Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
1
Temat wykładu:
Ciąg liczbowy. Granica ciągu
Kody kolorów:
żółty – nowe pojęcie
pomarańczowy
– uwaga
kursywa – komentarz
* – materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
2
Zagadnienia
1.
Przykłady ciągów, definicja ciągu
2.
Pojęcie granicy ciągu
3.
Ciąg zbieżny, rozbieżny do ∞
4.
Twierdzenia o granicach ciągów
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
3
Idea ciągu
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
4
Przykłady ciągów
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
5
Przykłady ciągów
Przykład 1. Ciąg ulubieńców:
1.
2.
3.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
6
Przykłady ciągów
Przykład 2. Ciąg czynności
wykonywanych podczas robienia
deseru:
1.
ułożyć warstwę biszkoptów
2.
posypać kakao
3.
nałożyć warstwę kremu
4.
posypać kakao
5.
ułożyć warstwę biszkoptów
6.
posypać kakao
7.
nałożyć warstwę kremu
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
7
Przykłady ciągów
Przykład 3a. Ciąg kolejnych liczb
pierwszych mniejszych od 10:
1.
2.
3.
4.
2
3
5
7
ciąg liczbowy skończony
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
8
Przykłady ciągów
Przykład 3b.
Dwa różne ciągi
liczb
pierwszych mniejszych od 10:
1.
2.
3.
4.
2
3
5
7
1.
2.
3.
4.
2
5
3
7
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
9
Przykłady ciągów
Przykład 4. Ciąg kolejnych liczb
parzystych dodatnich
1.
2.
3.
4.
...
2
4
6
8
...
ciąg liczbowy nieskończony
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
10
Wprowadzenie do definicji ciągu
Określenie ciągu:
1.
2.
3.
...
A
B
C
...
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
11
Definicja ciągu (1a)
Jeśli każdej z liczb naturalnych:
1, 2, 3, ...
została przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
rzeczywista, to został określony
ciąg (nieskończony) tych liczb
rzeczywistych.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
12
Definicja ciągu (1b)
Jeśli każdej z liczb naturalnych:
1, 2, 3, ...,
m
została przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
rzeczywista, to został określony
ciąg (skończony) tych liczb
rzeczywistych.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
13
Terminologia i oznaczenia
1.
2.
3.
...
a
1
a
2
a
3
...
Jeżeli liczbom naturalnym
1, 2, 3, ...
przyporządkowano liczby
a
1
,
a
2
,
a
3
, ...
to został określony ciąg, który
oznaczamy:
(
a
n
)
lub
{
a
n
}
.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
14
Terminologia i oznaczenia
a
1
–
1-szy
wyraz ciągu
a
2
–
2-gi
wyraz ciągu
itd.
a
n
–
n
-ty
wyraz ciągu
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
15
Terminologia na przykładzie
a
n
=
n
2
+1
a
n
– wyraz ogólny ciągu
Czytamy:
ciąg o wyrazie ogólnym
n
2
+1
indeks wyrazu
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
16
Sposoby określenia ciągu
1.
Dany jest wzór na wyraz ogólny
ciągu
Przykład
K
,
3
,
2
,
1
dla
3
1
2
=
+
=
n
n
a
n
Wyznaczanie wyrazów ciągu:
a
1
= ...
a
2
= ...
a
51
= ...
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
17
Sposoby określenia ciągu
2.
Ciąg jest opisany warunkiem
Przykład
(
b
n
) – ciąg kolejnych liczb
pierwszych
Wyznaczanie wyrazów ciągu:
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
18
Sposoby określenia ciągu
3.
Ciąg jest opisany wzorem
rekurencyjnym
Przykład
+
=
=
+
n
c
c
c
n
n
8
1
1
1
Wyznaczanie wyrazów ciągu:
c
1
= ...
c
2
= ...
c
51
= ...
