WM
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
1
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
Z13/4.1. Zadanie 4
Wyznaczyć siłę krytyczną pręta ściskanego osiowo przedstawionego na rysunku Z13/4.1. Pręt ten jest
zamocowany w obu płaszczyznach pokrywających się z osiami głównymi bezwładności w różny sposób.
Długość pręta podana jest w metrach. Przekrój pręta stanowią dwa dwuteowniki szerokostopowe HEB300
przedstawione na rysunku Z13/4.2.
Płaszczyzna XY
Płaszczyzna XZ
P
KR
8,0
[m]
P
KR
8,
0
[m]
Rys. Z13/4.1. Pręt ściskany osiowo
Z=Z
0
=Z
gl
Y=Y
0
=Y
gl
HEB300
HEB300
Rys. Z13/4.2. Przekrój pręta ściskanego osiowo
Pręt został wykonany ze stali o granicy proporcjonalności
H
=
205,0 MPa
(Z13/4.1)
oraz granicy plastyczności
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
2
P
=
235,0 MPa
.
(Z13/4.2)
Moduł Younga dla stali wynosi
E=205GPa=205000 MPa
.
(Z13/4.3)
Smukłość graniczna pręta wynosi
GR
=⋅
205000
205,0
=
99,35
.
(Z13/4.4)
Z13/4.2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
Ponieważ osie Y i Z są osiami symetrii przekroju pręta więc środek ciężkości znajduje się w punkcie
ich przecięcia. Osie te będą także osiami głównymi przekroju, ponieważ jak wiadomo dewiacyjny moment
bezwładności w układzie współrzędnych, w którym przynajmniej jedna oś jest osią symetrii wynosi zero.
Moment ten równa się zero także w układzie osi głównych bezwładności.
Y
01
Z
01
30
,0
15
,0
15
,0
30,0
15,0
15,0
[cm]
X
X
Y
Y
Y
02
Z
02
30
,0
15
,0
15
,0
30,0
15,0
15,0
[cm]
X
X
Y
Y
Rys. Z/13/4.3. Dwuteowniki HEB300
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
3
Rysunek Z13/4.3 przedstawia pojedyncze dwuteowniki HEB z zaznaczonymi ich układami osi
środkowych oraz osi X i Y używanych w tablicach do projektowania konstrukcji metalowych. Jak widać na
rysunku Z13/4.3 momenty bezwładności pojedynczego dwuteownika w jego osiach środkowych będą
wynosiły
J
Y01
=
J
Y02
=
J
Y
T
=
8560 cm
4
,
(Z13/4.5)
J
Z01
=
J
Z02
=
J
X
T
=
25170 cm
4
.
(Z13/4.6)
Pole powierzchni pojedynczego dwuteownika wynosi
A
1
=
A
2
=
149 cm
2
.
(Z13/4.7)
Z=Z
0
=Z
gl
Y=Y
0
=Y
gl
Y
01
Z
01
Y
02
Z
02
30
,0
30
,0
15
,0
15
,0
15
,0
15
,0
30,0
15,0
15,0
[cm]
sc
1
sc
2
sc
Rys. Z13/4.4. Przekrój pręta ściskanego osiowo
Rysunek Z13/4.4 przedstawia przekrój pręta z zaznaczonymi środkami ciężkości poszczególnych
dwuteowników.Współrzędne środków ciężkości dwuteowników w układzie osi głównych wynoszą
y
01
=
0,0 cm
z
01
=−
15,0 cm
,
(Z13/4.8)
y
02
=
0,0 cm
z
02
=
15,0 cm
.
(Z13/4.9)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
4
Moment bezwładności względem osi Y=Y
gl
wynosi
J
Y
=
J
Ygl
=
8560
−
15,0
2
⋅
149,08560
15,0
2
⋅
149,0=84170 cm
4
.
(Z13/4.10)
Moment bezwładności względem osi Z=Z
gl
wynosi
J
Z
=
J
Zgl
=
25170
0,0
2
⋅
149,025170
0,0
2
⋅
149,0=50340 cm
4
.
(Z13/4.11)
Pole powierzchni całego przekroju wynosi
A=149,0149,0=298,0 cm
2
.
(Z13/4.12)
Z13/4.3. Siła krytyczna
Płaszczyzna XY jest prostopadła do głównej osi bezwładności Z=Z
gl
. Wszystkie wielkości będą więc
miały indeks Z. Promień bezwładności w płaszczyźnie XY zgodnie z (13.21) wynosi
i
Z
=
50340
298,0
=
13,0 cm
.
(Z13/4.13)
Długość wyboczeniowa w płaszczyźnie XY wynosi
L
W
Z
=
0,7⋅8,0=5,6 m=560,0 cm
.
(Z13/4.14)
Smukłość pręta w płaszczyźnie XY zgodnie z (13.22) wynosi
Z
=
560,0
13,0
=
43,08
.
(Z13/4.15)
Płaszczyzna XZ jest prostopadła do głównej osi bezwładności Y=Y
gl
. Wszystkie wielkości będą więc
miały indeks Y. Promień bezwładności w płaszczyźnie XZ zgodnie z (13.23) wynosi
i
Y
=
84170
298,0
=
16,81 cm
.
(Z13/4.16)
Długość wyboczeniowa w płaszczyźnie XZ wynosi
L
W
Y
=
2,0⋅8,0=16,0 m=1600 cm
.
(Z13/4.17)
Smukłość pręta zgodnie z (13.24) w płaszczyźnie XZ wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
5
50
100
150
200
250
300
0
0
50
100
150
200
250
A
λ
σ
KR
[MPa]
σ
H
=205 MPa
λ
G
R
=
99
,35
λ
=
95
,1
8
σ
KR
=206,3 MPa
σ
P
=235 MPa
Rys. Z13/4.5. Położenie punktu krytycznego w płaszczyźnie wyboczenia XZ
8,0
P
KR
X
Z
[m]
Z=Z
gl
Y=Y
gl
Rys. Z13/4.6. Postać wyboczeniowa pręta w płaszczyźnie wyboczenia XZ
Y
=
1600
16,81
=
95,18
.
(Z13/4.18)
Maksymalna smukłość pręta, zgodnie z (13.25), wynosi
=
Y
=
95,18
.
(Z13/4.19)
Wyboczenie nastąpi więc w płaszczyźnie XZ. Największa smukłość jest mniejsza niż smukłość graniczna
więc pręt pracuje w zakresie sprężysto-plastycznym. Normalne naprężenie krytyczne zgodnie ze wzorem
(13.11) wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z13/4. STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH OSIOWO – ZADANIE 4
6
KR
=
235,0 −
235,0−205,0
99,35
⋅
95,18=206,3 MPa=20,63
kN
cm
2
.
(Z13/4.20)
Siła krytyczna zgodnie ze wzorem (13.20) będzie więc wynosić
P
KR
=
20,63⋅298,0=6148 kN
.
(Z13/4.21)
Rysunek Z13/4.5 przedstawia położenie punktu krytycznego w płaszczyźnie wyboczenia XZ. Rysunek
Z13/4.6 przedstawia postać wyboczeniową pręta w płaszczyźnie wyboczenia XZ.
Dr inż. Janusz Dębiński