,00
5
16.000,00
16.000,00
2.880,00 18.880,00 80.000,00
6
-
16.000,00
1.440,00 17.440,00 96.000,00
Vejamos alguns fatos interessantes na planilha do SAC.
Já havia comentado que as prestações são decrescentes (isso porque os juros
pagos nas prestações vão diminuindo).
Observe que a prestação foi diminuindo. E o valor subtraído de uma parcela
par outra foi um valor constante. A cada período a prestação diminuiu R$
1.440,00. O mesmo aconteceu com o juro de cada período.
Dessa forma, os juros pagos em cada período formam uma Progressão
Aritmética de razão
1.440
−
. Assim, se o empréstimo fosse quitado em 200
prestações não precisaríamos construir a planilha passo a passo como o
fizemos aqui. Basta utilizar os conceitos de Progressão Aritmética.
Os passos que seguiremos serão os seguintes:
i) Calcular a quota de amortização. Para isso, basta dividir o valor
da dívida original pelo número de prestações. Assim,
D
A
n
=
. No
nosso exemplo,
96.000
16.000
6
A =
=
.
ii) Calculamos o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa
pelo valor original da dívida. Assim,
1
J
i D
=
⋅
. No nosso exemplo,
1
0, 09 96.000
8.640
J =
⋅
=
.
iii)
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a
quota de amortização com o juro referente ao primeiro período.
Assim,
1
1
P
A
J
=
+
.
No
nosso
exemplo,
temos
1
16.000 8.640
24.640
P =
+
=
.
iv)
Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma
formada pela sequência de juros e a outra formada pela
sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já
foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão.
Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela
quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a
progressão aritmética é decrescente. Assim,
r
i A
= − ⋅
. No nosso
exemplo,
0, 09 16.000
1.440
r = −
⋅
= −
.
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Observação: o valor do juro pago na última prestação é igual ao
módulo da razão das progressões. No caso, o módulo de
1.440
−
é igual
a
1.440
, que é justamente o juro pago na última prestação.
v) O saldo devedor após o pagamento da prestação no período n é
igual a
n
S
D
n A
=
−
⋅
. Por exemplo, o saldo devedor após o
pagamento da quarta prestação será igual a
4
4
S
D
A
=
−
⋅
.
No nosso exemplo, o saldo devedor após o pagamento da terceira
prestação será
3
3
96.000 3 16.000
48.000
S
D
A
=
−
⋅
=
−
⋅
=
É importantíssimo observar o seguinte fato: se fizermos uma
comparação entre os dois sistemas de amortização estudados –
Sistema Francês (Price) e SAC – a primeira prestação será maior no
SAC (mantendo a mesma taxa e o mesmo número de prestações).
1.3.1 Exercícios Resolvidos
12.
(Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo
como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema
Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo
número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros.
Comparando os dois, o investidor observa que
(A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price.
(B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo.
(C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo.
(D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price.
(E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price.
Resolução
Vamos analisar cada um dos itens de per si.
A alternativa A fala em valor presente líquido. Valor presente líquido é quando
você transporta todas as prestações para a data 0 e calcula o somatório. Não
há como dizer qual deles é maior e qual deles é menor. Cada caso é um caso.
A alternativa B é falsa. As prestações, pelo SAC, são decrescentes.
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A alternativa C é falsa. Pelo Price, as prestações são constantes (Sistema
Francês).
A alternativa D é verdadeira. A primeira prestação sempre é maior no SAC
(mantendo a mesma taxa de juros e prazo).
A alternativa E é falsa. Já que as prestações do SAC são decrescentes, é
possível que elas em algum momento sejam menores que a do sistema
francês.
Letra D
13.
(Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO)
Uma pessoa deve pagar
um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema
de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um
mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O
valor, em reais, da primeira prestação é de
(A) 90,00.
(B) 100,00.
(C) 110,00.
(D) 120,00.
(E) 125,00.
Resolução
No SAC, a quota de amortização é constante. Assim, um financiamento de R$
1.000,00 em 10 prestações tem a seguinte quota de amortização:
=
1.000
10
= 100,00
No pagamento da primeira parcela, a pessoa deve pagar 1% de juros.