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
19
Uwaga
Dla ciągu opisanego wzorem
rekurencyjnym
+
=
=
+
n
c
c
c
n
n
8
1
1
1
wzór na
c
n
ma postać
(
)
K
,
3
,
2
,
1
,
1
2
2
=
−
=
n
n
c
n
Dowód przez indukcję.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
20
Ciąg arytmetyczny – definicja
Ciąg (
a
n
) nazywamy
arytmetycznym, gdy:
(wzór rekurencyjny)
∈
∈
∈
∈
====
++++
====
++++
R
r
,
,
,
n
,
r
a
a
a
n
n
K
3
2
1
dany
1
1
r –
różnica ciągu arytmetycznego
(wzór na wyraz ogólny)
(
)
R
r
n
r
n
a
a
n
∈
=
⋅
−
+
=
,
,
3
,
2
,
1
,
1
1
K
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
21
Ciąg arytmetyczny – przykład
+
=
=
+
2
4
1
1
n
n
a
a
a
Do samodzielnego
wykonania
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
22
Ciąg geometryczny – definicja
Ciąg (
a
n
) nazywamy
geometrycznym, gdy:
(wzór rekurencyjny)
{ }
−
∈
⋅
=
+
,
0
,
dany
1
1
R
q
q
a
a
a
n
n
q
– iloraz ciągu geometrycznego
(wzór na wyraz ogólny)
{ }
0
,
,
3
,
2
,
1
,
1
1
−
∈
=
⋅
=
−
R
q
n
q
a
a
n
n
K
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
23
Ciąg geometryczny – przykład
=
=
+
n
n
a
a
a
3
1
1
1
4
Do samodzielnego
wykonania
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
24
Dokąd zmierzasz ciągu?
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
25
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
n
n
a
1
=
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
26
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
n
n
a
1
=
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
→
→
→
→
n
,
a
n
gdy
0
n
1
2
3
4
...
a
n
1
1/2
1/3
1/4 ...
0
→
→
→
→
n
a
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
27
Przykład 1 - wykres
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
28
Przykład 1 - wykres
n
n
a
1
=
0
0,5
1
1,5
0
1
2
3
4
5
n
a
n
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
→
→
→
→
n
,
a
n
gdy
0
n
1
2
3
4
a
n
1
1/2
1/3
1/4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
29
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 2.
n
a
n
=
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
30
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 2.
n
a
n
=
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
n
,
a
n
gdy
n
1
2
3
4
...
a
n
1
2
3
4 ...
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
31
Przykład 2 - wykres
n
a
n
=
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
n
a
n
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
n
,
a
n
gdy
n
1
2
3
4
a
n
1
2
3
4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
32
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 3.
n
a
n
n
⋅
−
=
+
1
)
1
(
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
33
Przykład 3 - wykres
n
a
n
n
⋅
−
=
+
1
)
1
(
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
n
a
n
?
→
n
a
n
1
2
3
4
a
n
1
- 2
3
- 4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
34
Terminologia na przykładzie
Zapis:
0
→
n
a
znaczenie:
wyrazy
a
n
zbliżają się do 0
czytamy:
ciąg
(
a
n
) dąży do 0
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
35
Terminologia na przykładzie
Zapis:
0
→
n
a
znaczenie:
wyrazy
a
n
zbliżają się do 0
czytamy:
ciąg
(
a
n
) dąży do 0
wartość graniczna, granica
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
36
Terminologia na przykładzie
Zapis:
0
→
n
a
znaczenie:
wyrazy
a
n
zbliżają się do 0
czytamy:
ciąg
(
a
n
) dąży do 0
lub
granicą ciągu (
a
n
) jest liczba 0
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
37
Oznaczenia na przykładzie
Zapis:
0
→
n
a
czytamy:
granicą ciągu (
a
n
) jest liczba 0
limes (
łac.
) – granica
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
38
Oznaczenia na przykładzie
Zapis:
0
→
n
a
czytamy:
granicą ciągu (
a
n
) jest liczba 0
limes (
łac.
) – granica
zapis:
0
lim
=
∞
→
n
n
a
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
39
Granica ciągu – oznaczenia
Ogólniej:
g
a
n
→
czytamy:
granicą ciągu (
a
n
) jest liczba
g
zapis:
g
a
n
n
=
∞
→
lim
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
40
Granica ciągu –
przedstawienie graficzne
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
41
*
Definicja granicy ciągu
Dla danego ciągu (
a
n
)
ε
lim
0
ε
<
−
⇔
=
∀
∃
∀
>
∈
>
∞
→
+
g
a
g
a
n
k
n
N
k
def
n
n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
42
Twierdzenia o granicach ciągów
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
43
Twierdzenia o granicach ciągów
0
lim
1
====
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
n
n
(1)
R
c
,
c
,
c
c
n
∈
∈
∈
∈
====
====
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
const
lim
(2)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
44
Terminologia i przykłady
Gdy granicą ciągu jest liczba
skończona, to mówimy, że ciąg
ma
granicę właściwą
.
Ciąg taki nazywamy zbieżnym.
Przykłady:
n
n
a
1
)
a
=
2
)
b
=
n
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
45
Ciąg dążący do ∞
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
46
* Definicja ciągu dążącego do + ∞
Dla danego ciągu (
a
n
)
M
a
a
n
k
n
N
k
R
M
def
n
n
>
⇔
∞
+
=
∀
∃
∀
>
∈
∈
∞
→
+
lim
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
47
* Definicja ciągu dążącego do - ∞
Dla danego ciągu (
a
n
)
M
a
a
n
k
n
N
k
R
M
def
n
n
<
⇔
∞
−
=
∀
∃
∀
>
∈
∈
∞
→
+
lim
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
48
Twierdzenia o granicach ciągów
∞
∞
∞
∞
++++
====
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
n
n
lim
(3)
((((
))))
∞
∞
∞
∞
−−−−
====
−−−−
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
n
n
lim
(4)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
49
Terminologia i przykłady
Gdy granicą ciągu jest + ∞ lub – ∞,
to mówimy, że ciąg ma
granicę
niewłaściwą.
Ciąg taki nazywamy rozbieżnym
do + ∞ lub – ∞.
Przykłady:
n
a
n
=
)
a
n
b
)
n
−−−−
====
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
50
Terminologia i przykłady
Gdy granica ciągu nie istnieje, to
mówimy, że ciąg jest rozbieżny.
Przykłady:
( )
n
a
n
n
⋅
−
=
+
1
1
)
a
( )
n
n
b
1
)
b
−
=
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
51
Twierdzenia o granicach ciągów
0
gdy
,
lim
>
∞
+
=
∞
→
k
n
k
n
(5)
1
gdy
,
lim
>
∞
+
=
∞
→
k
k
n
n
(6)
1
gdy
,
0
lim
<
=
∞
→
k
k
n
n
(7)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
52
* Twierdzenia o granicach ciągów
Ogólniej:
0
gdy
lim
>>>>
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
++++
====
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
k
,
a
,
a
n
k
n
n
(8)
1
gdy
lim
>>>>
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
∞
∞
∞
∞
++++
====
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
k
,
a
,
k
n
a
n
n
(9)
1
gdy
0
lim
<<<<
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
====
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
k
,
a
,
k
n
a
n
n
(10)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
53
*Twierdzenia o granicach ciągów
(
)
e
n
n
n
=
+
∞
→
1
1
lim
(11)
Ogólniej:
((((
))))
∞
∞
∞
∞
++++
→
→
→
→
====
++++
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
n
a
a
n
a
,
e
n
n
gdy
1
lim
