Zadania  z  oryginalną  numeracją  pochodzą  z   Informatora  o  egzaminie  maturalnym  od  2010  roku 
z matematyki (zdawanej jako przedmiot obowiązkowy) – Zbiór przykładowych zadań maturalnych. 

 
Tydzień 6. 
 
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań skorzystaj z 

tablic

 matematycznych 10. Planimetria oraz 

12. Trygonometria. 
 

 

Do  obliczenia  sinusa  kąta  w  trójkącie  prostokątnym  potrzebujemy  długości  jego  przeciwprostokątnej 
obliczonej z twierdzenia Pitagorasa. 
|AC|

2

 + |BC|

2

 = |AB|

2

 

Stąd |AB| = 

 

sin

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. C 

 

 

 
W  tym  przypadku  możemy  skorzystać  z  tożsamości  trygonometrycznej  sin

2

 +  cos

2

 =  1.  Po 

podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy, że cos

. 

 
Lub 

Skoro  sin

 = ,  to  możemy  przyjąć,  że  odpowiednia  przyprostokątna  ma  długość  a,  natomiast 

przeciwprostokątna 4a. Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość drugiej przyprostokątnej, która jest 

równa a

. Zatem cos

 

2 

4 

c 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D 

 

 

 

tg30

o

 =   >   = tg . Funkcja y = tgx w przedziale (0

o

 , 90

o

) jest funkcją rosnącą, zatem   < 30

o

. 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. A 

 

 

 

 

 

 

 

 

c = 

 

 

 

 

 

c = 2

 

 
 
 

sin cos  = 

  

 

 

Możemy obliczyć cos , tak jak w zad. 28, a następnie tg  = 

. Teraz podstawiając odpowiednie 

wartości możemy obliczyć wartość wyrażenia 3 + 2tg

2

. 

 
Lub 
 
Po  obliczeniu  długości  drugiej  przyprostokątnej  (patrz  rozwiązanie  zad.  28.  po  słowie  lub)  obliczamy 

tg =

. Teraz obliczamy wartość wyrażenia 3 + 2(

)

2

 =   

 

 

 

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku powyżej, wynikające z warunków zadania. 

 

 równoramienny, czyli 

 

 

(1) 

 

 

 i 

 są przyległe 

 

 

Podstawiamy do (1). 

 

5

 

 

 

 

 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

|CD|

2

 + |BD|

2

 = |BC|

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|CD|

2

 +12

2

 = 13

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|CD| = 5 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

ABC

 = =

 

 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

A 

13 

24 

C 

B 

D 

13 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC. |AB| = 13. 

 podobny do 

  w skali k =  . 

Korzystając z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych obliczymy pole trójkąta HAE. 

P

ABC

 =

 

 

P

AHE

 =

 

 
Nie pamiętając twierdzenia o stosunku pól  figur podobnych możemy  obliczyć długości boków trójkąta 
AHE a następnie, policzyć jego pole. 

 

 

 

 

 

|AH| =  

 

 

 

|EH| =   

 

P

AEH

 =

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 mają wspólny kąt BOR oraz |OD| = |OP| (promień mniejszego półokręgu) i |OB| = OR| 

(promień większego półokręgu) 

 mają wspólny kąt AOR oraz |OC| = |OP| (promień mniejszego półokręgu) i |OA| = |OR| 

(promień większego półokręgu) 
Dla ułatwienia możemy wprowadzić na rysunku oznaczenia kątów wynikających z warunków zadania. 
(1) 

 

 

(2) 

 

Dodając stronami (1) i (2) otrzymujemy 

 a to należało dowieść.