Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Odpowiedzi do zadań z zestawu nr 3

1. 1

◦

=

π

180

rad, 30

◦

=

π

6

rad, 45

◦

=

π

4

rad, 60

◦

=

π

3

rad, 90

◦

=

π

2

rad, 120

◦

=

2π

6

rad, 180

◦

=

π rad, 360

◦

= 2π rad.

2. Dziedzina, zbiór wartości, znaki w kolejnych ćwiartkach:

sin x,

R, [−1, 1], +, +, −, −

cos x,

R, [−1, 1], +, −, −, +

tg x,

R − {k

π

2

, k =

±1, ±3, ±5, . . . }, R, +, −, +, −

ctg x,

R − {kπ, k = 0, ±1, ±2, ±3, . . . }, R, +, −, +, −

Przykładowe zwi

ι

azki mi

ι

edzy funkcjami to:

cos x = sin(x + π/2) = sin(π/2

− x), ctg x = 1/tg x = tg (π/2 − x).

3. Policzyć

(a) cos x, jeśli sin x =

1

16

oraz x

∈ (

π

2

, π),

→ −

√

255

16

(b) sin x, jeśli ctg x =

−

2
3

oraz x

∈ (

π

2

, π),

→

3

√

13

(c) tg x, jeśli sin x =

−

3
8

oraz x

∈ (π,

3
2

π),

→

3

√

55

4. Podstawowe wzory redukcyjne

(a) sin(π/2

± x) = cos x

(b) sin(π

± x) = ∓ sin x

(c) sin(2π

− x) = − sin x

(d) cos(π/2

± x) = ∓ sin x

(e) cos(π

± x) = − cos x

(f) cos(2π

− x) = cos x

5. Mamy

(a) sin 300

◦

=

−

√

3

2

(b) cos 540

◦

=

−1

(c) tg 225

◦

= 1

6. Tożsamości trygonometryczne

(a) sin(α

± β) = sin α cos β ± cos α sin β

(b) cos(α

± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β

(c) tg (α

± β) =

tg α

±tg β

1

∓tg α tg β

(d) ctg (α

± β) =

ctg α ctg β

∓1

ctg β

±ctg α

7. Z powyższych dostajemy

(a) sin(2α) = 2 sin α cos α

(b) cos(2α) = cos

2

α

− sin

2

α

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(c) tg (2α) =

2tg α

1

−tg

2

α

(d) ctg (2α) =

ctg

2

α

−1

2ctg α

(e) sin(3α) = 3 sin α

− 4 sin

3

α

(f) cos(3α) = 4 cos

3

α

− 3 cos α

(g) tg (3α) =

3tg α

−tg

3

α

1

−3tg

2

α

(h) ctg (3α) =

ctg

3

α

−3ctg α

3ctg

2

α

−1

8. Wykresy funkcji

(a) f (x) = (sin x

− cos x)

2

= 1

− sin 2x

(b) f (x) = sin

4

x

− cos

4

x =

− cos 2x

9. Zachodzi

(a) sin α

± sin β = 2 sin

α

±β

2

cos

α

∓β

2

(b) cos α + cos β = 2 cos

α+β

2

cos

α

−β

2

(c) cos α

− cos β = −2 sin

α+β

2

sin

α

−β

2

10. Aby pokazać, że

1

−cos 2x+sin 2x

1+cos 2x+sin 2x

= tg x, korzystamy z "jedynki" i wzoru na cos 2x.

11. Rozwi

ι

azania równań

(a) sin 2x =

1
2

x =

1
2

(

π

6

+ 2kπ

)

lub x =

1
2

(

5π

6

+ 2kπ

)

, gdzie k

∈ Z

(b) sin x + cos x = 0

x =

−

π

4

+ kπ, gdzie k

∈ Z

(c) sin

2

x + 2 sin x

− 3 = 0

x =

π

2

+ 2kπ, gdzie k

∈ Z

(d) 4 cos

2

x = 4 sin x + 1, w przedziale [0, 2π]

x =

π

6

lub x =

5π

6

12. Rozwi

ι

azania nierówności

(a) sin 2x >

1
2

suma przedziałów postaci

(

π

12

+ kπ,

5π

12

+ kπ

)

, gdzie k

∈ Z

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(b) sin

4

x + cos

4

x >

7
8

suma przedziałów postaci

(

−

π

12

+ k

π

2

,

π

12

+ k

π

2

)

, gdzie k

∈ Z

(c) sin x + sin 3x + sin 5x < 0

suma przedziałów postaci

(

π + 2kπ,

4π

3

+ 2kπ

)

,

(

4π

3

+ 2kπ,

5π

3

+ 2kπ

)

,

(

5π

3

+ 2kπ, 2π + 2kπ

)

.

13. Dana jest funkcja f (x) =

sin

2

x

−| sin x|

sin x

, dla x

∈ (0, π)∪(π, 2π). Naszkicować wykres i znaleźć

miejsca zerowe funkcji f .

R

a

α

S

α

S

R

c

a

b

l

α

A

B

C

D

E

F

G

H

14. Dany jest trójk

ι

at wpisany w okr

ι

ag. Jeden z boków trójk

ι

ata ma długość a, a k

ι

at leż

ι

acy

naprzeciw tego boku ma miar

ι

e α. Obliczyć promień R okr

ι

egu opisanego na trójk

ι

acie.

