Dzielą się na dwie grupy: średnie klasyczne i pozycyjne. Do 

średnich klasycznych należą: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna
oraz średnia geometryczna. Najczęściej wykorzystywanymi średnimi 
pozycyjnymi są: dominanta (wartość najczęstsza) oraz kwantyle. Wśród 
kwantyli wyróżniamy – kwartyle (dzielące zbiorowość na cztery części), 
kwintyle (pięć części), decyle (dziesięć części) oraz centyle [percentyle] 
(sto części).

Średnie klasyczne są obliczane na podstawie wszystkich 

wartości szeregu. Średnie pozycyjne są wartościami konkretnych 
wyrazów szeregu (pozycji) wyróżniających się pod pewnym względem. 
Obie grupy wzajemnie się uzupełniają, każda opisuje poziom wartości 
zmiennej z innego punktu widzenia.

Średnia arytmetyczna 

Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej 
wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę 
tych jednostek.

N

x

N

x

x

x

x

n

i

i

n

∑

=

=

+

+

+

=

1

2

1

_



x - symbol średniej arytmetycznej;

x

i

 – warianty cechy mierzalnej;

N – liczebność badanej zbirowości.

Średnią określoną powyższym wzorem nazywa się średnią 
arytmetyczną nieważoną.

Jeżeli warianty średniej występują z różną częstotliwością, to oblicza 

się średnią arytmetyczną ważoną. Wagami są liczebności 
odpowiadające poszczególnym wariantom. Z tego typu sytuacją mamy do 
czynienia w szeregach rozdzielczych i przedziałowych.

Średnią arytmetyczną z szeregów przedziałowych oblicza się 

następująco:

N

n

x

N

n

x

n

x

n

x

x

k

i

i

i

k

n

∑

=

=

+

+

+

=

1

1

2

2

1

1

_



i

n

 (n=1,2,…,k) – liczebność jednostek odpowiadająca 

poszczególnym wariantom zmiennej;

N – suma tych liczebności
(

Σ

 - suma)

W szeregach rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej w

każdej klasie nie są jednoznacznie określone, ale mieszczą się w pewnym 
przedziale. Dlatego też w celu obliczenia średniej arytmetycznej w 
przypadku tego typu szeregów należy wcześniej wyznaczyć środki 
przedziałów. Środki przedziałów otrzymuje się jako średnią arytmetyczną
dolnej i górnej granicy każdej klasy. Oznacza się ją symbolem 

i

o

x

. 

Wzór na średnią arytmetyczną z szeregu rozdzielczego 
przedziałowego:

N

n

x

N

n

x

n

x

n

x

x

k

i

i

i

k

n

∑

=

=

+

+

+

=

1

0

0

2

2

0

1

1

0

_



Jeżeli w obliczeniach możemy wykorzystać wyłącznie procentowe 
wskaźniki struktury (odsetki całości) 

i

w

 to wzór wygląda następująco:

100

1

0

_

∑

=

=

k

i

i

i

w

x

x

gdzie 

100

⋅

=

N

n

w

i

i

Ćwiczenie 1

Tab. 1 Wyniki badań testowych dotyczących wiedzy teoretycznej ze 
statystyki

Wiedza ze statystyki

(w punktach)

i

i

x

x

1

0

−

Liczba

studentów

i

n

Obliczenia pomocnicze

i

x

0

i

i

n

x

0

i

w

i

i

w

x

0

20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80

2

10

7
9

12
10

25
35
45
55
65
75

50

350
315
495
780
750

4,0

20,0
14,0
18,0
24,0
20,0

100,0
700,0
630,0
990,0

1560,0
1500,0

Razem 

50

x 2740 100,0 5480,0

i

x

0

- środek klasy

i

w

 - odsetek ogółu

Oblicz średnią arytmetyczną.

Metoda 1:
„Za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowego”

punktów

x

8

,

54

50

2740

=

=

Metoda 2:
„Za pomocą procentowych wskaźników struktury”

punktów

x

8

,

54

100

5480

=

=

Wyniki są równoważne, ponieważ wartość średniej arytmetycznej 
nie zależy od liczebności poszczególnych klas, ale od proporcji 
między nimi.

Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych grup, a chcemy obliczyć 
średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie korzystamy ze wzoru:

N

n

x

x

k

i

i

i

∑

=

=

1

gdzie:

x

- średnia ze średnich;

i

x

- średnia arytmetyczna i-tej grupy;

N

- suma liczebności grupy;

Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową tylko w odniesieniu do 

zbiorowości jednorodnych, o niewielkim stopniu zróżnicowania wartości 
zmiennej. W miarę wzrostu asymetrii i zróżnicowania rozkładu, a także w 
rozkładach bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna traci 
swoje znaczenie. Nie można jej obliczyć dla szeregu o otwartych 
przedziałach, jeżeli przedziały te mają duże liczebności. (Przyjmuje się, że 
otwarte przedziały klasowe przedziały można zamykać, jeżeli liczba 
jednostek w tych przedziałach nie przekracza 5% liczebności zbiorowości.)

Jeżeli wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, 

np. km/godz, kg/osobę, wagi zaś w jednostkach liczników tych jednostek 
względnych (prędkość pojazdu – zmienna: km/godz.; waga: w km; gęstość 
zaludnienia – zmienna: w osobach/km

2

, waga: w osobach; spożycie 

artykułu X na 1 osobę – zmienna: w litrach, waga: na osobę), to stosuje się
średnią harmoniczną.

Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z 
odwrotności wartości zmiennych. 

http://notatek.pl/miary-srednie?notatka