Politechnika Gdańska Teoria
Sprężystości i Plastyczności M-SE4
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
sem. VI KBI r. 2005/2006
Katedra Mechaniki Budowli
prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek
ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 3
- funkcje naprężeń Airy -
1. Wyprowadzić równanie biharmoniczne, z niewiadomą funkcją naprężeń Airy,
w przypadku płaskiego stanu odkształceń (w płaszczyźnie
)
1 2
Ox x
.......................................................................................................................................................
(
)
(
)
11
11
22
22
22
11
12
21
12
1
1
1
1
1
E
E
E
ν
ε
ν σ
ν
νσ
ε
ν σ
νσ
ν
ε
ε
σ
+
⎧
=
−
−
⎡
⎤
⎣
⎦
⎪
⎪
+
⎪
=
−
−
⎡
⎤
⎨
⎣
⎦
⎪
+
⎪
=
=
⎪⎩
Równanie nierozdzielności:
2
2
2
11
22
12
2
2
2
1
1
2
2
0
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
11
11
22
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
22
22
11
2
2
2
4
1
2
2
1
2
2
4
12
12
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 1
1
2
2
F
F
4
2
2
1
2
4
2
2
1
2
x
E
x
x
E
x
x
F
F
x
x
E
x
x
E
x
x
F
x x
E
x x
E
x
ε
σ
σ
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ε
σ
σ
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ε
σ
ν
⎛
⎞
⎛
∂
∂
∂
+
+
∂
=
−
−
=
−
−
⎜
⎟
⎜
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎛
⎞
⎛
∂
∂
∂
+
+
∂
=
−
−
=
−
−
⎜
⎟
⎜
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
+
∂
∂
+
∂
−
= −
=
⋅
∂ ∂
∂ ∂
∂
x
⎞
∂
⎟
∂ ∂ ⎠
⎞
∂
⎟
∂ ∂ ⎠
2
2
2
x
∂
Po podstawieniu:
(
)
(
)
(
)
4
4
4
4
4
2
2
1
2
1
2
1
1
2 1
F
F
F
x
x
x x
ν
ν
ν
∂
∂
∂
−
+ −
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
0
Stąd
4
4
4
4
4
2
2
1
2
1
2
2
0
F
F
F
x
x
x x
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂ ∂
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
,
0
F
F
F x x
x
x
x
x
⎛
⎞⎛
∂ ⋅ ∂ ⋅
∂
∂
∆ ∆
=
+
+
=
⎜
⎟⎜
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠⎝
⎞
⎟
⎠
- identyczna postać, jak w PSN
2.
Jakie warunki muszą spełniać stałe A, B, C, D i E, by funkcja
(
)
4
3
2 2
3
1
2
1
1 2
1
2
1 2
2
,
F x x
Ax
Bx x
Cx x
Dx x
Ex
=
−
+
−
+
4
mogła być funkcją naprężeń Airy w całym obszarze
?
2
R
...................................................................................................................................................
Składniki równania biharmonicznego:
4
4
4
4
4
2
2
1
2
1
2
24 ,
24 ,
4
F
F
F
A
E
x
x
x x
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂ ∂
C
=
0
Stąd warunek
3
3
A C
E
+ +
=
. Stałe B i D mogą przyjmować dowolne wartości.
3.
Czy tensor II walencji, reprezentowany macierzą:
3
3
2
2
3
2 3
2
2
2 3
2 3
0
0
0
0
0
x
x
ax x
ax x
x x
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
może być tensorem małych odkształceń na całej płaszczyźnie Ox
2
x
3
w PSO?
Uzasadnić odpowiedź.
.......................................................................................................................................................
Równanie
nierozdzielności w płaszczyźnie Ox
2
x
3
:
2
2
2
33
23
22
3
3
3
2
2
3
2
0
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
Składniki równania nierozdzielności:
2
2
2
33
23
22
3
3
3
3
3
2
2
3
6 ,
2 ,
2
3
x
x
a
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
= −
=
=
∂
∂
∂ ∂
x
Stąd warunek
(
)
3
4 4
0
x
a
− −
=
. Warunek zadania spełniony jest jedynie przy
.
1
a
= −
x
2
x
1
Q
P
h
g = 1
4. Wyznaczyć stan naprężenia w tarczy wspornikowej jak na rys. - obszar
1
0,
2
x
h
x
h
>
− ≤
≤ . Przyjąć, że siły masowe są zerowe.
( )
3
2
1 2
1 2
2
2
3
4
3
4
x x
Q
P
F
x x
h
h
⎛
⎞
=
−
+
⎜
⎟
⎝
⎠
x
x
h
h
Naprężenia:
(
)
2
11
1 2
2
3
2
2
22
2
1
2
2
2
2
2
12
2
2
3
1
2
3
2
2
0
3
3
1
4
4
F
P
Q
x x
x
h
h
F
x
x
F
Q
Q
h
x
x x
h
h
h
σ
σ
σ
∂
=
=
−
∂
∂
=
=
∂
⎛
⎞
∂
= −
= −
−
= −
−
⎜
⎟
∂ ∂
⎝
⎠
Zapisując
( )
( )
(
)
3
2
1
1
2
2
1
,
2 ,
,
3
2
2
2
M x
Q x
A
h
I
h
S x
h
x
= −
=
=
=
−
otrzymujemy
( )
( )
1
11
2
2
12
M x
P
x
A
I
Q S x
I g
σ
σ
= +
=
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
HW3 rozw
30 Struktury zaleznosci miedzy wskaznikami zrow rozw K Chmura
Ekon Rozw W 5 9
Ekon Rozw W 13
Ekon Rozw W 9
Ekon Rozw W 17
logika rozw zadan v2
kolos2 rozw id 242277 Nieznany
al lin zad3 rozw
2010kolo1 rozw
ICh S schemat rozw zad konwekcja
ust. o szczeg. sposobach rozw. stos. pr., bhp
rozw j teorii literatury wyk zag do egz www przeklej pl
Lista 7 rozw
k2 rozw
Moduł A rozw
więcej podobnych podstron