Zbiory i kresy



Zbiory ograniczone, nieograniczone, kres górny i dolny zbiorów

Niech Z będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
Definicja: Zbiór Z nazywamy ograniczonym z góry, jeżeli istnieje liczba A, nie mniejsza od każdego elementu tego zbioru.
Tzn. xA.
O liczbie A mówimy, że ogranicza zbiór Z z góry.
Np.: zbiór liczb całkowitych ujemnych jest ograniczony z góry przez liczby
1, 0, 7, 15, itd.
Definicja: Zbiór Z nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli istnieje liczba B nie większa od każdego elementu tego zbioru.
Tzn. xB.
O liczbie B mówimy, że ogranicza zbiór Z z dołu.
Np. Zbiór liczb naturalnych jest ograniczony z dołu przez liczby 0, -3, -15, -101 itd.
Definicja: Zbiór Z nazywamy ograniczonym gdy jest ograniczony z dołu i z góry.
Np.Zbiór wszystkich ułamków właściwych dodatnich jest ograniczony z góry przez 1
i wszystkie liczby większe od 1, a z dołu przez 0 i wszystkie liczby mniejsze od 0.
Definicja: Kresem górnym zbioru ograniczonego z góry nazywamy najmniejszą liczbę ograniczającą ten zbiór z góry.
Kres górny zbioru A oznaczamy symbolem supA.
Np.:Kresem górnym zbioru liczb całkowitych ujemnych, który jest ograniczony z góry przez
-1 i wszystkie liczby większe od
1 jest
1 supC-=-1.
Definicja: Kresem dolnym zbioru ograniczonego z dołu nazywamy największą liczbę ograniczającą ten zbiór z dołu.
Kres dolny zbioruA oznaczamy symbolem infA.
Np.:Kresem dolnym zbioru ułamków właściwych dodatnich U jest liczba 0 infU=0 (supU=1).

Zobacz też:
Algebra zbiorów
Działania w zbiorze liczb rzeczywistych