Punkt materialny o masie”m” porusza się 
po okręgu o promieniu R zgodnie z 
równaniem ruchu punktu na 
torze:s=b+R(t

3

+t), gdzie „b” jest stała 

wyrażoną w metrach.Wyznaczyć wartość 
siły działajacej na punkt jako funkcję 
czsu. 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

]

)

1

3

(

36

[

6

)

1

3

(



























t

t

mR

Pt

Pn

P

mRt

s

m

V

m

Pt

t

mR

R

S

m

P

V

m

Pn

F

ma







 

Holownik o ciężarze 600T poruszający 
się z prędkoscia 1,5m/s naciagnąl line 
holowniczą i barka o ciężarze 400T 
popłynęła za 1holownikiem.Wyznaczyć 
predkość zestawu barka holownik przy 
załozeniu, że siła napędowa i siła oporu 
równoważa się. 

9

,

0

1000

600

5

,

0

0

2

1

1

1

0

2

1

2

1

1















P

P

P

V

V

V

g

P

P

g

P

V

g

P

o

 

Sześcian o boku „a” przesuwa się bez 
tarcia po powierzchni poziomej 
plaszczyzny. Jaka musi być predkosc 
ruchu sześcianu, aby przewrocil się on 
przez przeszkode(wystep na poziomej 
plaszczyznie)? 





1

2

2

2

)

1

2

(

2

)

1

2

(

5

,

0

2

2

;

2

2

2



























ag

V

mV

a

mg

a

mg

Ep

a

mg

a

mg

Ep

Ep

Ek

Ec

a

x

 

Pocisk działa okretowego o masie 920kg 
leci z predkoscia 900m/s i rownoczesnie 
wiruje wokół podluznej osi wykonujac 
45obr/s. Moment bezwladnosci pocisku 
wgledem tej podluznej osi wynosi 
2kgms

2

. Okreslic w procentach stosunek 

energii kinetycznej ruchu obrotowego 
pocisku do energii kinetycznej ruchu 
postepowego pocisku. 

%

02

,

0

;

2

2

2

30

60

45

30

2

900

920

2

0

2

2

2

2



















p

o

p

Ek

Ek

I

Ek

n

mV

Ek











 

Kulka o masie M przywiazana na koncu 
niewazkiej nici MOA wychodzacej z 
gornego konca pionowej rurki O wiruje 
wokół pionowej osi rurki, po okregu o 
promieniu R przy 120 obr/min. 
Stopniowo nic jest wyciagana tak, ze przy 
dlugosci nici skroconej do OM

1

 kulka 

wiruje wokół pionowej osi po okregu o 
promieniu 0,5R. Ile obrotów na minute 
osiaga kulka  przy takim promieniu? 

min

/

480

;

4

;

2

1

4

1

2

1

2

1

;

;

56

,

12

60

2

120

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

obr

I

I

I

RmV

K

I

R

m

mVR

K

R

V

R

V



















































 

Staly moment M napedza beben o 
promieniu „r” i ciezaze P

1

. Na koncu A 

liny nawinietej na beben znajduje się 
ciezar P

2

, który wciagany jest po równi 

nachylonej pod katem  do poziomu. 
Jaka predkosc katowa osiagnie beben po 
obrocie o kat , jeśli wystartowal ze 
stanu bezruchu? Wspolczynnik tarcia 
cieżaru o rownie wynosi „f”, mase liny 
zaniedbac, a beben traktowac należy jako 
pelny cylinder. 





























2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

cos

sin

4

2

4

cos

sin

2

4

2

4

2

4

2

2

4

4

4

2

,

cos

sin

,

r

P

P

rd

gP

r

P

P

g

M

rd

P

M

P

P

g

r

E

L

L

E

P

P

g

r

E

g

r

P

g

r

P

E

g

r

P

mr

mV

E

g

r

P

mr

I

E

E

E

E

E

E

E

rd

P

P

L

M

L

n

T

k

p

m

k

k

k

pk

kob

kob

kp

k

k

k

k

p

m



























































































































 

 
 
 
Klocek o masie „m” zsuwa się po 
gladkiej rowni pochylej, nachylonej do 
poziomu pod katem =30. Wyznaczyc 
czas „t” w którym klocek przesunie się o 
odcinek drogi o dlugosci 9,6m, jeśli na 
poczatku tego odcinka jego predkosc 
wynosila 2m/s. 

s

t

t

t

t

g

t

V

L

t

g

t

V

L

L

X

Pt

t

V

X

g

p

mg

Fix

mg

N

mg

N

Fiy

o

o

6

,

1

8

,

19

;

0

2

,

19

4

9

,

4

sin

2

2

sin

2

1

;

2

1

sin

;

sin

cos

0

cos

2

2

2

0

2

2























































 

W lodce o dlugosci 4m, na laweczce 
znajdujacej się w srodku dlugosci lodki, 
siedza dwie osoby, jedna o wadze 50kg a 
druga 70kg. Osoba lzejsza przeszla na 
dziob lodki.W jakim kierunku i o jaka 
odleglosc powinna się przesunac w lodce 
druga osoba, aby lodka znalazla się w 
tym samym miejscu,w którym 
znajdowala się poczatkowo. 

strone

lewa

w

m

Q

x

Q

x

x

Q

x

Q













42

,

1

2

1

1

2

2

2

1

1

 

Punkt materialny o masie „m

1

” 

przywiazany do nierozciagliwej nici 
porusza się po okregu w plaszczyznie 
poziomej. W pewnej chwili punkt ten 
zdeza się z innym punktem o masie „m

2

”, 

który przed zderzeniem był nieruchomy. 
Po zderzeniu oba punkty poruszaja się 
razem po tym samym torze. Obliczyc w 
jakim stosunku zmienilo się napiecie nici. 

































