3 października 2012

Wojciech Kucewicz

1

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

2

Cyfrowy zapis

informacji

Cyfrowy zapis

informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

3

Bit, Bajt, Słowo

Kody liczbowe
Konwersja liczb między różnymi kodami
Kod alfanumeryczny
Kody BCD
Zapis liczb dwójkowych ze znakiem
Dodawanie liczb binarnych ze znakiem
Liczby zmiennoprzecinkowe

Bit, Bajt, Słowo

Kody liczbowe
Konwersja liczb między różnymi kodami
Kod alfanumeryczny
Kody BCD
Zapis liczb dwójkowych ze znakiem
Dodawanie liczb binarnych ze znakiem
Liczby zmiennoprzecinkowe

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

4

Bit, Bajt, Słowo

Bit, Bajt, Słowo

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

5

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

Bit

[ang.

bi

nary digi

t

] jest elementem zbioru

dwuelementowego używanym do reprezentowania

informacji. Bit może mieć wartość 1 lub 0.

1

0

0

1

1

0

0

0

Bit

MSB

– bit najbardziej znaczący

LSB

– bit najmniej znaczący

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

6

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

1

0

0

1

1

0

0

0

Bajt (byte)

ciąg złożony z 8 bitów. Bajt pozwala na zapisanie

w systemie binarnym 2

8

liczb (0 -255)

Byte

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

7

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

Słowo (word)

jest informacją złożoną z n bajtów. Słowo

może zkładać się z 8, 16, 32 lub 64 bitów.

Słowo jest traktowane przez układy komputera jako dane

do wykonywanej aktualnie operacji, bądź jako zakodowany

rozkaz.

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

Word

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

8

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

Rozmiar słowa

Maksymalna liczba możliwa do zapisania

8 bits

255

16 bits

65535

32 bits

4 294 967 295

64 bits

18 446 744 073 709 551 615

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

9

Kody liczbowe

Kody liczbowe

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

10

Kody liczbowe

Kody liczbowe

Najbardziej rozpowszechnionymi kodami liczbowymi są kody

naturalne.

Zapis liczb w kodzie naturalnym jest pozycyjny tj. każdy znak a

i

zajmuje ściśle określoną pozycję i, której przyporządkowana jest

odpowiednia waga w

i

= p

i

, gdzie p jest podstawą kodu liczbowego.

Podstawa kodu określa ilość znaków używanych w kodzie.

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

11

Kod dziesiętny

Kod dziesiętny

Powszechnie stosowany jest kod (system) dziesiętny. Został

opracowany w Indiach ok. V wieku i poprzez Arabów upowszechnił się

w Europie.

Oparty jest na dziesięciu znakach (cyfrach):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ilość znaków jest podstawą systemu –

p = 10

Dowolną liczbę x przedstawia się za pomocą słowa A składającego się

z n cyfr zgodnie ze wzorem:

x = L(A) =

aj …a

4

a

3

a

2

a

1

a

0

. a

-1

a

-2

gdzie

a

jest jednym z używanych znaków, a indeks

j

jest potęgą

podstawy

p

przez którą znak jest mnożony

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

12

Kod dziesiętny

Kod dziesiętny

Liczba

a

j

… a

1

a

0

. a

-1

a

-2

a

j

•p

j

+ ...+ a

1

•10

1

+ a

0

•10

0

+ a

-1

•10

-1

+ a

-2

•10

-2

Przykład:

Liczbę

4321

można zapisać jako:

4321 =

4•10

3

+ 3•10

2

+ 2•10

1

+ 1•10

0

= 4000 + 300 + 20 + 1 = 4321

10

Oznacza kod

Przy pomocy n cyfr możemy zapisać p

n

liczb (od 0 do p

n

– 1)

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

13

Kod binarny

Kod binarny

W technice cyfrowej najczęściej jest stosowany kod dwójkowy

(binarny)

Oparty jest na dwóch znakach:

