www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W
ZORY REDUKCYJNE
Wzory redukcyjne pozwalaj ˛
a sprowadzi´c liczenie warto´sci funkcji trygonometrycznej do-
wolnego k ˛
ata do liczenia warto´sci funkcji trygonometrycznych k ˛
atów ostrych. Innymi sło-
wy, je ˙zeli umiemy liczy´c funkcje trygonometryczne dla k ˛
atów ostrych, to umiemy je liczy´c
dla dowolnych k ˛
atów.
Wzorów redukcyjnych jest du ˙zo (w zasadzie niesko ´nczenie wiele), wi˛ec nic dziwnego,
˙ze sprawiaj ˛
a kłopoty. Warto jednak ich si˛e nauczy´c, bo s ˛
a one kluczowe w wielu zadaniach
z trygonometrii.
Okresowo´s´c
Najprostsze wzory redukcyjne to wzory na okresowo´s´c funkcji trygonometrycznych:
sin
(
x
+
2kπ
) =
sin x
cos
(
x
+
2kπ
) =
cos x
tg
(
x
+
kπ
) =
tg x
ctg
(
x
+
kπ
) =
ctg x.
Te wzory s ˛
a łatwe do zapami˛etania i powinni´smy je stosowa´c zupełnie automatycznie.
Obliczmy sin
π
3
+
sin
5π
3
.
Liczymy
sin
π
3
+
sin
5π
3
=
sin
π
3
+
sin
2π
−
π
3
=
=
sin
π
3
+
sin
−
π
3
=
sin
π
3
−
sin
π
3
=
0.
Je ˙zeli my´slimy, ˙ze wzory na okresowo´s´c pozwalaj ˛
a nam przesuwa´c argumenty sinusa/cosinusa
o wielokrotno´s´c 2π, to pełne wzory redukcyjne pozwalaj ˛
a przesuwa´c te argumenty o wielo-
krotno´sci
π
2
, czyli znacznie drobniej.
Ogólne wzory redukcyjne
Nie przedłu ˙zaj ˛
ac, ogólna posta´c wzorów redukcyjnych jest nast˛epuj ˛
aca
f unkcja
k
·
π
2
±
x
=
(
±
f unkcja
(
x
)
je ˙zeli k jest parzyste
±
ko f unkcja
(
x
)
je ˙zeli k jest nieparzyste.
Wzór wygl ˛
ada gro´znie, ale postaramy si˛e wszystko wyja´sni´c.
Słowo ’funkcja’ w tym wzorze mo ˙ze by´c jedn ˛
a z funkcji sin, cos, tg, ctg. Słowo ko f unkcja
odpowiada zamianom
sin
↔
cos
tg
↔
ctg,
czyli np. je ˙zeli f unkcja
=
cos to ko f unkcja
=
sin itd. To, czy funkcja zostaje bez zmian, czy
te ˙z zamienia si˛e na kofunkcj˛e, zale ˙zy od parzysto´sci k. O wyra ˙zeniu
±
x nale ˙zy my´sle´c, ˙ze
jest to albo
+
x albo
−
x.
Ostatnia kwestia do wyja´snienia to znak
±
z prawej strony wzoru. W jego miejsce wpi-
sujemy ’+’ lub ’-’ w zale ˙zno´sci od tego, w której ´cwiartce jest k ˛
at k
·
π
2
±
x. Przypomnijmy
regułk˛e znaków funkcji trygonometrycznych.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
W pierwszej wszystkie s ˛
a dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i
cotangens, a w czwartej cosinus.
Wracaj ˛
ac do znaków, patrzymy w której ´cwiartce jest k ˛
at k
·
π
2
±
x (przy czym o x nale ˙zy
my´sle´c jak o k ˛
acie ostrym!), z regułki patrzymy jaki jest znak f unkcji (tej z lewej strony
wzoru!) i taki znak piszemy z prawej strony.
Przykłady
Zróbmy kilka przykładów.
Wyprowad´zmy wzór na sin
(
π
−
x
)
.
Mamy k
=
2, czyli funkcja nam si˛e nie zmieni. π
−
x to druga ´cwiartka, czyli sinus
jest dodatni. Zatem
sin
(
π
−
x
) =
sin x.
Podobnie jest dla sin
(
π
+
x
)
, ale tym razem jest to trzecia ´cwiartka, czyli sinus jest
ujemny. Zatem
sin
(
π
+
x
) = −
sin x.
Wyprowad´zmy wzór na tg
π
2
+
x
. Mamy k
=
1, czyli funkcja zmieni si˛e na ctg.
Jeste´smy w drugiej ´cwiartce, czyli funkcja tangens jest ujemna. Daje to nam wzór
tg
π
2
+
x
= −
ctg x.
I tak dalej, idea powinna by´c ju ˙z jasna. W ramach ´cwicze ´n radz˛e wyprowadzi´c sobie wzorki
sin
π
2
+
x
=
cos x
cos
π
2
+
x
= −
sin x
tg
3π
2
+
x
= −
ctg x
ctg
5π
2
−
x
=
tg x
cos
(
π
−
x
) = −
cos x
ctg
(
5π
+
x
) =
ctg x
sin
x
−
π
2
= −
cos x
cos
x
−
3π
2
= −
sin x
oraz
f unkcja
π
2
−
x
=
ko f unkcja
(
x
)
.
Obliczmy sin
π
7
+
cos
9π
14
.
Liczymy
sin
π
7
+
cos
9π
14
=
sin
π
7
+
cos
7π
+
2π
14
=
=
sin
π
7
+
cos
π
2
+
π
7
=
sin
π
7
−
sin
π
7
=
0.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Jest łatwy sposób zapami˛etania, kiedy we wzorze redukcyjnym funkcja zostaje bez zmian,
a kiedy zmienia si˛e na kofunkcj˛e: funkcja pozostaje bez zmian wtedy i tylko wtedy je ˙zeli we
wzorze mamy wielokrotno´s´c π (czyli k parzyste). W pozostałych przypadkach, czyli gdy π
wyst˛epuje w ułamku z mianownikiem 2 (k nieparzyste), funkcj˛e zmieniamy na kofunkcj˛e.
We wzorach na sin
(
3π
−
x
)
, tg
(
x
−
5π
)
, ctg
(
x
+
π
)
funkcja si˛e nie zmieni, a we
wzorach na sin
3π
2
−
x
, tg x
−
5π
2
, ctg x
+
π
2
funkcja zmieni si˛e na kofunkcj˛e.
2
Jak to zwykle bywa, im wi˛ecej rzeczy pami˛etamy, tym mniej tracimy czasu na wertowanie
tablic. Najcz˛e´sciej wyst˛epuj ˛
ace wzory redukcyjne to
sin
(
π
−
x
) =
sin x
sin
(
π
+
x
) = −
sin x
cos
(
π
−
x
) = −
cos x
cos
(
π
+
x
) = −
cos x
sin
π
2
+
x
=
cos x
cos
π
2
+
x
= −
sin x
oraz
f unkcja
π
2
−
x
=
ko f unkcja
(
x
)
.
Powy ˙zsze wzory, plus wzory na okresowo´s´c i parzysto´s´c/nieparzysto´s´c funkcji trygonome-
trycznych, w zasadzie wystarczaj ˛
a do rozwi ˛
azania wi˛ekszo´sci szkolnych zada ´n.
Wiedz ˛
ac, ˙ze cos α
=
1
9
znajd´z k ˛
at β, dla którego cos β
= −
1
9
.
Ze wzoru redukcyjnego cos
(
π
−
x
) = −
cos x, mo ˙zemy wzi ˛
a´c β
=
π
−
α
.
Wiedz ˛
ac, ˙ze cos x
=
√
7
7
oblicz sin
5π
2
+
x
.
Liczymy
sin
5π
2
+
x
=
sin
2π
+
π
2
+
x
=
sin
π
2
+
x
=
cos x
=
√
7
7
.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
3
Jeden z najwa ˙zniejszych wzorów redukcyjnych to
f unkcja
π
2
−
x
=
ko f unkcja
(
x
)
.