= 1%1.000 =
1
100
∙ 1.000 = 10/0
Assim, a primeira parcela será igual a R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00.
Letra C
14.
(SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento
cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante -
SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao
mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de:
a) R$ 5.000,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.666,00.
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d) R$ 500,00.
e) R$ 1.500,00.
Resolução
As prestações são formadas por duas parcelas:
i) As quotas de amortizações (a quota de amortização é constante no SAC).
ii) Os juros.
Ou seja,
/01çã2 = 342152/16çã2 + 4/20
Para calcular a quota de amortização no SAC, basta dividir o valor da dívida
pelo número de prestações. Assim:
=
7
=
50.000
100
= 500/0
O juro pago na primeira prestação corresponde a 2% da dívida.
= 2%50.000 =
2
100
∙ 50.000 = 1.000
Dessa forma,
= +
= 500 + 1.000 = 1.500
Letra E
15.
(Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em
janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem
entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos
com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros
compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em
fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o
valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de:
a) R$ 3.020,00
b) R$ 3.160,00
c) R$ 3.240,00
d) R$ 3.300,00
e) R$ 3.450,00
Resolução
Calculemos o valor da quota de amortização.
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30
=
7
=
180.000
120
= 1.500
O juro pago na primeira prestação corresponde a 1% da dívida.
= 1%180.000 =
1
100
∙ 180.000 = 1.800
Desta forma, a primeira prestação é de:
= +
= 1.500 + 1.800 = 3.300/0
Como a primeira prestação é paga em fevereiro de 2010, a prestação referente
a junho de 2010 é a quinta.
Lembremos que as prestações no SAC formam uma progressão aritmética
decrescente de razão − ∙ .
/ = − ∙ = −
1
100
∙ 1.500 = −15/0.
Queremos calcular a quinta prestação. Utilizemos a fórmula do termo geral de
uma Progressão Aritmética.
8
=
+ 4 ∙ /
8
= 3.300 + 4 ∙ (−15) = 3.240/0.
Letra C
16.
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no
valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações
mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data
da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante
(SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação
supera o valor da penúltima prestação em
(A) R$ 3.625,00.
(B) R$ 3.687,50.
(C) R$ 3.750,00.
(D) R$ 3.812,50.
(E) R$ 3.875,00.
Resolução
Queremos calcular a diferença
−
89
.
O primeiro passo é calcular a quota de amortização.
=
7
=
150.000
60
= 2.500
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As prestações no SAC formam uma progressão aritmética de razão / = − ∙ . A
razão é negativa porque as prestações são decrescentes.
/ = −0,025 ∙ 2500 = −62,5
São 60 prestações. Queremos calcular a 59ª prestação.
Já que se trata de uma progressão aritmética, a relação entre a 59ª prestação
e a 1ª prestação é a seguinte.
89
=
+ 58 ∙ /
−
89
= −58 ∙ /
−
89
= −58 ∙ (−62,5)
−
89
= 3.625
Que é justamente o que queríamos calcular.
Letra A
17.
(CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8
parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização
Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data
do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação,
era de
a) R$ 2.260,00
b) R$ 1.350,00
c) R$ 1.500,00
d) R$ 1.750,00
e) R$ 1.800,00
Resolução
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Basta dividir a
dívida pelo número de prestações. No caso, a quota de amortização
será
3.600
450
8
D
A
n
=
=
=
. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta
prestação
4
4
4
3.600
4 450
1.800
S
D
A
S
=
−
⋅
⇒
=
−
⋅
=
.
Letra E
18.
(CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em
20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a
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taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá
ser
a) R$ 2 950,00
b) R$ 3 000,00
c) R$ 3 050,00
d) R$ 3 100,00
e) R$ 3 150,00
Resolução
i)
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o
valor da dívida pelo número de prestações mensais.
50.000
2.500
20
D
A
n
=
=
=
ii)
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor
original da dívida. Assim,
1
1
0, 02 50.000
1.000
J
i D
J
=
⋅
⇒
=
⋅
=
.
iii) Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de
amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim,
1
1
1
1
2.500 1.000
3.500
P
A
J
P
P
=
+
⇒
=
+
⇒
=
.
iv) Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma
formada pela sequência de juros e a outra formada pela sequência de
prestações. Os primeiros termos das progressões já foram calculados
nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão. Para calcular a razão,
devemos multiplicar a taxa de juros pela quota de amortização.
Lembre-se que a razão é negativa, pois a progressão aritmética é
decrescente. Assim,
r
i A
= − ⋅
. No nosso exemplo,
0, 02 2.500
50
r = −
⋅
= −
.
Vamos calcular a décima prestação. A sequência de prestações é uma
progressão aritmética de razão
50
r = −
e primeiro termo igual a R$
3.500,00.
Assim,
10
1
10
9
3.500 9 ( 50)
3.500
450
3.050
P
P
r
P
=
+
⋅
⇒
=
+
⋅ −
=
−
=
Letra C
19.
(CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4
prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo,
com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O
valor, em reais, da terceira prestação será
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a) 50,00
b) 55,00
c) 60,00
d) 65,00
e) 70,00
Resolução
Seguiremos os mesmos passos descritos anteriormente.
i)
O primeiro passo é calcular a quota de amortização. Devemos dividir o
valor da dívida pelo número de prestações mensais.
=
7
=
200
4
= 50
ii)
Calcular o juro da primeira prestação. Basta multiplicar a taxa pelo valor
original da dívida. Assim,
= ⋅ ⇒
= 0,10 ⋅ 200 = 20.
iii)
Calculamos o valor da primeira prestação. Basta somar a quota de
amortização com o juro referente ao primeiro período. Assim,
= +
= 50 + 20 = 70.
iv)
Teremos duas progressões aritméticas decrescentes. Uma
formada pela sequência de juros e a outra formada pela
sequência de prestações. Os primeiros termos das progressões já
foram calculados nos passos ii e iii. Precisamos calcular a razão.
Para calcular a razão, devemos multiplicar a taxa de juros pela
quota de amortização. Lembre-se que a razão é negativa, pois a
progressão aritmética é decrescente. Assim, / = − ∙ . Dessa
forma, , / = −0,10 ∙ 50 = −5.
v)
Vamos calcular a terceira prestação. A sequência de prestações é
uma progressão aritmética de razão / = −5 e primeiro termo igual
a R$ 70,00.
Assim,
;
=
+ 2 ∙ / ⇒
;
= 70 + 2 ∙ (−5) = 60.
Letra C
20.
(AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá
ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48
prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira
prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é
de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a
a) R$ 3.700,00
b) R$ 3.650,00
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c) R$ 3.600,00
d) R$ 3.550,00
e) R$ 3.500,00
Resolução
Vimos anteriormente que o valor do juro pago na última prestação é
igual ao módulo da razão das progressões. Ou seja, o juro pago na
última prestação é igual a
<$
= ∙ ⇒
<$
= 0,02 ∙ .
Sabemos que as prestações são iguais aos juros correspondentes do período
mais a quota de amortização. Assim, a última prestação é igual a
+
<$
= 2.550,00
+ 0,02 ∙ = 2.550,00
1,02 ∙ = 2.550,00
=
2.550
1,02
= 2.500
E a razão da progressão é dada por / = − ∙ = −0,02 ∙ 2.500 = −50.
Temos a 48ª prestação e estamos querendo calcular a 26ª prestação.
'-
=
<$
− 22 ∙ /
Isso porque 26 – 48 = - 22.
'-
= 2.550 − 22 ∙ (−50)
'-
= 2.550 − 22 ∙ (−50)
'-
= 3.650,00
Letra B
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2 Relação das questões comentadas
01.
(Petrobras 2010/CESGRANRIO) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$
100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, para adquirir
maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que a dívida deveria ser
quitada em vinte parcelas, a taxa de juros efetiva de 30 % ao ano. Foi
acordado, ainda, que o principal da dívida seria restituído em parcelas iguais, e
os juros, calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que
a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de amortização do
principal, acrescida dos juros correspondentes. Nesse sentido, o sistema de
amortização utilizado na transação descrita foi
(A) Amortização Constante.
(B) Amortização Francês (Tabela Price).
(C) Amortização Americano.
(D) Amortização Misto.
(E) Amortizações Variáveis.
02.
(FINEP 2011/CESGRANRIO) Uma empresa de táxi adquiriu um automóvel
no valor de R$ 30.107,51, utilizando o Sistema Price de Amortização – Tabela
Price. O financiamento foi em 36 meses, a taxa de juros do empréstimo foi de
1% ao mês, e o valor da prestação mensal, R$ 1.000,00. Depois de ser paga a
18ª prestação, a dívida era de R$ 16.398,27. Os sócios combinaram que
pagariam mais uma prestação e, em seguida, iriam zerar a dívida. O valor da
dívida, depois de paga a 19
a
prestação, em reais, é
(A) 16.234,29
(B) 16.226,01
(C) 15.570,53
(D) 15.562,25
(E) 15.398,27
03.
(AFRE – MG 2005 ESAF) Um empréstimo contraído no início de abril, no
valor de R$ 15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a
uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação
no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule
quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os
centavos.
a) R$ 300,00
b) R$ 240,00
c) R$ 163,00
d) R$ 181,00
e) R$ 200,00
04.
(BB 2006 FCC) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver
um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais,
vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano,
com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de
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Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao
período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O
respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é
a) R$ 273,30
b) R$ 272,70
c) R$ 270,00
d) R$ 266,70
e) R$ 256,60
05.
(AFT 2010 ESAF) Um financiamento no valor de R$ 82.000,00 deve ser
pago em 18 prestações trimestrais iguais, a uma taxa de 10% ao trimestre,
vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro trimestre. Calcule o valor
mais próximo do saldo devedor imediatamente após o pagamento da segunda
prestação.
a) R$ 75.560,00.
b) R$ 76.120,00.
c) R$ 78.220,00.
d) R$ 77.440,00.
e) R$ 76.400,00.
06.
(APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00
deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas,
vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. Utilizou-se o
Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa de juros
compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de Recuperação de
Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20 períodos). Pelo plano de
amortização, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da
2ª prestação, apresenta um valor de
a) R$ 37.473,15
b) R$ 36.828,85
c) R$ 35.223,70
d) R$ 35.045,85
e) R$ 34.868,15
07.
(ACE – MDIC – 2002 ESAF) Um financiamento no valor de US$
300.000,00 possui um período de carência de pagamentos de dois anos,
seguido pela amortização do financiamento em prestações iguais e semestrais,
vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule
esta prestação, desprezando os centavos de dólar e considerando que:
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• a taxa é nominal de 12% ao ano,
• o prazo total para o financiamento é de oito anos, incluindo a carência
• os juros devidos durante a carência não são pagos, mas se acumulam ao
saldo devedor do financiamento.
a) US$ 37,134.00
b) US$ 39,253.00
c) US$ 40,564.00
d) US$ 43,740.00
e) US$ 45,175.00
08.
(Auditor do Tesouro Municipal – Pref. do Recife – 2003 – ESAF) Um
financiamento no valor de R$ 100.000,00 é obtido a uma taxa nominal de 12%
ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a
primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois
anos de duração, no qual os juros devidos não são pagos, mas se acumulam
ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento,
desprezando os centavos.
a) R$ 20.330,00
b) R$ 18.093,00
c) R$ 16.104,00
d) R$ 15.431,00
e) R$ 14.000,00
09.
(SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo adquiriu uma moto, no valor de R$
19.804,84 a ser pago em 36 prestações pelo Sistema Price de Amortização. Ao
final do 12º mês ele ainda deve R$ 14.696,13. Sabendo-se que a taxa de juros
do empréstimo é de 2% ao mês e que a prestação tem o valor de R$ 777,00, o
saldo devedor, após o pagamento da próxima prestação, será de:
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 14.147,53.
c) R$ 14.198,84.
d) R$ 14.213,05.
e) R$ 14.322,01.
10.
(AFRE-SC 2010/FEPESE) Um empréstimo de $ 100.000,00 será pago em
12 prestações mensais iguais e sucessivas pela tabela price a juros de 1% ao
mês. Calcule o saldo devedor do empréstimo no 6º mês e assinale a
alternativa que indica a resposta correta.
a) $ 51.492,10
b) $ 58.492,10
c) $ 62.492,52
d) $ 66.492,10
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e) $ 68.234,52
11.
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma dívida no valor
de R$ 80.000,00 deverá ser liquidada em 35 prestações mensais iguais e
consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da contração
da dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização francês (tabela
PRICE), a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, considerando o valor
de 0,0400 para o Fator de Recuperação de Capital (FRC) correspondente. A
soma dos respectivos valores das amortizações incluídos nos valores da
primeira prestação e da segunda prestação é igual a
a) R$ 3.168,00.
b) R$ 3.232,00.
c) R$ 3.264,00.
d) R$ 3.368,00.
e) R$ 3.374,00.
12.
(Economista BNDES 2009/CESGRANRIO) Um investidor está decidindo
como vai repagar um financiamento que obteve. Poderá escolher o Sistema
Price ou o Sistema de Amortização Constante (SAC), ambos com o mesmo
número de prestações, o mesmo prazo total e a mesma taxa de juros.
Comparando os dois, o investidor observa que
(A) o valor presente líquido do SAC é menor do que o do Price.
(B) a prestação, pelo SAC, é constante ao longo do tempo.
(C) a prestação, pelo Price, é declinante ao longo do tempo.
(D) a primeira prestação do SAC é maior do que a do Price.
(E) as prestações do SAC são sempre maiores que as do Price.
13.
(Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO)
Uma pessoa deve pagar
um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema
de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um
mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O
valor, em reais, da primeira prestação é de
(A) 90,00.
(B) 100,00.
(C) 110,00.
(D) 120,00.
(E) 125,00.
14.
(SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um empresário deseja comprar um equipamento
cujo valor é de R$ 50.000,00, utilizando o Sistema de Amortização Constante -
SAC. O banco financia esse equipamento em 100 meses, a uma taxa de 2% ao
mês, juros compostos. Assim, a primeira prestação a ser paga será de:
a) R$ 5.000,00.
b) R$ 1.000,00.
c) R$ 1.666,00.
d) R$ 500,00.
e) R$ 1.500,00.
15.
(Auditor da Receita Estadual - Amapá 2010/FGV) Carlos comprou em
janeiro de 2010 uma casa por R$180.000,00, com um financiamento sem
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entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos
com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros
compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em
fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o
valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de:
a) R$ 3.020,00
b) R$ 3.160,00
c) R$ 3.240,00
d) R$ 3.300,00
e) R$ 3.450,00
16.
(Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Um empréstimo no
valor de R$ 150.000,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações
mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data
da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante
(SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação
supera o valor da penúltima prestação em
(A) R$ 3.625,00.
(B) R$ 3.687,50.
(C) R$ 3.750,00.
(D) R$ 3.812,50.
(E) R$ 3.875,00.
17.
(CEF 2004 FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8
parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização
Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data
do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação,
era de
a) R$ 2.260,00
b) R$ 1.350,00
c) R$ 1.500,00
d) R$ 1.750,00
e) R$ 1.800,00
18.
(CEF 2004 FCC) Um empréstimo de R$ 50 000,00 deve ser devolvido em
20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a
taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá
ser
a) R$ 2 950,00
b) R$ 3 000,00
c) R$ 3 050,00
d) R$ 3 100,00
e) R$ 3 150,00
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19.
(CEF 2008 CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4
prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo,
com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O
valor, em reais, da terceira prestação será
a) 50,00
b) 55,00
c) 60,00
d) 65,00
e) 70,00
20.
(AFTE-RO 2010 FCC) A dívida referente à aquisição de um imóvel deverá
ser liquidada pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) por meio de 48
prestações mensais, a uma taxa de 2% ao mês, vencendo a primeira
prestação um mês após a data de aquisição. Se o valor da última prestação é
de R$ 2.550,00, tem-se que o valor da 26ª prestação é igual a
a) R$ 3.700,00
b) R$ 3.650,00
c) R$ 3.600,00
d) R$ 3.550,00
e) R$ 3.500,00
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3 Gabaritos
01. B
02. D
03. C
04. B
05. C
06. B
07. E
08. A
09. D
10. A
11. B
12. D
13. C
14. E
15. C
16. A
17. E
18. C
19. C
20. B
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4 Tabelas Financeiras