0, 1

Podstawa systemu –

p = 2

Przykład

Liczbę

1000011100001

2

można zapisać jako

1•2

12

+ 0•2

11

+ 0•2

10

+ 0•2

9

+ 0•2

8

+

1•2

7

+

1•2

6

+

1•2

5

+ 0•2

4

+ 0•2

3

+ 0•2

2

+

0•2

1

+

1•2

0

=

4096+128+64+32+1

= 4321

10

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

14

Kod oktagonalny

Kod oktagonalny

Kod oktagonaly oparty jest na ośmiu znakach:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Podstawa systemu –

p = 8

Przykład

Liczbę

10341

8

można zapisać jako

1•8

4

+ 0•8

3

+

3•8

2

+

4•8

1

+

1•8

0

= 4096+192+32+1= 4321

10

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

15

Kod heksadecymalny

Kod heksadecymalny

Kod heksadecymalny oparty jest na szesnastu znakach:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Podstawa systemu –

p = 16

Przykład

Liczbę

10EA

16

można zapisać jako

1•16

3

+ 0•16

2

+

14•16

1

+

10•16

0

= 4096+224+1= 4321

10

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

16

Kody liczbowe

Kody liczbowe

Kod dziesiętny

Kod binarny

Kod octagonalny

Kod heksadecymalny

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

17

Konwersja liczb między

różnymi kodami

Konwersja liczb między

różnymi kodami

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

18

Kod dziesiętny  kod binarny

Kod dziesiętny  kod binarny

Zamiana liczby całkowitej

50

10

na binarną:

50

10

= 110010

2

Dzielenie przez

podstawę

Wynik dzielenia

Reszta

Liczba binarna

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

50/2 =

25

0



0

25/2 =

12

1



1

12/2 =

6

0



0

6/2 =

3

0 

0

3/2 =

1

1 

1

1/2 =

0

1 

1

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

19

Mnożenie przez

podstawę

Wynik mnożenia

Reszta

Liczba binarna

a

-1

a

-2

a-

3

Kod dziesiętny  kod binarny

Kod dziesiętny  kod binarny

Zamiana liczby ułamkowej

0.375

10

na binarną :

0.375

10

= 0.011

2

0,375 • 2 = 0

0,75



0

0,75 • 2 =

1

0,5



1

0,5 • 2 =

1

0



1

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

20

Kod dziesiętny  kod binarny

Kod dziesiętny  kod binarny

Zamiana liczby dziesiętnej

50.375

10

na binarną wykonuje się w

dwóch krokach:

50.375

10

=50 + 0.375 = 110010 + 0.011 = 110010.011

2

1) Konwersja części całkowitej

2) Konwersja części ułamkowej

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

21

Mnożenie przez

podstawę

Wynik mnożenia

Reszta

Liczba binarna

a

-1

a

-2

a-

3

a

-4

a

-5

a-

6

Kod dziesiętny  kod binarny

Kod dziesiętny  kod binarny

Niektóre ułamki można tylko w przybliżeniu przedstawić w postaci

binarnej

np. 0,3

:

0.3

10

= 0,010011….

2

0,3 • 2 =

0

0,6



0

0,6 • 2 =

1

0,2



1

0,2 • 2 =

0

0,4



0

0,4 • 2 =

0

0,8



0

0,8 • 2 =

1

0,6



1

0,6 • 2 =

1

0,2



1

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

22

Kod binarny  kod oktagonalny

Kod binarny  kod oktagonalny

Liczbę binarną należy podzielić na segment 3 elementowe poczynając

od przecinka w obie strony a następnie każdy segment zamienić na

liczbę oktagonalną:

110010.011

2

110 010. 011

2



6 2.

3

8







62.3

8



Liczbę oktagonalną zamieniamy na liczbę binarną postępując

odwrotnie

110010.011

2

110 010. 011

2



6 2.

3

8







62.3

8



3 października 2012

Wojciech Kucewicz

23

Kod binarny  kod heksadecymalny

Kod binarny  kod heksadecymalny

Liczbę binarną należy podzielić na segment 4 elementowe poczynając

od przecinka w obie strony, a następnie każdy segment zamienić na

liczbę heksadecymalną:

110010.011

2

0011 0010. 0110

2



3 2.

6

16







32.6

16



Liczbę heksadecymalną zamieniamy na liczbę binarną postępując

odwrotnie

110010.011

2

0011 0010. 0110

2



3 2.

6

16







32.6

16



3 października 2012

Wojciech Kucewicz

24

Kolokwium

Kolokwium

Zamień liczbę binarną

110,011

na liczbę

dziesiętną, oktagonalną i heksadecymalną ?

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

25

Kod alfanumeryczny

Kod alfanumeryczny

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

26

Kod alfanumeryczny ASCII

Kod alfanumeryczny ASCII

W komputerach musi być jakiś sposób przedstawiania oprócz liczb

także liter i innych symboli. Określenie alfanumeryczny jest

stosowany do tych symboli, które zawierają także cyfry

dziesiętne.