Wzór ten pozwala zamienia´c funkcj˛e na kofunkcj˛e.
Upro´s´cmy wyra ˙zenie tg
π
8
tg
3π
8
.
Liczymy
tg
π
8
tg
3π
8
=
tg
π
8
tg
π
2
−
π
8
=
tg
π
8
ctg
π
8
=
1.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie tg x
=
ctg x.
Korzystaj ˛
ac ze wzoru tg
π
2
−
x
=
ctg x mamy
tg x
=
tg
π
2
−
x
⇐⇒
x
=
π
2
−
x
+
kπ
⇐⇒
2x
=
π
2
+
kπ
⇐⇒
x
=
π
4
+
kπ
2
, k
∈
C
4
Zamiast uczy´c si˛e regułki o znakach funkcji trygonometrycznych, niektóre osoby wol ˛
a ko-
rzysta´c z definicji funkcji trygonometrycznych w okr˛egu jednostkowym. Dokładnie omówi-
li´smy to w
poradniku o funkcjach trygonometrycznych
, ale krótko przypomnijmy, ˙ze współ-
rz˛edne ko ´nca promienia okr˛egu jednostkowego, który tworzy z osi ˛
a Ox k ˛
at α s ˛
a równe
(
cos α, sin α
)
.
α
(cos(α),sin(α))
sin(α)
cos(α)
1
Z tej interpretacji łatwo sobie przypomnie´c, ˙ze sinus (druga współrz˛edna) jest dodatni w
I i II ´cwiartce, a cosinus (pierwsza współrz˛edna) w I i IV.
Tangens/cotangens jest dodatni tam, gdzie sinus i cosinus maj ˛
a ten sam znak, czyli w I i
III ´cwiartce, a jest ujemny w II i IV ´cwiartce.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
5
Niezwykle istotne jest pami˛etanie, ˙ze ustalaj ˛
ac ´cwiartk˛e, w której jest k ˛
at k
·
π
2
±
x (lewa
strona ogólnego wzoru redukcyjnego) musimy o k ˛
acie x my´sle´c jak o k ˛
acie ostrym! – nawet,
je ˙zeli x wcale nie jest k ˛
atem ostrym!
Przekształcaj ˛
ac wyra ˙zenie sin
(
3π
+
7
9
π
)
my´slimy o wzorze
sin
(
3π
+
x
) = −
sin x,
gdzie znak wybrali´smy traktuj ˛
ac x jako k ˛
at ostry. Z tego wzoru mamy
sin
(
3π
+
7
9
π
) = −
sin
7
9
π
,
pomimo, ˙ze
7
9
π
nie jest k ˛
atem ostrym!
6
Sk ˛
ad si˛e bior ˛
a wzory redukcyjne? W przypadku funkcji sinus i cosinus, wzory redukcyjne
s ˛
a poł ˛
aczeniem trzech własno´sci tych funkcji:
a) okresowo´sci sinusa: sin
(
x
+
2kπ
) =
sin x;
b) symetrii wykresu sinusa wzgl˛edem prostej x
=
π
2
, daje to wzór sin
(
π
−
x
) =
sin x;
c) faktu, ˙ze wykresy sinusa i cosinusa s ˛
a przesuni˛ete wzgl˛edem siebie o
π
2
, daje to wzór
sin
(
π
2
−
x
) =
cos x
Gdy si˛e człowiek chwil˛e zastanowi i pozbiera te trzy własno´sci razem, to wzory redukcyjne
robi ˛
a si˛e do´s´c oczywiste.
O ile pierwsze dwa z powy ˙zszych wzorów s ˛
a wła´sciwie cz˛e´sci ˛
a procedury roz-
szerzenia dziedziny sinusa poza k ˛
aty ostre, o tyle trzeci wzór jest natychmiastow ˛
a
konsekwencj ˛
a definicji funkcji trygonometrycznych w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym:
sin
(
90
◦
−
α
) =
b
c
=
cos α.
a
b
c
α
90-α
o
Wzory dla tangensa i cotangensa najlepiej traktowa´c jako wniosek ze wzorów dla sinusa i
cosinusa.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5