1
(12)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
54
Twierdzenia o ciągach zbieżnych
Jeżeli
b
b
a
a
n
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
lim
,
lim
oraz
a
,
b
są skończone, to:
b
a
b
a
n
n
n
++++
====
++++
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
)
(
lim
(13)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
55
Twierdzenia o ciągach zbieżnych
Jeżeli
b
b
a
a
n
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
lim
,
lim
oraz
a
,
b
są skończone, to:
b
a
b
a
n
n
n
−−−−
====
−−−−
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
)
(
lim
(14)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
56
Twierdzenia o ciągach zbieżnych
Jeżeli
b
b
a
a
n
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
lim
,
lim
oraz
a
,
b
są skończone, to:
b
a
b
a
n
n
n
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
)
(
lim
(15)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
57
Twierdzenia o ciągach zbieżnych
Jeżeli
b
b
a
a
n
n
n
n
=
=
∞
→
∞
→
lim
,
lim
oraz
a
,
b
są skończone, to:
0
oraz
0
gdy
lim
≠≠≠≠
≠≠≠≠
====
∀
∀
∀
∀
++++
∈
∈
∈
∈
∞
∞
∞
∞
→
→
→
→
b
b
,
b
a
b
a
n
N
n
n
n
n
(16)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
58
* Twierdzenie o trzech ciągach
Jeżeli
,
,
lim
,
lim
n
n
n
n
n
n
n
c
b
a
g
c
g
a
≤
≤
=
=
∞
→
∞
→
to:
g
b
n
n
=
∞
→
lim
(17)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
59
Tw. o ciągach rozbieżnych do ∞
Jeżeli
,
lim
,
lim
∞
+
=
∞
+
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
b
a
to
(
)
∞
+
=
+
∞
→
n
n
n
b
a
lim
(18)
Jeżeli
,
lim
,
lim
∞
−
=
∞
−
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
b
a
to
(
)
∞
−
=
+
∞
→
n
n
n
b
a
lim
(19)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
60
Tw. o ciągach rozbieżnych do ∞
Jeżeli
,
lim
,
lim
b
b
a
n
n
n
n
=
∞
+
=
∞
→
∞
→
b
- skończona, to
(
)
∞
+
=
+
∞
→
n
n
n
b
a
lim
(20)
Jeżeli
,
lim
,
lim
b
b
a
n
n
n
n
=
∞
−
=
∞
→
∞
→
b
- skończona, to
(
)
∞
−
=
+
∞
→
n
n
n
b
a
lim
(21)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
61
Tw. o ciągach rozbieżnych do ∞
Jeżeli
,
lim
a
a
n
n
=
∞
→
a
– skończona
i
,
0
≠
a
oraz
,
lim
∞
±
=
∞
→
n
n
b
to
(22)
(
)
∞
±
=
⋅
∞
→
n
n
n
b
a
lim
znak zgodny z regułą znaków
Jeżeli
,
lim
a
a
n
n
=
∞
→
a
– skończona,
,
lim
±∞
=
∞
→
n
n
b
to
0
lim
=
∞
→
n
n
n
b
a
(23)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Inżynieria Ekologiczna w SGGW
62
Wyrażenia nieoznaczone
Na ćwiczeniach
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad 1 CIAGI 2012 13 wer stud
Rajfura A, Statystyka Wyklad 04 ROZKLAD CIAGLY 2012 13
Rajfura A, Statystyka Wyklad 02 PARAMETRY 2012 13
Ekol cw lek I 2012 13 id 154764 Nieznany
Kontrola i nadzór nad samorządem terytorialnym - 2012-13 (25h) WYKLAD dzienne, Administracja, Semest
Zakres zagadnie 2012-13, UMK Administracja, Wykłady, Postępowanie sądowo - administracyjne
prawo ustrojowe ue wykład 2012 13
K Chodnikiewicz Wykład 1 2012 13 dynamika
BMZ wykłady- fiszki z wykładów 2012-13, Psychologia, Psychologia I rok, semestr zimowy, Biologiczne
PPPiPU wykłady (2012 13)
Wyklad 5 ROWNANIA ROZNICZKOWE IN EKOL
nstc BN 1 rok Wsplcz zagr militarne i pozamil 2012 13 wykłady
Biotechnologia zamkniete użycie (2012 13)
Algebra liniowa i geometria kolokwia AGH 2012 13
więcej podobnych podstron