Systemy liczbowe

Laura Robińska

Czym jest system liczbowy?

Systemem liczbowym nazywamy sposób
zapisywania liczb oraz zbiór reguł
umożliwiających wykonywanie działań na tych
liczbach.

Systemy pozycyjne i niepozycyjne

W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę
przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest
zależna od położenia cyfry w liczbie (np. system
arabski). Systemy niepozycyjne posiadają
osobne symbole kilku liczb, a następnie
posiadają kolejne symbole dla ich
wielokrotności. W systemach tych liczby tworzy
się przez dodawanie kolejnych symboli (np.
system egipski).

System karbowy

Powstał ok. 30 000 lat temu, polegał na

tworzeniu żłobień w kościach.
Wersja 1
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Wersja 2
| | | | / | | | | / | | | | / | | | | / | | | | / | |
Wersja 3
| | | | / | | | | X | | | | / | | | | X | | | | / | |
Bardzo prawdopodobne, że system ten

wyewoluował w znany nam system rzymski.

System babiloński

Znaki babilońskie istnieją od ok. 5000 lat. Pismo klinowe

Babilończyków zawierało bardzo wiele znaków, jednak zapis

liczb jest dosyć prosty. W zapisie używa się dwóch znaków,

oznaczających 1 i 10. System babiloński jest system

pozycyjnym sześćdziesiątkowym. Dużą zaletą 60 jest to, że

posiada ona wiele dzielników np. 2, 3, 5, 6, 12, 15, 20, 30.

Problem stanowiła nieznajomość cyfry zero. Babilończycy

najczęściej zostawiali wtedy puste miejsce. W późniejszym

czasie umieszczano tam pionową kreseczkę.

System egipski

System ten był powszechnie używany w Egipcie
już 3000 lat p.n.e. Do zapisu służyły hieroglify.
Każdy z symboli przedstawiał coś innego. 1-
tyczka do mierzenia, 10- podkowa, 100- zwinięty
liść palmy, 1000- kwiat lotosu, 10 000-
wyciągnięty palec, 100 000- żaba, 1 000 000-
postać z podniesionymi rękoma.

Ułamki w systemie egipskim

Jedyne znane ułamki posiadały w liczniku 1
przedstawiane jako otwarte usta czyli „część”.
Wyjątek stanowiły ⅔ i ¾.

¾

⅔

1/2

⅓

1/323

System grecki

Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literami
alfabetu. Ich alfabet miał jednak tylko 24 litery, a
potrzeba było 27, zapożyczyli więc 3 litery i użyli ich do
oznaczenia liczb 6, 90 i 900. Aby zapisać liczby większe
od 999 do jednej z przedziału 1-9 umieszczali w indeksie
dodatkowy znak ι (jota) oznaczający pomnożenie przez
1000. Podobną funkcję miała miriada, nad którą
umieszczano liczbę od 1 do 9999. Wyglądała ona w ten
sposób M. Zamiast 1000 mnożyła jednak przez 10 000.

System rzymski

Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był
prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali
liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt
systemu karbowego. Wprowadzono więc dla
oznaczenia ważnych liczb dodatkowe znaki.

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

ↁ

= 5000 ↂ = 10 000

Ułamki w systemie rzymskim

Rzymski zapis ułamków
jest mało znany.
Jednostka była zwykle
dzielona na dwanaście
mniejszych jednostek i
wszystkie
wielokrotności tych
mniejszych jednostek
miały swoje nazwy i
oznaczenia.

ułamek

oznaczenie nazwa

1/12

•

uncia

2/12

• •

sextans

3/12

• • •

quadrans

4/12

triens

5/12

quincunx

6/12

Ⴝ

semis

7/12

Ⴝ •

septunx

8/12

Ⴝ • •

bes

9/12

Ⴝ • • •

dodrans

10/12

dextans

11/12

deunx

12/12

I

as

System Majów

Indiańskie plemię Majów,
które zamieszkiwało Amerykę
Środkową, stworzyło własny
system zapisywania liczb.
Opracowali oni system
liczbowy pozycyjny na długo
przed wprowadzeniem
symboli arabskich w Europie.
System ten opierał się na
trzech symbolach: kropka,
kreska i muszla.

1 (kin) - jednostka
20 (unial) - 20 x kin
360 (tun) - 18 x unial
7 200 (katun) - 20 x tun
144 000 (baktun) - 20 x katun
2 880 000 (piktun) - 20 x baktun

System arabski

Nasz system dziesiętny, którym posługujemy się
na co dzień, jest znany jako system arabski lub
indyjsko-arabski. System dziesiętny został
zapoczątkowany w Indiach w V w. n.e., a
rozpowszechnił się w krajach arabskich dzięki
matematykowi al-Chwarizmi, który w połowie
VIII w. przetłumaczył na arabski indyjską
książkę o matematyce.

C. D.

Hindusi jako pierwsi wpadli na pomysł pisania
cyfr słowami. Podawali również oddzielne nazwy
dla kolejnych potęg liczby 10 oraz wynaleźli zero.
Arabowie wprowadzili natomiast sposób zapisu i
czytania liczb, w którym podajemy cyfrę, a
potem rząd w jakim ona stoi, choć Arabowie
czytali odwrotnie, zaczynając od jedności do
wyższego rzędu.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

adi

dvi

tri

katur

pańca sat

sapta

asta

nova

Rozpowszechnienie systemu

arabskiego

Do rozwoju i popularyzacji systemu dziesiętnego
w Europie przyczynił się włoski matematyk i
podróżnik Leonardo Fibonacci. Zafascynowany
systemem, w 1202 roku napisał książkę "Liber
Abaci" w której tłumaczył jak używać arabskich
cyfr, jak dodawać, odejmować i wykonywać inne
działania w systemie dziesiętnym.

Współczesne systemy pozycyjne

Oprócz powszechnie używanego systemy
dziesiątkowego do najczęściej wykorzystywanych
systemów liczbowych należą system binarny oraz
system heksadecymalny, używane głównie w
maszynach cyfrowych np. komputerach.

Porównanie systemów pozycyjnych

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

10

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

100

11

10

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

101

12

11

10

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

110

20

12

11

10

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

111

21

13

12

11

10

7

7

7

7

7

7

7

7

7

1000

22

20

13

12

11

10

8

8

8

8

8

8

8

8

1001

100

21

14

13

12

11

10

9

9

9

9

9

9

9

1010

101

22

20

14

13

12

11

10

A

A

A

A

A

A

1011

102

23

21

15

14

13

12

11

10

B

B

B

B

B

1100

110

30

22

20

15

14

13

12

11

10

C

C

C

C

1101

111

31

23

21

16

15

14

13

12

11

10

D

D

D

1110

112

32

24

22

20

16

15

14

13

12

11

10

E

E

1111

120

33

30

23

21

17

16

15

14

13

12

11

10

F

10000

121

100

31

24

22

20

17

16

15

14

13

12

11

10

10001

122

101

32

25

23

21

18

17

16

15

14

13

12

11

10010

200

102

33

31

24

22

20

18

17

16

15

14

13

12

10011

201

103

34

31

25

23

21

19

18

17

16

15

14

13

10100

202

110

40

32

26

24

22

20

19

18

17

16

15

14

Przeliczanie

System dwójkowy

7654321=

11101001100101110110001

System trójkowy

7654321= 112101212202101

System czwórkowy

7654321= 131030232301

System piątkowy

7654321= 3424414241

System szóstkowy

7654321= 432020401

System siódemkowy

7654321= 122026543

System ósemkowy

7654321= 351145661

System dziewiątkowy

7654321= 15355671

System dziesiątkowy

7654321= 7654321

System jedenastkowy

7654321= 4358894

System dwunastkowy

7654321= 2691701

System trzynastkowy

7654321= 177CCAC

System czternastkowy

7654321= 1033693

System piętnastkowy

7654321= A12E31

System szesnastkowy

7654321= 74CBB1

Dziękuję za uwagę!

Główne źródła:

•

http://www.math.edu.pl/systemy-liczbowe

•

http://www.linux.net.pl/~wkotwica/megipt1.html

•

https://pl.wikipedia.org/wiki/Egipski_system_liczbowy