Systemy liczbowe
Laura Robińska
Systemy liczbowe
Laura Robińska
Czym jest system liczbowy?
Systemem liczbowym nazywamy sposób
zapisywania liczb oraz zbiór reguł
umożliwiających wykonywanie działań na tych
liczbach.
Systemy pozycyjne i niepozycyjne
W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę
przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest
zależna od położenia cyfry w liczbie (np. system
arabski). Systemy niepozycyjne posiadają
osobne symbole kilku liczb, a następnie
posiadają kolejne symbole dla ich
wielokrotności. W systemach tych liczby tworzy
się przez dodawanie kolejnych symboli (np.
system egipski).
System karbowy
Powstał ok. 30 000 lat temu, polegał na
tworzeniu żłobień w kościach.
Wersja 1
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Wersja 2
| | | | / | | | | / | | | | / | | | | / | | | | / | |
Wersja 3
| | | | / | | | | X | | | | / | | | | X | | | | / | |
Bardzo prawdopodobne, że system ten
wyewoluował w znany nam system rzymski.
System babiloński
Znaki babilońskie istnieją od ok. 5000 lat. Pismo klinowe
Babilończyków zawierało bardzo wiele znaków, jednak zapis
liczb jest dosyć prosty. W zapisie używa się dwóch znaków,
oznaczających 1 i 10. System babiloński jest system
pozycyjnym sześćdziesiątkowym. Dużą zaletą 60 jest to, że
posiada ona wiele dzielników np. 2, 3, 5, 6, 12, 15, 20, 30.
Problem stanowiła nieznajomość cyfry zero. Babilończycy
najczęściej zostawiali wtedy puste miejsce. W późniejszym
czasie umieszczano tam pionową kreseczkę.
System egipski
System ten był powszechnie używany w Egipcie
już 3000 lat p.n.e. Do zapisu służyły hieroglify.
Każdy z symboli przedstawiał coś innego. 1-
tyczka do mierzenia, 10- podkowa, 100- zwinięty
liść palmy, 1000- kwiat lotosu, 10 000-
wyciągnięty palec, 100 000- żaba, 1 000 000-
postać z podniesionymi rękoma.
Ułamki w systemie egipskim
Jedyne znane ułamki posiadały w liczniku 1
przedstawiane jako otwarte usta czyli „część”.
Wyjątek stanowiły ⅔ i ¾.
¾
⅔
1/2
⅓
1/323
System grecki
Liczebniki greckie oznaczane były kolejnymi literami
alfabetu. Ich alfabet miał jednak tylko 24 litery, a
potrzeba było 27, zapożyczyli więc 3 litery i użyli ich do
oznaczenia liczb 6, 90 i 900. Aby zapisać liczby większe
od 999 do jednej z przedziału 1-9 umieszczali w indeksie
dodatkowy znak ι (jota) oznaczający pomnożenie przez
1000. Podobną funkcję miała miriada, nad którą
umieszczano liczbę od 1 do 9999. Wyglądała ona w ten
sposób M. Zamiast 1000 mnożyła jednak przez 10 000.
System rzymski
Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był
prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali
liczby za pomocą tylko pionowych kresek, na kształt
systemu karbowego. Wprowadzono więc dla
oznaczenia ważnych liczb dodatkowe znaki.
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
ↁ
= 5000 ↂ = 10 000
Ułamki w systemie rzymskim
Rzymski zapis ułamków
jest mało znany.
Jednostka była zwykle
dzielona na dwanaście
mniejszych jednostek i
wszystkie
wielokrotności tych
mniejszych jednostek
miały swoje nazwy i
oznaczenia.
ułamek
oznaczenie nazwa
1/12
•
uncia
2/12
• •
sextans
3/12
• • •
quadrans
4/12
triens
5/12
quincunx
6/12
Ⴝ
semis
7/12
Ⴝ •
septunx
8/12
Ⴝ • •
bes
9/12
Ⴝ • • •
dodrans
10/12
dextans
11/12
deunx
12/12
I
as
System Majów
Indiańskie plemię Majów,
które zamieszkiwało Amerykę
Środkową, stworzyło własny
system zapisywania liczb.
Opracowali oni system
liczbowy pozycyjny na długo
przed wprowadzeniem
symboli arabskich w Europie.
System ten opierał się na
trzech symbolach: kropka,
kreska i muszla.
1 (kin) - jednostka
20 (unial) - 20 x kin
360 (tun) - 18 x unial
7 200 (katun) - 20 x tun
144 000 (baktun) - 20 x katun
2 880 000 (piktun) - 20 x baktun
System arabski
Nasz system dziesiętny, którym posługujemy się
na co dzień, jest znany jako system arabski lub
indyjsko-arabski. System dziesiętny został
zapoczątkowany w Indiach w V w. n.e., a
rozpowszechnił się w krajach arabskich dzięki
matematykowi al-Chwarizmi, który w połowie
VIII w. przetłumaczył na arabski indyjską
książkę o matematyce.
C. D.
Hindusi jako pierwsi wpadli na pomysł pisania
cyfr słowami. Podawali również oddzielne nazwy
dla kolejnych potęg liczby 10 oraz wynaleźli zero.
Arabowie wprowadzili natomiast sposób zapisu i
czytania liczb, w którym podajemy cyfrę, a
potem rząd w jakim ona stoi, choć Arabowie
czytali odwrotnie, zaczynając od jedności do
wyższego rzędu.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
adi
dvi
tri
katur
pańca sat
sapta
asta
nova
Rozpowszechnienie systemu
arabskiego
Do rozwoju i popularyzacji systemu dziesiętnego
w Europie przyczynił się włoski matematyk i
podróżnik Leonardo Fibonacci. Zafascynowany
systemem, w 1202 roku napisał książkę "Liber
Abaci" w której tłumaczył jak używać arabskich
cyfr, jak dodawać, odejmować i wykonywać inne
działania w systemie dziesiętnym.
Współczesne systemy pozycyjne
Oprócz powszechnie używanego systemy
dziesiątkowego do najczęściej wykorzystywanych
systemów liczbowych należą system binarny oraz
system heksadecymalny, używane głównie w
maszynach cyfrowych np. komputerach.
Porównanie systemów pozycyjnych
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
10
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
100
11
10
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
101
12
11
10
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
110
20
12
11
10
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
111
21
13
12
11
10
7
7
7
7
7
7
7
7
7
1000
22
20
13
12
11
10
8
8
8
8
8
8
8
8
1001
100
21
14
13
12
11
10
9
9
9
9
9
9
9
1010
101
22
20
14
13
12
11
10
A
A
A
A
A
A
1011
102
23
21
15
14
13
12
11
10
B
B
B
B
B
1100
110
30
22
20
15
14
13
12
11
10
C
C
C
C
1101
111
31
23
21
16
15
14
13
12
11
10
D
D
D
1110
112
32
24
22
20
16
15
14
13
12
11
10
E
E
1111
120
33
30
23
21
17
16
15
14
13
12
11
10
F
10000
121
100
31
24
22
20
17
16
15
14
13
12
11
10
10001
122
101
32
25
23
21
18
17
16
15
14
13
12
11
10010
200
102
33
31
24
22
20
18
17
16
15
14
13
12
10011
201
103
34
31
25
23
21
19
18
17
16
15
14
13
10100
202
110
40
32
26
24
22
20
19
18
17
16
15
14
Przeliczanie
System dwójkowy
7654321=
11101001100101110110001
System trójkowy
7654321= 112101212202101
System czwórkowy
7654321= 131030232301
System piątkowy
7654321= 3424414241
System szóstkowy
7654321= 432020401
System siódemkowy
7654321= 122026543
System ósemkowy
7654321= 351145661
System dziewiątkowy
7654321= 15355671
System dziesiątkowy
7654321= 7654321
System jedenastkowy
7654321= 4358894
System dwunastkowy
7654321= 2691701
System trzynastkowy
7654321= 177CCAC
System czternastkowy
7654321= 1033693
System piętnastkowy
7654321= A12E31
System szesnastkowy
7654321= 74CBB1
Dziękuję za uwagę!
Główne źródła:
•
http://www.math.edu.pl/systemy-liczbowe
•
http://www.linux.net.pl/~wkotwica/megipt1.html
•
https://pl.wikipedia.org/wiki/Egipski_system_liczbowy