1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

,

2

,

2

m

m

m

V

m

m

m

R

R

V

m

S

S

m

m

R

V

m

S

m

m

V

m

R

m

m

R

V

m

m

S

R

V

m

S

m

m

V

m

V

R

V

m

m

R

V

m

V

m

m

Ek

V

m

Ek











































 

Plyta ABCD o kształcie kwadratu, 
którego bok jest rowny 2a, może obracac 
się bez tarcia w plaszczyznie poziomej 
wokół osi pionowej przechodzacej przez 
srodek „O”. W wierzcholku A plyty 
znajduje się puknt materialny „m”, 
którego masa jest rowna masie calej 
plyty. W pewnej chwili punkt materialny 
zaczal poruszac się w zdluz boku AD ze 

stala predkoscia wzgledna w 
m/s.Wyznaczyc predkosc katowa plyty w 
funkcji czasu „t”. W chwili t=0, w ktorej 
punkt materialny zaczal się poruszac, 
plyta była nieruchoma. 













2

2

2

2

2

2

0

0

2

1

3

5

0

3

2

,

3

2

,

0

t

V

a

a

a

V

a

mV

t

V

a

a

m

ma

l

V

ma

I

a

mV

l

mV

I

K

K

w

w

w

w

u

w

u







































 

Pelny cylinder-beben o masie „m” 
owiniety jest lina(jej mase można 
zaniedbac), której koniec B jest 
przytwierdzony. Cylinder opada ze stanu 
poczatkowego bezruchu, odwijajac line 
czyli obracajac się. Oreslic predkosc 
opadania osi cylindra „v” w chwili kiedy 
cylinder opadl o odcinek „h” od 
polozenia poczatkowego i znalezc dla 
tego momentu napiecie liny „T”. 





G

T

m

T

m

G

T

r

m

G

T

G

T

Fix

Tr

I

dt

d

M

I

gh

V

V

V

gh

mr

mV

mgh

Ek

Ek

Ep

mr

I

Ek

mV

Ek

Ek

Ek

mgx

Ep

x

h

mg

Ep

mgh

Ep

3

1

,

2

,

,

,

,

3

4

4

2

,

4

2

2

2

1

2

1

2

,

,

2

2

2

2

2

0

2

2

2

0

2

1

2

2

1



















































































 

 
Wyznaczyc momenty bezwladnosci 
cienkiej jednorodnej plyty o ksztalcie 
dwuteownika względem osi 
przechodzacych przez srodek masy.Jx i 
Jy. Ciezar jednostki powierzchni wynosi 
„q”N/mm

2

 

h

b

B

BH

h

b

h

H

B

m

Iy

h

b

B

BH

h

b

B

BH

m

Ix

tego

wobec

h

b

B

BH

g

q

h

H

B

g

q

h

b

g

q

m

m

m

B

m

Iy

b

m

Iy

h

H

m

Ix

h

m

Ix

poniewaz

Iy

Iy

Iy

h

H

h

m

Ix

Ix

Ix

*

)

(

)

(

12

1

*

)

(

*

)

(

12

1

...

]

*

)

(

[

2

*

*

2

*

*

*

12

1

12

1

2

)

(

*

12

1

*

12

1

2

]

)

4

2

(

[

2

3

3

3

3

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

3

1































































 

Kolo K

1

 o promieniu R i momencie 

bezwladnosci I

1

 zazebia się z kolem K

2

 o 

promieniu „r” i momencie bezwladnosci 
I

2

.Kolo K

1

 jest napedzane stalym 

momentem obrotowym M

1

 a kolo K

2

 jest 

obciazone momentem hamujacym M

2

. 

Wyznaczyc przyspieszenie katowe koloa 
K

2

 w funkcji momentów. 

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

;

*

*

2

...

1

...

*

*

,

,

,

...

...

R

I

r

I

r

I

M

R

I

M

N

R

I

r

I

R

M

r

M

R

R

r

r

R

Nr

M

I

NR

M

I

dt

d

dt

d

r

R

Nr

M

dt

d

I

K

dla

NR

M

dt

d

I

K

dla

r

R

V

kółół

nia

oddzia łddz

wzajemnego

siłi

N

kół

styku

punkt

A

A

























































































 

Jednorodny dysk o masie m

1

 i promieniu 

„r” obraca się wokół pionowej osi „z” 
przechodzacej przez jego srodek masy 
„S”. W zdluz cieciwy AB odleglej od 
srodka „S” o wartosc „a” porusza się 
punkt „M” o masie m

2

. W chwili 

poczatkowej predkosc katowa dysku jest 
rowna 

0

, predkosc wzgledna punktu 

„M” zas jest rowna zero. Znalezc 
predkosc katowa dysku w chwili, gdy 
punkt znajduje się w srodku cieciwy AB. 
Jego predkosc zwgledna jest wtedy rowna 
„u”. 













































n

m

r

m

r

m

m

r

m

u

m

m

r

m

k

V

m

I

k

k

k

u

W

V

V

V

t

V

a

m

r

m

a

m

r

m

m

a

m

ma

r

m

r

m

m

u

a

a

m

I

k

środku

w

M

Gdy

r

m

m

r

m

I

r

m

r

m

k

V

V

m

I

k

k

k

k

k

const

k

M

dt

dkr

o

o

mc

p

T

MC

W

u

MC

o

MA

u

u

o

o

w

o

o

o

o

na

p

t

t

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

0

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

1

1

2

2

2

)

2

1

(

)

2

1

(

;

;

2

2

2

)

2

1

(

)

2

1

(

)

(

,

,

,

)

2

1

(

2

0

0

;

0























































































 

Zestaw dwoch zespolonych kol o 
promieniach r

1

 i r

2

 oraz o momencie 

bezwladnosci I

0

 względem poziomej osi 

„O” może obracac się względem tej osi. 
Zestaw ten jest wprawiany w ruch przez 
dwa ciezarki, „A” o masie „m

1

” i „B” o 

masie „m

2

”. Znalezc przyspieszenie 

katawe „” zestawu kol 













g

r

m

r

m

I

r

m

r

m

g

r

m

r

m

r

m

r

m

I

r

m

r

m

I

dt

dK

M

dt

dK

g

r

m

r

m

M

r

m

r

m

I

r

m

r

m

I

Vr

m

Vr

m

I

K

V

V

V

r

V

r

V

*

*

)

(

*

)

(

,

2

2

2

2

1

1

0

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

0

2

2

2

2

1

1

0

0

0

0

2

2

1

1

0

2

2

2

2

1

1

0

2

2

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

0

2

1

2

2

1

1





















































































 

Krązek o ciezarze „G” i promieniu „r” 
wisi na scianie jak pokazano na szkicu. 
Krazek wprawiono w ruch obrotowy z 
pedkoscia katowa „

0

”. Wyznaczyc czas 

„t

z

”, po którym krazek przestanie się 

obracac, jeśli wspolczynnik tarcia miedzy 
krazkiem i sciana wynosi „” a linka 

podtrzymujaca krazek tworzy ze sciana 
kat „”. 













r

G

ctg

I

t

t

ctg

r

G

I

t

ctg

r

G

I

I

I

t

ctg

r

G

I

ctg

G

dt

d

I

dt

d

ctg

G

N

G

S

Tr

M

I

S

N

N

T

T

S

G

Fiy

S

N

Fix

z

























































































































































0

0

0

0

,

sin

cos

sin

,

0

cos

0

sin

  

W celu wyznaczenia ciężaru składu 
wagonów wstawiono dynamometr 
między parowóz i skład wagonów. W 
ciągu 2 min. Próby dynamometr 
wskazywał siłę 100800 kG. W tym czasie 
pociąg osiągnął V=57.6km/h, startując ze 
stanu spoczynku. Wiedząc że wsp.Tarcia 
kól o szyny wynosi f=0,02, wyznaczyć 
cięzar składu wagonów. 





MN

ftg

V

Ftg

Q

V

g

Q

fQt

Ft

V

g

Q

Rt

Ft

mV

t

R

F

g

Q

m

a

Ft

mV

a

da

Fdt

dt

da

F

s

m

h

km

V

kG

F

s

t

f

30

,

,

,

,

,

/

16

/

6

,

57

100800

,

120

,

02

,

0







































 

Jednorodny prostopadłościan ABCD o 
P=4000kG i o wymiarach podanych na 
rysunku należy przewrócić. Wyznaczyc 
prace, jaka musi zostać przy tym 
wykonana. 

J

kJ

kGm

m

kG

L

H

B

H

h

h

p

L

39240

1000

81

,

9

4000

)

4

5

(

4000

2

2

2

2

1

2

2



















































 

Pozioma jednorodna w formie koła o 
promieniu R i o ciężarze P może się 
obracać bez tarcia wokół pionowej osi 
przechodzącej przez środek płyty. Po 
płycie po okręgu o promieniu r idzie 
człowiek o ciężarze Q ze stała prędkością 
„u”. Z jaka predkością katową będzie się 
obracać płyta wokół osi, jeśli przed 
wyruszeniem człowieka do marszu płyta 
była w spoczynku 





2

2

2

2

0

2

2

1

2

2

0

2

0

2

0

Qr

PR

Qru

r

g

Q

ur

g

Q

R

g

P

g

Q

r

r

u

I

R

g

P

I

K

K









































 

W celu wyznaczenia momentu M sił 
tarcia w łożyskach wału, nasadzono na 
wał ciężar P o ramieniu bezwładności 
i=1,5m. Układowi nadano prędkość 
obrotową n

0

=240obr/min i zmierzono 

czas t=10min. do samoczynnego 
zatrzymania się wału. Wyznaczyć 
moment sił tarcia na łożyskach M 

przyjmując, że jest on stały w czasie 
wybiegu(zatrzymywania)wału 

75

5

,

1

75

30

600

240

,

30

2

0











































m

t

n

I

M

M

dt

d

I

M

dt

dK

 

 
Duża tarcza rowerowej przekładni 
łańcuchowej o promieniu R obraca się z 
prekością kątową ω/s, jej moment 
bezwładności wynosi I

1

. Mała tarcza ma 

promień „r”, a jej moment bezwładności 
względem swojej osi obrotu wynosi I

2

. 

Ciężar łańcucha wynosi „Q”. Wyznaczyć 
E

K

 układu? 























































2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

,

R

g

Q

r

R

I

I

R

g

Q

r

R

I

I

E

r

R

R

V

K

lańańcuc















 

Płytkę o masie „m” ustawiono w 
odległości „l” od krawedzi dachu, 
nachylonego do poziomu pod kątem „α”. 
Uwzględniając wpływ tarcia obliczyć w 
jakiej odległości „a” od budynku płytka 
upadnie na ziemię.   

















































cos

cos

sin

2

cos

,

2

sin

2

4

sin

2

sin

cos

,

,

2

sin

cos

cos

sin

2

cos

2

sin

,

cos

,

2

,

sin

0

2

2

0

2

2

0

2

0

0

2

0

0

0

2

0

2

0

0

h

t

gl

a

t

V

a

gh

V

g

h

V

t

gt

t

V

h

t

V

a

a

x

h

y

gt

t

V

y

t

V

x

gl

V

mgl

mV

mgl

L

Ek

Ep

Ek

Ep

mg

N

Nl

l

T

L

mV

Ek

mgl

Ep

n

n

n

































































 

Wirnik składa się z dwu tarcz, każda o 
masie m

1

 i promieniu r

1,

połączonych 4 

prętami o przekroju prostokatnym, o 
długości „l”, jak podano na szkicu. 
Obliczyc moment bezwładności wirnika 
względem osi x-x. 









2

2

2

2

2

2

1

3

1

2

1

1

2

2

2

2

2

4

3

1

4

2

2

1

2

1

12

1























































b

r

m

c

b

m

r

m

I

I

I

r

m

I

ma

I

I

V

m

I

I

c

b

m

I

x

zc

z

z

z

z

z

 

Kwadratowa płyta o boku „a” i masie 
„m” może się obracać dokoła pionowej 
osi bez tarcia. Obliczyć o jaki kąt „fi” 
obróci się płyta, gdy człowiek o masie m

1

 

przejdzie ze stałą prędkością względną 
„w” wzdłuż jednego boku płyty (  w 
stanie poczatkowym prędkości płyty i 
człowieka były=0) 





















1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

0

2

2

2

,

6

1

4

1

4

1

6

cos

4

1

,

t

a

t

ma

t

W

a

m

Wa

m

ma

I

I

x

W

m

K

t

a

x

Wt

s







































 

Na tarczę o promieniu „r” i ciężarze „Q” 
nawinięto nić, której drugi koniec jest 
nawinięty na krążek o promieniu „a” i 
ciężarze „G”, jak pokazuje rysunek. 
Wyznaczyć naciąg nici oraz 
przyspieszenie ciał. 

a

P

r

t

P

P

r

g

Q

Sr

P

g

Q

S

Q

tarcza

a

g

G

Sa

krąrąż

A

A





















0

0

0

2

0

2

2

:

2

:

 

 
 
 
 
 
 
 
Na nieruchomym walcu o promieniu „a” 
ustawiono kulę o masie „m” i promieniu 
„r”.Obliczyć wartość kata przy którym 
kula utraci kontakt z walcem. 











cos

5

1

2

cos

1

2

2

2

mg

r

a

V

m

E

L

r

V

m

mV

E

r

a

mg

L

































 

Jednorodny walec o masie „m” i 
promieniu podstawy „r” toczy się bez 
poslizgu po rowni pochylej nachylonej do 
poziomu pod „”. Wspolczynnik tracia 
tocznego walca o rownie wynosi „f”, Jaka 
predkosc będzie miał srodek walca po 
przebyciu drogi „s”, jeśli walec zostal 
puszczony bez predkosci poczatkowej? 







































































cos

sin

3

2

cos

sin

4

3

cos

,

,

sin

,

2

2

2

,

0

2

2

2

2

2

1

r

f

gs

V

r

f

mgs

mV

mg

N

r

V

r

s

Nf

mg

W

mr

I

I

mV

E

E

 

Układ pozostajacy w plaszczyznie 
pionowej sklada się z korby AB o masie 
„m

1

”, zamocowanej przegubowo w 

punkcie „A” oraz krazka o masie „m

2

” i 

promieniu „r”, Krazek może toczyc się 
bez poslizgu po wewnetrznej powierzchni 
nieruchomego walca o promieniu „R”. 
Jaka predkosc V

B

 osiagnie srodek masy 

krazka w chwili jego przechodzenia przez 
najnizsze polozenie, jeżeli w polozeniu 
pionowym korby miala ona predkosc 
kątowa ω

1

 

























































 



















2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

9

2

2

12

2

9

2

12

1

12

9

2

,

2

2

,

,

,

,

,

9

2

12

1

4

3

6

2

2

1

2

1

3

2

1

,

4

3

6

2

2

1

2

1

3

2

1

2

2

1

2

1

3

2

1

:

m

m

m

m

r

R

g

r

R

V

m

m

r

R

g

m

m

r

R

m

m

V

iu

podstawien

po

m

m

r

R

g

r

R

g

m

r

R

g

m

W

iach

przesuniec

ch

odpowiedni

na

ciezkosci

sil

praca

m

m

V

m

m

V

r

V

r

m

V

m

r

R

V

r

R

m

E

koncowa

Ek

r

r

R

r

R

gdzieV

m

m

r

R

r

r

R

mr

r

R

m

r

R

m

r

m

V

m

r

R

m

E

poczatkowa

Ek

B

B

B

B

B

B

B





















































































































































 

Na punkt „M” mogacy się poruszac po 
okregu kola o promieniu „r”, dziala sila 
„P” stale rownolegla do osi 
Oy.Wyznaczyc prace tej sily na drodze 
od punktu „A” do punktu „B” jeżeli 
wartosc liczbowa sily zmienia się zgodnie 
z zaleznoscia P=kx,gdzie k=const.. 











 



4

sin

4

1

2

1

cos

cos

0

,

cos

,

cos

0

,

,

0

2

2

0

2

2

0

2





















kr

kr

kr

d

r

kr

kxdy

L

dz

d

r

dy

r

x

Pzdz

Pydy

Pxdx

L

Pz

kx

Py

Px

B

A

B

A

B

A







































 

 
 
 
 
 
 
 
 
Dwa jednorodne krazki A i B o 
jednakowych promieniach „r” i masach 
„m” sa owiniete niewazka nicia, 
przerzucona przez ma,y blok „C”. Krazek 
„A” jest umocowany na stalej poziomej 
osi „Q

1

”.Na krazek ten dziala staly 

moment „M”.Znalezc pzryspieszenie osi 
„Q

2

” krazka „B” oraz napiecie nici „S”. 

Znalezc wartosc momentu „M” przy 
którym os krazka „B” będzie się podnosic 
do gory.Mase boku „C” zaniedbac. 





mgr

M

jeśeś

góry

do

szłz

bedzie

oś

mr

M

mgr

o

x

Sr

M

mgr

S

mr

Io

Io

r

r

o

x

Sr

Io

S

mg

o

x

m

Sr

M

Io

2

,

,

,

,

,

5

2

2

;

2

1

;

2

''

2

2

1

1

''

2

''

2

''

2

''

2

2

''

1

''

1





































 

Na wale o masie „m” i promieniu 
bezwladnosci „” zamocowano dwa 
jednorodne krazki, których srodki mas 
leza na osi walu, a ich plaszczyzny sa do 
niej prostopadle.Mniejszy krazek o 
promieniu „R” ma mase „m”, wiekszy 
zas mase „2m” i promien „2R”. Krazki sa 
owiniete niewazkimi i nierozciagliwymi 
nicmi, na koncach których zawieszono 
obciazniki o masach „m i 2m”.W chwili 
poczatkowej uklad znajduje się w 
spoczynku. Znalezc wartosc predkosci 

katowej walu w dowolnej chwili czasu, 
jeśli uklad znajduje się w polu 
przyciagania zeimskiego.  





2

2

0

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

27

6

0

,

0

,

2

27

6

2

2

2

,

2

5

,

4

2

4

2

2





























































R

R

g

t

dla

R

gR

S

mg

R

m

mg

S

R

m

RS

RS

I

R

m

m

R

m

mR

I

x

x

 

Czlowiek popycha walec do walcowania 
trawnika o srednicy 0,6m i ciezarze 
392kG, naciskajac ze stala sila „P” na 
drazek w kirunku AO. Dlugosc drazka 
wynosi 1,5m, punkt A znajduje się caly 
czas na poziomie 1,2mna powierzchnia 
trawnika.Wyznaczyc sile P, przy ktorej 
czlowiek po przejsciu 2m osiagnie 
predkosc walca wynoszacz 0,8m/s. 

KG

s

g

V

Q

p

s

p

V

g

Q

wiec

L

T

poniewaz

OA

AB

OA

m

s

gdzie

s

P

L

P

sily

praca

V

g

Q

r

V

r

g

Q

V

g

Q

I

mV

T

E

r

V

OC

V

o

o

o

o

c

o

k

o

o

12

8

,

0

*

2

*

8

,

9

8

,

0

*

392

*

75

,

0

cos

*

*

*

*

75

,

0

cos

*

*

4

3

,

,

8

,

0

2

,

;

*

cos

,

,

*

4

3

*

2

*

2

1

2

1

2

1

2

1

;

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2













































Koło o masie m i promieniu r toczy się 
bez poślizgu pod wpływem siły S 
przyłożonej do środka koła 0. Środek 
porusza się zgodnie z równaniem 
Xc=0,5at

2

. Znając ramie tarcia tocznego 

k, wyznaczyć siłę S oraz siłę tarcia T. 

m

r

kg

a

S

r

k

mg

ma

T

a

c

x

c

x

r

mr

Ic

mg

poniewazN

NK

Tm

Ic

T

S

mxc

)

2

3

(

;

2

1

;

;

2

1

2













































 

Duża tarcza rowerowej przekładni 
łańcuchowej o promieniu R obraca się z 
prekością kątową ω/s, jej moment 
bezwładności wynosi I

1

. Mała tarcza ma 

promień „r”, a jej moment bezwładności 
względem swojej osi obrotu wynosi I

2

. 

Ciężar łańcucha wynosi „Q”. Wyznaczyć 
E

K

 układu?



























































2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

,

R

g

Q

r

R

I

I

R

g

Q

r

R

I

I

E

r

R

R

V

K

lańańcuc















 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W celu wyznaczenia ciężaru składu 
wagonów wstawiono dynamometr 
między parowóz i skład wagonów. W 

ciągu 2 min. Próby dynamometr 
wskazywał siłę 100800 kG. W tym czasie 
pociąg osiągnął V=57.6km/h, startując ze 
stanu spoczynku. Wiedząc że wsp.Tarcia 
kól o szyny wynosi f=0,02, wyznaczyć 
cięzar składu wagonów. 





















Rt

Ft

V

g

Q

t

R

F

V

V

g

Q

Ft

V

V

m

Fdt

mV

d

F

dt

mV

d

s

t

Q

R

dt

dp

F

Ft

poped

mV

pedp





























1

0

1

0

1

,

120

,



 





gt

V

F

Q

Ftg

tg

V

Q

Ftg

Qtg

QV

Qtg

Ftg

QV

g

Qt

Ft

g

Q

Rt

Ft

V

g

Q

1

1

1

1

1

/(..)

/











































 

Klocek o masie „m” zsuwa się po 
gładkiej równi pochyłej, nachylonej pod 
kątem 30

0

. Wyznaczyć czas, w którym 

klocek przesunie się o odcinek drogi o 
długości 9,6m, jeśli na początku tego 
odcinka jego  
prędkość wynosiła 2m/s. 

2

0

0

2

0

30

sin

2

1

2

1

sin

sin

,

t

g

t

V

x

pt

t

V

x

Q

p

g

Q

g

p

g

Q

m



















 

W łódce o długości 4m, na ławeczce 
znajdującej się w środku długości łódki, 
siedzą dwie osoby, jedna o wadze 50 kG, 
druga o wadze 70kG. Osoba lżejsza 
przeszła na dziób łódki. W jakim 
kierunku i o jaką odległość powinna się 
przesunąć w łódce druga osoba, itd.(nie 
chce mi się pisać) 

2

1

1

2

2

1

1

0

P

x

P

x

x

P

x

P









 

Jednorodny prostopadłościan ABCD o 
P=4000kG i o wymiarach podanych na 
rysunku należy przewrócić. Wyznaczyc 
prace, jaka musi zostać przy tym 
wykonana. 

kJ

kGm

m

kG

L

h

p

L

1000

4000

)

4

5

(

4000

















 

Pozioma jednorodna w formie koła o 
promieniu R i o ciężarze P może się 
obracać bez tarcia wokół pionowej osi 
przechodzącej przez środek płyty. Po 
płycie po okręgu o promieniu r idzie 
człowiek o ciężarze Q ze stała prędkością 
„u”. Z jaka predkością katową będzie się 
obracać płyta wokół osi, jeśli przed 
wyruszeniem człowieka do marszu płyta 
była w spoczynku. 









































wyznaczyc

r

g

Q

ur

g

Q

R

g

P

g

Q

r

r

u

I

R

g

P

I

K

K

0

2

0

2

0

2

2

0

2

2

1

 

W celu wyznaczenia momentu M sił 
tarcia w łożyskach wału, nasadzono na 
wał ciężar P o ramieniu bezwładności 
i=1,5m. Układowi nadano prędkość 

obrotową n

0

=240obr/min i zmierzono 

czas t=10min. do samoczynnego 
zatrzymania się wału. Wyznaczyć 
moment sił tarcia na łożyskach M 
przyjmując, że jest on stały w czasie 
wybiegu(zatrzymywania)wału. 





75

30

600

240

,

30

75

5

,

1

81

,

9

500

0

2













































t

n

n

dt

d

I

M

I

M

M

dt

d

I

M

dt

dK

 

 
 
 
Płytkę o masie „m” ustawiono w 
odległości „l” od krawedzi dachu, 
nachylonego do poziomu pod kątem „α”. 
Uwzględniając wpływ tarcia obliczyć w 
jakiej odległości „a” od budynku płytka 
upadnie na ziemię.    

1

2

2

2

)

(cos

5

,

0

)

(sin

)

cos

(sin

2

cos

cos

;

)

cos

(sin

2

)

cos

sin

(

2

cos

sin

2

cos

;

cos

0

cos

sin

sin

sin

t

V

a

uukosnego

zasiegrzut

h

y

gdy

gt

t

V

y

gl

t

a

t

V

a

t

V

a

gl

V

l

g

l

g

V

l

mg

mgl

mV

l

mg

N

T

Lt

Lg

Ep

mg

N

mg

N

mgl

Ep

l

h

l

h

o

o

o

o

o

o

o

















































































































 

Wirnik składa się z dwu tarcz, każda o 
masie m

1

 i promieniu r

1,

połączonych 4 

prętami o przekroju prostokatnym, o 
długości „l”, jak podano na szkicu. 
Obliczyc moment bezwładności wirnika 
względem osi x-x. 









2

2

2

2

2

2

1

3

1

2

1

1

2

2

2

2

2

4

3

1

4

2

2

1

2

1

12

1























































b

r

m

c

b

m

r

m

I

I

I

r

m

I

ma

I

I

V

m

I

I

c

b

m

I

x

zc

z

z

z

z

z

 

Kwadratowa płyta o boku „a” i masie 
„m” może się obracać dokoła pionowej 
osi bez tarcia. Obliczyć o jaki kąt „fi” 
obróci się płyta, gdy człowiek o masie m

1

 

przejdzie ze stałą prędkością względną 
„w” wzdłuż jednego boku płyty (  w 
stanie poczatkowym prędkości płyty i 
człowieka były=0) 
 
 
Wyznaczyć moment bezwł. układu 
dwóch walców jak na szkicu poniżej, 
względem osi walca o mniejszej średnicy. 
Promienie walców wynoszą R i r, a ich 
masy wynoszą M i m, odpowiednio. 

...)

2

(

2

*

2

*

2

*

2

*

2

*

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1























R

M

r

m

Ix

M

R

M

r

m

Ix

x

I

x

I

Ix

MS

R

M

x

I

r

m

x

I

 

Płytkę o masie m ustawiono na gładkim 
półwalcu, jak podano na rys. Obliczyć kąt 
α przy którym nastąpi oderwanie się 
płytki, oraz odległość a punktu upadku 
płytki. 

r

t

V

r

a

t

V

r

ON

a

r

z

t

V

gr

V

gr

gr

gr

mV

mgr

gr

V

r

mV

mg

ox

ox

o

ox



































1

1

1

2

2

2

*

sin

*

sin

*

3

2

3

2

arccos

3

2

cos

cos

cos

2

2

2

)

cos

1

(

cos

cos



















 

Ciało o ciężarze Q ustawiono na 
gładkiej… pochylonej pod kątem α. 
Oblicz prędkość ciała po przebyciu drogi 
l. 







sin

2

2

sin

2

2

sin

*

*

2

2

2

gl

V

V

g

Q

Ql

E

V

V

g

Q

mV

E

l

Q

V





















 

Ciężar P jest wciągany do góry za 
pomocą przekładni zębatej. Stały moment 
zewnętrzny M jest przyłożony do koła o 
promieniu r1. Przy danych: M, r1, m1, r2, 
m2, r3, m3 i P. Obliczyć przyspieszenie 
kątowe koła o promieniu r1, 
przyspieszenie liniowe ciężaru P oraz 
moment bezwładności układu 
zredukowany do osi O1. 

]

[

2

27

6

0

,

0

,

]

[

2

27

6

2

2

*

2

2

1

2

2

0

2

2

2

2

1

1

2





























s

p

R

R

g

t

dla

s

p

R

gr

S

mg

R

m

mg

S

R

m

RS

RS

I

x













 

Ciężki jednorodny pręt o długości l 
zamocowano przegubowo w punkcie O 
na osi. Jaką prędkość V należy nadać 
końcowi A pręta, znajdującego w 
spoczynku w stanie równowagi stałej, 
aby pręt wychylił się do położenia 
poziomego? 

koniec

jego

przez

cej

przechodz ą

i

ej

prostopad ł

niego

do

osi

wzgl ęzgl

pr ęrę

bezwl

mom

Iz

pręrę

pr ęrędko

pow

gl

V

l

V

l

g

l

mg

ml

l

mg

mgh

L

Ek

ml

Ek

ml

Iz

Iz

Ek

L

Ek

Ek

dłługoś

l

praca

L

A

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

.

,

.

3

3

2

6

1

2

0

6

1

3

1

2

1

;

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

2

1

1

1

2





















































 

Jednorodna belka AB o długości L i 
ciężarze G zamocowana została poziomo 
przegubowo w punkcie A, a punkcie B 
podwieszona na pionowej nici. Znaleźć 
reakcję w przegubie A tuż po przepaleniu 
nici. 

Q

R

p

g

Q

Q

R

g

l

p

l

l

g

Q

I

M

I

Ql

M

A

A

A

A

4

1

*

*

4

3

*

*

*

2

1

2

..

3

*

*

3

1

,

*

2

1

2

























 

Na bęben poziomy o masie M i 
promieniu r nawinięto sznur na którego 

końcu zamocowano ciężar o masie m. Z 
jaką prędkością będzie spadać ciężar w 
chwili t po wypuszczeniu. 

)

2

1

(

*

2

*

)

2

(

*

*

*

2

1

,

.

,

,

,

,

,

2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

)

*

*

(

)

*

(

*

*

*

*

)

(

*

*

*

*

*

:

,

,

,

,

,

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

m

M

r

t

g

r

M

m

t

g

m

V

r

k

osi

wzgledem

bezwl

ramię

kołołowe

walca

pełełne

dla

t

g

k

M

r

m

r

m

V

t

g

k

M

r

m

r

m

dt

dv

dt

V

d

k

M

r

m

r

m

g

dt

d

g

dt

d

r

r

m

k

M

dt

d

r

g

k

M

r

m

dt

d

v

r

dt

dv

g

k

M

r

m

k

M

r

S

dt

d

bebna

kąątow

enie

przyspiesz

dt

dv

m

mg

S

sznur

najpierw

działzi

bęędzi

bęębe

Na





























































 

Ciężki krążek o masie m owinięty jest 
sznurem, koniec jest przyczepiony do 
sufitu. Wyznaczyć przyspieszenie środka 
ciężkości krążka oraz napięcie sznura w 
czasie ruchu krążka. 

g

m

S

g

z

r

z

g

m

r

z

r

m

z

m

g

m

S

r

S

r

z

r

m

r

z

r

m

I

S

g

m

l

m

r

S

I

krąrąż

ruchu

równanie

*

*

3

1

3

2

)

(

*

*

*

*

2

1

*

*

*

*

*

*

2

1

*

*

2

1

*

*

*

*

,

,

2

2

2





























 

Na bębnie linowym o promieniu r=0,5m i 
momencie bezwładności I1=30kgm, 
obracającym się dokoła poziomej osi l, 
nawinięta została wiotka i nieważka lina, 
na której końcu zawieszono ciężar 
G=1200N. Ciężar G puszczono 
swobodnie (ze stanu spoczynku układu). 
Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie 
ciężaru G oraz napięcie S w linie po 
przebyciu przez ciężar drogi h=6m. 

N

r

p

I

S

s

m

ph

V

s

m

g

I

Gr

r

q

G

p

r

p

r

S

M

poniewaz

I

M

S

G

p

g

Q

594

25

,

0

95

,

4

*

30

]

[

7

,

7

6

*

95

,

4

*

2

2

]

[

95

,

4

81

,

9

*

30

25

,

0

*

1200

25

,

0

*

81

,

9

*

1200

*

*

;

;

;

*

*

2

1

2

1

2

2

1

1





































 

Pierścień o masie m i prędkości a i b 
toczy się po równi nachylonej do 
poziomu pod kątem α. Wyznaczyć 
przyspieszenie p środka masy oraz … 1) 
z poślizgiem, 2)bez poślizgu 

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

0

3

sin

2

)

sin

(

)

(

2

1

sin

*

;

;

;

*

cos

0

cos

)

2

cos

2

)

(

2

)

cos

(sin

cos

0

cos

sin

)

1

b

a

g

b

p

p

g

m

F

b

p

b

a

m

I

Fb

Mio

mp

F

mg

Pi

b

P

b

V

mg

N

mg

N

Pi

b

a

bg

I

Tb

b

a

m

I

Tb

I

Mio

g

P

mg

N

mg

N

Fiy

N

T

mp

T

mg

Pix

o

o

o

o

x

o

o

y

o

o

o























































































































 

Na szorstkiej płaszczyźnie, nachylonej do 
poziomu pod kątem α, położono 
jednorodne ciało obrotowe o ciężarze G, 
któremu pozwolono stoczyć się. Jaki 
powinien być współczynnik tarcia μ, aby 
ruch toczenia ciała mógł odbywać się bez 
poślizgu. 

























tg

I

mr

I

G

r

I

m

G

r

I

T

r

I

m

G

p

p

r

I

T

r

p

dt

dv

r

dt

d

Tr

M

i

M

G

T

T

G

mp

































2

2

2

2

2

cos

sin

/

sin

/

1

cos

sin

 

Walec o masie m kg i promieniu 
podstawy r w m jest owinięty w środku 
cienką linką, której koniec A 
przymocowano do punktu stałego. Walec 
zaczyna opadać bez prędkości 
początkowej odwijając się z linki 
obliczyć prędkość osi walca V w chwili, 
gdy oś obniżyła się o wysokość h. W 
chwili początkowej część liny nie 
nawinięta na walec miała kierunek 
pionowy. 

]

/

[

3

2

2

2

1

2

1

0

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

s

m

gh

V

mgh

r

v

mr

mv

mgh

W

E

mr

mv

E

















 

Pod działaniem ciężarka o masie m układ 
podany na rysunku jest w ruchu. 
Wyznaczyć przyspieszenie p oraz siły: S i 
S1 w niciach tego układu. Dane: m, m1, 
m2 oraz współczynnik tarcia 
kinematycznego μ. 

)

(

)

(

1

1

2

1

2

1

g

p

m

S

p

g

m

S

m

m

m

g

m

g

m

mg

p

























 

 
 



























1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

2

2

2

2

,

6

1

4

1

2

cos

6

4

t

a

t

ma

t

a

m

a

m

I

K

x

W

m

K

a

m

I

t

a

x

V

m

r

K

z

z











































 

Na tarczę o promieniu „r” i ciężarze „Q” 
nawinięto nić, której drugi koniec jest 
nawinięty na krążek o promieniu „a” i 
ciężarze „G”, jak pokazuje rysunek. 
Wyznaczyć naciąg nici oraz 
przyspieszenie ciał. 

a

P

r

t

P

P

r

g

Q

Sr

P

g

Q

S

Q

tarcza

a

g

G

Sa

krąrąż

A

A





















0

0

0

2

0

2

2

:

2

:

 

Na nieruchomym walcu o promieniu „a” 
ustawiono kulę o masie „m” i promieniu 
„r”.Obliczyć wartość kata przy którym 
kula utraci kontakt z walcem. 

3

2

arccos

cos

3

2

2

cos

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

cos

2

2



























gr

gr

mV

mgr

r

V

m

mg

 

 
Z punktu A równi pochylej AB zjezdzaja 
ruchem jednostajnie przyspieszonym(bez 
predkosci poczatkowej)sanki, ktorej 
nastepnie poruszaja się ruchem 
jednostajnie opoznionym po poziomej 
BC, za do calkowitego zatrzymania się. 
Znalezc przyspieszenia „p

1

” z jakim 

poruszaja się sanki po rowni pochylej AB 
oraz „p

2

” z jakim poruszaja się sanki po 

poziomej BC, wiedzac ze  odleglosci 
wynosza AB=s

1

 i BC=s

2

, a czas w jakim 

sanki perzebyly cala droge(s

1

+s

2

) z 

punktu A do punktu C wynosi T. 





































2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

1

1

0

2

0

2

,

2

,

0

2

1

2

1

,

2

,

2

S

T

S

S

p

S

T

S

S

p

t

t

T

S

S

t

T

p

t

p

t

T

p

t

p

t

T

p

V

V

t

T

p

t

T

t

p

S

t

T

p

t

T

V

S

t

p

t

p

V

V

t

p

S

pt

V

V

pt

t

V

s

B

C

B

A

B































































 

Punkt porusza się z przyspieszeniem „a” 
wedlug rownan a

x

(t)=0;a

y

(t)=6.Podac 

rownanie ruchu punktu oraz okreslic jego 
tor ruchu. Wyznaczyc predkosc po czasie 
t=2s, jeżeli wiadomo, ze w chwili 
poczatkowej punkt znajdowal się w 
spoczynku w punkcie o wspolrzednych 
x

0

=1,y

0

=1.Podac tor po jakim porusza się 

punkt. 





1

3

,

0

1

3

,

1

,

0

3

2

1

6

6

,

,

,

12

4

36

0

,

0

0

,

0

,

0

6

6

,

6

6

0

0

,

,

,

6

,

0

2

2

2

2

2

2

2

2































































































t

y

x

C

C

t

y

y

t

C

t

C

t

tdt

y

Vdt

x

Vdt

dx

dt

dx

V

s

m

V

V

V

V

V

C

V

t

C

t

t

V

C

t

dt

V

dt

V

adt

V

adt

dV

dt

dV

a

a

a

s

t

y

x

y

y

x

y

x

Tarcza o promieniu „R” obraca się w 
swojej laszczyznie ze stala predkoscia 

katowa 

0

 wokół punktu A lezaczego na 

jej obwodzie. Wzdluz obwodu tarczy 
porusza się punkt B ze stala co do 
wartosci predkoscia wzgledna W. 
Znalezc predkosc i przyspieszenie 
bezwzgledne punktu B jako funkcje kata 
„”. 





















W

r

r

W

r

W

r

W

p

p

p

p

p

p

p

p

W

p

Coriolisa

enie

przyspiesz

r

AB

p

unoszenia

enie

przyspiesz

r

W

p

wzgledne

enie

przyspiesz

W

r

r

W

V

VcW

W

Vc

V

r

AB

Ve

unoszenia

predkosc

r

C

C

C

r

c

C

e

r



































































0

2

3

0

2

2

2

0

0

2

3

2

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2

2

0

0

2

cos

4

2

cos

1

4

4

2

cos

2

2

2

cos

2

,

2

cos

4

2

cos

2

2

cos

2





































 
Podac predkosc i przyspieszenie suwaka 
B w mechanizmie jak na rysunku. Korba 
OA porusza się se stala predkoscia 
katowa. 

















2

4

4

2

2

2

4

4

2

2

2

2

2

2

cos

cos

sin

sin

cos

cos

0

cos

cos

sin

sin

0

sin

sin

cos

cos

0

cos

cos

t

AB

t

OA

a

t

AB

t

OA

V

t

AB

t

OA

x

y

t

AB

t

OA

x

dt

dV

a

t

AB

OA

x

y

t

AB

t

OA

x

dt

dx

V

t

AB

t

OA

x

y

AB

OA

x

B

B

B

B

B

B

B

B













































































































































 
Jaka predkosc w chwili zetkniecia tarczy 
kolowej o promieniu R i masie „m” z 
poziomem osiagnie jej srodek ciezkosci? 
Tarcza staca się z rowni pochylej o kacie 
„”. W chwili poczatkowej tarcza 
znajdowala się w spoczynku.