Z trójk

ι

ata równoramiennego o wierzchołku S wynika, że R =

a

2 sin α

.

15. Na okr

ι

egu o promieniu R opisany jest romb. Stosunek pola powierzchni koła do pola

powierzchni rombu wynosi

π

√

3

8

. Znaleźć k

ι

at ostry rombu α.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

.

S

R

R

a

α

2α

Przek

ι

atne rombu dane s

ι

a wzorami d

1

=

2R

sin(α/2)

, d

2

=

2R

cos(α/2)

. Pole rombu to P

r

=

1
2

d

1

d

2

,

wi

ι

ec dostaniemy α = 60

◦

.

16. Przek

ι

atna prostopadłościanu ma długość l i tworzy ona ze ścian

ι

a boczn

ι

a k

ι

at α. Obliczyć

obj

ι

etość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi c.

Z trójk

ι

atów prostok

ι

atnych ABG i BCG dostaniemy a = l sin α, b =

√

−c

2

+ l

2

cos

2

α i

oczywiście V = abc.

Zadania domowe

1. Policzyć

(a) ctg x, jeśli cos x =

1
2

oraz x

∈ (

3
2

π, 2π)

→ −

1

√

3

(b) cos x, jeśli tg x =

−

1
3

oraz x

∈ (

3
2

π, 2π)

→

3

√

10

2. Korzystaj

ι

ac ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:

(a) sin 315

◦

=

−

1

√

2

(b) cos 675

◦

=

1

√

2

(c) ctg 225

◦

= 1

3.

(a) tg α

± tg β =

sin(α

±β)

cos α cos β

(b) ctg α

± ctg β = ±

sin(α

±β)

sin α sin β

Aby wyprowadzić te wzory, zapisujemy tangensy i kotangensy przy pomocy sinusów i
kosinusów i sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika.

4. Aby wyrazić sin x, cos x i tg x za pomoc

ι

a t = tg

x

2

, używamy sin x = sin(2

x

2

) oraz cos x =

cos(2

x

2

). Zachodzi sin x =

2t

1+t

2

, cos x =

1

−t

2

1+t

2

, tg x =

2t

1

−t

2

.

5. Rozwi

ι

azać równania

(a) sin

2

x + sin x

− 6 = 0, dla x z przedziału [0, 2π]

brak rozwi

ι

azań

(b)

− cos

2

x +

5
2

sin x

−

1
2

= 0, dla x z przedziału [0, 2π]

To równanie sprowadza si

ι

e do równania sin x =

1
2

, które już zostało rozwi

ι

azane.

(c) 4 (log

2

cos x)

2

+ log

2

(1 + cos 2x) = 3

Korzystaj

ι

ac z wzoru na cos 2x i podstawiaj

ι

ac t = log

2

(cos x), otrzymujemy równanie

kwadratowe. Jedno z rozwi

ι

azań odrzucamy; drugie daje cos x =

1
2

, czyli x =

π

3

+ 2kπ

lub x =

5π

3

+ 2kπ, gdzie k

∈ Z.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

(d) sin 2x

− cos 2x = 1 − 2 cos

2

x + sin x

x = 2kπ lub x =

π

3

+ 2kπ lub x =

5π

3

+ 2kπ, gdzie k

∈ Z.

(e) cos x

−

√

3 sin x = 1

x = 2kπ lub x =

4π

3

+ 2kπ, gdzie k

∈ Z.

6. Rozwi

ι

azać nierówności

(a) sin x + cos x >

√

2 cos 2x

Wyjściow

ι

a nierówność można zapisać w postaci cos(

π

4

− x)

(

sin(

π

4

− x) −

1
2

)

< 0, co

daje x

∈ (

π

12

+ 2kπ,

3π

4

+ 2kπ) lub x

∈ (

17π

12

+ 2kπ,

7π

4

+ 2kπ), gdzie k

∈ Z.

(b) sin

3

x

− 4 sin

2

x

− sin x + 4 ≥ 0

x

∈ R.

m

b

b

b

2α

.

A

B

C

D

E

F

S

2α

H

7. W trapezie dłuższa podstawa ma długość m, a pozostałe trzy boki maj

ι

a długość b. Prze-

dłużenia ramion trapezu przecinaj

ι

a si

ι

e pod k

ι

atem 2α. Obliczyć obwód trapezu.

Liczymy b z warunku

1
2

(m

−b)

b

= sin α, co daje b =

m

1+2 sin α

oraz obwód l = m + 3b.

8. W ostrosłupie prawidłowym czworok

ι

atnym przeciwległe kraw

ι

edzie boczne przecinaj

ι

a si

ι

e

pod k

ι

atem 2α, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma

długość h. Obliczyć obj

ι

etość i powierzchni

ι

e całkowit

ι

a ostrosłupa.

Z dwóch trójk

ι

atów prostok

ι

atnych ASE oraz BF E dostajemy (H to wysokość ostro-

słupa)

a

√

2

2

H

= sin α oraz l

2

= (BE)

2

= (

a
2

)

2

+ h

2

, sk

ι

ad mamy H = a ctg α/

√

2 oraz

l =

√

a

2

+ 4h

2

/2. Dlatego obj

ι

etość v =

a

3

∗ctg α

3

√

2

, a powierzchnia całkowita S

c

= a

2

+ 2ah.

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni