1

Pole magnetyczne zakrzywia tor
ruchu

ładunku elektrycznego.

)

q(

B

v

F

r

r

r

×

=

Definicja wektora indukcji pola
magnetycznego

Jednostk

ą indukcji pola B jest 1T (tesla)

1T=1N/Am

SILA LORENTZA

PRAWO AMPERA

For Evaluation Only.

Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004

Edited by Foxit PDF Editor

2

Pole magnetyczne nie zmienia energii kinetycznej
cz

ąstki naładowanej poruszającej się w tym polu

v

v

r

o

r

2

m

E

k

=

dt

d

m

dt

d

2

m

dt

dE

k

v

v

v

v

r

o

r

r

o

r

=

=

ale

F

a

v

r

r

r

=

=

m

dt

d

m

czyli

)

(

q

dt

dE

k

B

v

v

F

v

r

r

o

r

r

o

r

×

=

=

0

E

k

=const

Si

ła Lorentza

• Si

ła działająca na ładunek w obszarze, w którym

wyst

ępują jednocześnie pole elektryczne i

magnetyczne

)

q(

E

B

v

F

r

r

r

r

+

×

=

Ruch w skrzy

żowanych polach, tj. gdy

E

B

r

r

⊥

je

żeli

E

B

v

r

r

r

−

=

×

to

0

=

F

r

B

E

v

=

tor cz

ąstki i jej prędkość

nie ulegn

ą zmianie

3

Do

świadczenie Thomsona

• 1897 r. J.J. Thomson, Cambridge, wyznaczy

ł q/m

dla elektronu, odkrycie elektronu

kg

C

10

56

,

17

m

q

10

⋅

=

Zadanie-1

Wi

ązka elektronów przechodzi bez odchylenia przez

lamp

ę oscyloskopową kiedy natężenie pola elektrycznego

wynosi 3000 V/m, a indukcja skrzy

żowanego z nim pola

magnetycznego wynosi 1,4 Gs; 1Gs (gauss) = 10

-4

T.

D

ługość płytek odchylających wynosi 4 cm, a odległość od

ko

ńca płytek do ekranu wynosi 30 cm. Znajdź odchylenie

wi

ązki na ekranie przy wyłączonym polu magnetycznym

4

Zadanie-2

Na podstawie podr

ęcznika HRW, t.3 lub innych źródeł

opracowa

ć dwa tematy:

• cyklotron i synchrotron

Poda

ć przykłady praktycznego wykorzystania

• zjawisko Halla

Si

ła elektrodynamiczna

)

(

B

l

F

r

r

r

×

=

i

Si

ła działająca na przewodnik, przez który płynie prąd

l

r

5

Zastosowania si

ły elektrodynamicznej

• Silnik elektryczny – ramka z

pr

ądem w polu magnetycznym

• Analogowe mierniki – woltomierz,

amperomierz, galwanometr

Na ramk

ę z prądem w zewnętrznym

polu magnetycznym dzia

ła moment siły

B

μ

τ

r

r

r

×

=

y

magnetyczn

moment

−

μr

Przypomnienie: dla dipola elektrycznego

E

p

τ

r

r

r

×

=

Moment magnetyczny

Pod wp

ływem momentu siły

ramka ustawia si

ę

prostopadle do kierunku
wektora indukcji pola
magnetycznego, tak aby

B

μ

r

r

Moment magnetyczny
definiowany jest dla
ka

żdego zamkniętego

obwodu, przez który p

łynie

pr

ąd I:

n

μ

ˆ

NIA

=

r

liczba zwojów

pole
powierzchni

wektor jednostkowy prostopad

ły

do powierzchni A

6

Dipol magnetyczny

• magnes sztabkowy

(

μ≈5J/T)

• Ziemia (w przybli

żeniu)

μ≈8,0 ·10

22

J/T

• wi

ększość cząstek

elementarnych, np. elektron
(

μ≈9,3 ·10

-24

J/T), proton

(

μ≈1,4 ·10

-26

J/T), neutron

Moment magnetyczny charakteryzuje ka

żdy dipol magnetyczny.

Dipolem magnetycznym jest nie tylko ramka (p

ętla, cewka),

przez który p

łynie prąd lecz również:

Energia potencjalna E

p

dipola magnetycznego z zewn

ętrznym

polu magnetycznym:

B

μ

r

o

r

−

=

p

E

najwy

ższa

energia E

p

najni

ższa

energia E

p

Przypomnienie: dla dipola elektrycznego w zewn

ętrznym polu

elektrycznym

E

p

r

o

r

−

=

p

E

7

Pr

ąd elektryczny jako źródło pola

magnetycznego - do

świadczenie

Oersteda (1819-1820)

Kiedy przez przewodnik płynie

prąd, igła odchyla się od kierunku

pola magnetycznego Ziemi.

Dlaczego?

Kiedy przez przewodnik nie

płynie prąd, igła ustawia się

wzdłuż kierunku pola

magnetycznego ziemskiego

I=0

I

≠0

PRAWO BIOTA-SAVARTA

Rozk

ład ładunku

Prawo Coulomba

Zasada superpozycji

Prawo Biota-Savarta

Zasada superpozycji

3

o

r

d

I

π

4

μ

d

r

l

B

r

r

r

×

=

8

Przyk

ład-1

Znale

źć wektor indukcji pola magnetycznego w środku pętli o

promieniu R, przez któr

ą płynie prąd o natężeniu I.

Z prawa Biota-Savarta

2

o

R

sinθ

dl

I

π

4

μ

dB

=

o

90

θ

=

∫

∫

∫

=

=

=

dl

R

I

π

4

μ

R

dl

I

π

4

μ

dB

B

2

o

2

o

2

πR

R

2

I

μ

B

o

=

Zadanie domowe-4

Pokaza

ć, że (a) wartość wektora indukcji pola magnetycznego w

punkcie P na osi p

ętli z prądem wynosi

(

)

2

3

2

2

2

o

x

R

x

IR

2

μ

B

+

=

(b) a w du

żej odległości od środka

p

ętli x>>R

3

o

x

x

μ

π

2

μ

B

=

9

P

ętla z prądem zachowuje się jak dipol magnetyczny

– wniosek z zadania 4.

P

ętla z prądem wytwarza pole magnetyczne jak dipol

magnetyczny w du

żych odległościach (pole magnetyczne

zanika z odleg

łością jak x

-3

, podobnie jak dla dipola

elektrycznego)

Zadanie domowe-5

P

ętla kołowa o promieniu r=5 cm ma 12 zwojów. Przez

p

ętlę płynie prąd o natężeniu 4A. Układ odniesienia

wybrano tak,

że pętla leży w płaszczyźnie YZ (x=0) a

pocz

ątek układu odniesienia leży w środku pętli.

Znale

źć wartość indukcji pola magnetycznego na osi x

dla:

(a) x=0

(b) x=3 cm

(c) x=15 cm

(d) x=3 cm w przybli

żeniu dipolowym

10

Zadanie domowe-6

Ma

ły magnes sztabkowy o momencie magnetycznym μ

jest umieszczony w

środku pętli z poprzedniego zadania.

Wektor momentu magnetycznego le

ży w płaszczyźnie XY i

tworzy k

ąt 30

o

z osi

ą OX. Znaleźć wektor momentu siły

dzia

łającego na magnes. Zaniedbać efekty związane ze

zmianami pola magnetycznego w obszarze zajmowanym
przez magnes.

Pole magnetyczne a elektryczne

-podobie

ństwa i różnice

Linie pola elektrycznego
zaczynaj

ą się i kończą na

ładunku elektrycznym

Linie pola magnetycznego
tworz

ą zamknięte pętle. Na

niczym si

ę nie zaczynają i nie

ko

ńczą

11

PRAWO GAUSSA

0

d

=

∫

S

A

B

r

o

r

o

ε

ρ

div

=

E

r

0

div

=

B

r

Brak monopoli magnetycznych.
Magnes czy p

ętla z prądem

stanowi

ą dipol magnetyczny

o

ε

q

d

=

∫

S

A

E

r

o

r

Istnieje
pojedynczy
ładunek
punktowy –
monopol
elektryczny

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego jest jednym z równa

ń

Maxwella

.

Jego tre

ścią jest fakt, że pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Strumie

ń pola magnetycznego przez powierzchnię zamkniętą

jest zawsze równy zeru. Nie mo

żna wyodrębnić pojedynczego

bieguna magnetycznego – nie istniej

ą monopole

magnetyczne.

0

d

S

B

=

=

Φ

∫

A

B

r

o

r

0

div

=

B

r

12

Pytanie: Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym
(rotacja pola jest równa zeru w ka

żdym jego punkcie). A co z

rotacj

ą pola magnetycznego?

C

s

d

r

E

Odpowied

ź: Istotnie, pole magnetyczne jest polem wirowym.

To okre

śla prawo Ampère’a.

Przewodnik z
pr

ądem i

0

≠

B

rot

r

0

=

E

rot

r

∫

=

C

0

d l

E

r

o

r

∫

=

C

0

d l

B

r

o

r

l

r

d

Prawo Amp

ère’a

∫

µ

=

C

C

o

I

dl

B

r

o

r

pr

ąd wewnątrz

konturu ca

łkowania C

kr

ążenie pola

magnetycznego

μ

o

- przenikalno

ść magnetyczna

pró

żni, stała uniwersalna

kontur
ca

łkowania

dl

I

C

=i

1

-i

2

A

/

m

T

10

π

4

μ

7

o

⋅

⋅

=

−

13

KR

ĄŻENIE POLA WEKTOROWEGO

∫

=

Γ

C

dl

F

r

o

r

Kr

ążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F

po konturze zamkni

ętym jest zdefiniowane

jako ca

łka krzywoliniowa:

Je

żeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy.

Je

żeli F jest siłą zachowawczą (pole elektrostatyczne,

grawitacyjne), to

Γ=0.

l

r

d

element drogi ca

łkowania ma kierunek styczny

do krzywej C w danym punkcie

Krzywa C ogranicza pewn

ą powierzchnię zamkniętą rozpiętą

na tej krzywej.

dl

ROTACJA POLA

∫

=

Γ

C

l

F

r

o

r

d

∫

∫

∫

+

=

2

1

d

d

d

C

C

C

l

F

l

F

l

F

r

o

r

r

o

r

r

o

r

Prowadz

ąc krzywą B tworzymy dwa

zamkni

ęte kontury C

1

i C

2

takie,

że:

i

C

a

a

i

i

∫

→

=

l

F

n

F

rot

r

o

r

o

r

d

lim

ˆ

)

(

0

definicja operatora rotacji

dl

14

Twierdzenie Stokes’a

• Wi

ąże krążenie wektora po krzywej C z rotacją

w punkcie, podobnie jak twierdzenie Gaussa-
Ostrogradskiego wi

ązało strumień pola przez

powierzchni

ę z dywergencją w punkcie

a

F

rot

l

F

r

o

r

r

o

r

d

)

(

d

S

C

∫∫

∫

=

ca

łka powierzchniowa, po powierzchni

S ograniczonej krzyw

ą C

• Prawo Amp

ère’a w postaci różniczkowej

j

B

rot

r

r

o

μ

=

Zadanie domowe-7

Cztery z
przedstawionych pól
wektorowych maj

ą

znikaj

ącą dywergencję

w przedstawionym
obszarze. Trzy z nich
maj

ą znikającą rotację.

Czy mo

żecie ocenić,

które z pól maj

ą

omawiane w

łasności?

15

Zastosowania prawa Amp

ère’a

• pole magnetyczne wokó

ł przewodnika

prostoliniowego

l

B

r

r

d

B=const na krzywej C
(kontur ca

łkowania jest

okr

ęgiem )

rB

π

2

dl

B

d

C

C

=

=

∫

∫

l

B

r

o

r

kr

ążenie wektora

indukcji magnetycznej
po okr

ęgu o promieniu r

dl

i

μ

rB

π

2

o

=

r

π

2

i

μ

B

o

=

korzystaj

ąc z prawa

Amp

ère’a

Odpowied

ź:

Zadanie domowe-8

Ten sam rezultat mo

żna otrzymać poprzez

żmudne całkowanie, korzystając z prawa
Biota-Savarta. Prosz

ę spróbować, aby móc

doceni

ć prawo Ampère’a. Odpowiednie

obliczenia znajdziemy w Rozdz.30, &30.1
podr

ęcznika HRW, t. 3.

16

• pole magnetyczne wewn

ątrz przewodnika o

promieniu R, przez który p

łynie prąd I (r<R)

rB

π

2

d

C

=

∫

l

B

r

o

r

kr

ążenie wektora indukcji magnetycznej

po okr

ęgu o promieniu r wyraża się tym

samym wzorem dla r<R i r>R

2

2

C

R

π

I

r

π

I

j

=

=

Zastosowania prawa Amp

ère’a

trzeba znale

źć natężenie prądu I

C

wewn

ątrz konturu

g

ęstość prądu j jest stała

2

2

C

R

π

I

r

π

I

j

=

=

2

2

C

r

R

I

I

=

∫

µ

=

C

C

o

I

dl

B

r

o

r

z prawa Amp

ère’a

2

2

o

r

R

I

μ

Br

π

2

=

Odpowied

ź:

r

R

π

2

I

μ

B

2

o

=

17

Zastosowania prawa Amp

ère’a

• pole magnetyczne wewn

ątrz solenoidu

Solenoid wytwarza jednorodne pole magnetyczne i pe

łni

podobn

ą rolę jak kondensator płaski w elektrostatyce

solenoid

magnes
sztabkowy

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+

=

a

d

d

c

c

b

C

b

a

d

d

d

d

d

l

B

l

B

l

B

l

B

l

B

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

Bh

0

0

0

dlaczego?

pole
jednorodne

l

B

r

r

d

l

B

r

r

d

⊥

B=0

l

B

r

r

d

⊥

18

C

C

o

I

μ

Bh

d

∫

=

=

l

B

r

o

r

i

)

nh

(

I

C

=

liczba zwojów na
jednostk

ę długości

nat

ężenie prądu w

uzwojeniu solenoidu

ni

μ

B

o

=

solenoid idealny

Zadanie domowe - 9

a

b

a < r < b

l

d

v

Toroid

Wykorzysta

ć prawo Ampère’a do

znalezienia warto

ści wektora indukcji

wewn

ątrz toroidu, przez który płynie

pr

ąd o natężeniu I.

r

π

2

NI

μ

B

o

=

N - liczba zwojów
toroidu

19

Si

ły działające między dwoma

równoleg

łymi przewodami z prądem

Te przewody si

ę

przyci

ągają. Dlaczego?

d

π

2

i

μ

B

a

o

a

=

pole
magnetyczne
wytworzone
przez pr

ąd i

a

si

ła działająca na przewód z

pr

ądem i

b

a

b

ba

i

B

L

F

r

r

r

×

=

d

π

2

i

Li

μ

F

b

a

o

ba

=

Definicja ampera: 1A jest to nat

ężenie prądu

sta

łego, który płynąc w dwóch równoległych,

prostoliniowych, niesko

ńczenie długich

przewodach o znikomo ma

łym przekroju

poprzecznym, umieszczonych w pró

żni w

odleg

łości 1m, wywołuje między tymi przewodami

si

łę o wartości 2·10

-7

N na ka

żdy metr długości

przewodu

Podsumowanie

• Ruch

ładunku w polach magnetycznym i elektrycznym

odbywa si

ę pod wpływem siły Lorentza. Pole magnetyczne

zachowuje energi

ę kinetyczną ładunku.

• Ró

żnice pomiędzy polem elektrostatycznym i magnetycznym

mo

żna prześledzić posługując się prawem Gaussa dla

elektryczno

ści i magnetyzmu. Nie istnieją monopole

magnetyczne.

• Na przewodnik z pr

ądem w polu magnetycznym działa siła

elektrodynamiczna.

•

Ładunek w spoczynku wytwarza pole elektrostatyczne,

ładunek w ruchu (prąd elektryczny) jest źródłem pola
magnetycznego

• Warto

ść indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez

przewodnik z pr

ądem można obliczyć korzystając z prawa

Biota-Savarta lub prawa Amp

ère’a, które jednak stosujemy

tylko do rozwi

ązywania problemów o wysokiej symetrii.