Sposób przyporządkowania odpowiedniego kodu symbolom

alfanumerycznym nazywamy kodem

ASCII

od angielskiej nazwy

dokumentu:

A

merican

S

tandard

C

ode for

I

nformation

I

nterchange

Kod ASCII jest kodem 7-bitowym, często 8 bit wykorzystuje się

do kontroli parzystości lub do kodowania dodatkowych znaków o

numerach od 128 do 255

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

27

Kod alfanumeryczny ASCII

Kod alfanumeryczny ASCII

Character

ASCII

(bin)

ASCII

(hex)

Decimal

Octal

A

1000001

41

65

101

B

1000010

42

66

102

C

1000011

43

67

103

…

K

1001011

4B

75

113

a

1100001

61

97

141

…

1

0110001

31

49

61

‘

0100111

27

39

47

Znaki w kodzie ASCII są przyporządkowane liczbom, które można

zapisać w dowolnym kodzie numerycznym.

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

28

Kod alfanumeryczny ASCII

Kod alfanumeryczny ASCII

Przykład:

Euro 2012

Wyrażenie

Binarnie

Octagonalnie Heksadecymalnie Decymalnie

E

01000101

105

45

69

u

01110101

165

75

117

r

01110010

162

72

114

o

01101111

157

6F

111

00100000

40

20

32

2

00110010

62

32

50

0

00110000

60

30

48

1

00110001

61

31

49

2

00110010

62

32

50

010001010111010101110010011011110010000000110010001100000011000100110010

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

29

Transmisja informacji

Transmisja informacji

1. Dane w kodzie ASCII wprowadzane

są z klawiatury

2. Przemieszczane są w blokach

(bajtach) przy użyciu procesora

3. Gromadzone są w pamięci

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

30

Kody BCD

Kody BCD

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

31

Kod BCD 8421

Kod BCD 8421

Cyfra

Kod
BCD8421

Cyfra

Kod
BCD8421

0

0000

5

0101

1

0001

6

0110

2

0010

7

0111

3

0011

8

1000

4

0100

9

1001

W kodzie BCD (ang. Binary coded decimal) każda cyfra liczb dziesiętnej jest

oddzielnie kodowana dwójkowo w postaci 4-bitowego słowa.

Najpopularniejszy jest kod BCD 8421 obejmujący pierwsze 10 liczb z 4-

bitowego naturalnego kodu dwójkowego.

Przykładowo liczba 369

10

będzie zakodowana następująco:

0011 0110 1001

To nie jest liczba 0011 0110 1001 !

3

6

9

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

32

Kod BCD Gray’a

Kod BCD Gray’a

Cyfra

Kod
Gray’a

Cyfra

Kod
Gray’a

0

0000

8

1100

1

0001

9

1101

2

0011

10

1111

3

0010

11

1110

4

0110

12

1010

5

0111

13

1011

6

0101

14

1001

7

0100

15

1000

Przykładem kodu BCD jest kod Gray’a.

Kod Gray’a ma taką właściwość, że jego sąsiednie słowa różnią się tylko jednym bitem

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

33

Kod z nadmiarem 3 (XS3)

Kod z nadmiarem 3 (XS3)

Cyfra

Kod X3

Cyfra

Kod X3

0

0011

5

1000

1

0100

6

1001

2

0101

7

1010

3

0110

8

1011

4

0111

9

1100

W kodzie BCD (ang. Binary coded decimal) z nadmiarem 3 liczenie zaczyna

się od 0011. Nie występuje cztery 0 lub cztery 1.

Jest to kod samouzupełniający.

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

34

Kod 7-segmentowy

Kod 7-segmentowy

Cyfra

Kod 7-segm.

abcdefg

Cyfra

Kod 7-segm.

abcdefg

0

1111110

5

1011011

1

0110000

6

1011111

2

1101101

7

1110000

3

1111001

8

1111111

4

0110011

9

1111011

Kod 7-segmentowy służy do wyświetlania cyfr na wskaźniku 7-segmentowym.

Każda cyfra jest tworzona przez „zapalenie” odpowiednich segmentów

wskaźnika.

a

a

b

b

c

c

d

d

g

g

f

f

e

e

a

a

b

b

c

c

d

d

g

g

f

f

e

e

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

35

Zapis liczb dwójkowych

ze znakiem

Zapis liczb dwójkowych

ze znakiem

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

36

Zapis dwójkowy ze znakiem

Zapis dwójkowy ze znakiem

W zbiorze liczb rzeczywistych istnieją liczby ujemne, które oznacza się

znakiem minus (-).

W dwójkowym systemie liczbowym znak liczby może być wprowadzony tylko

w postaci odrębnego

bitu znaku

, którego wartość równa 1 reprezentuje

umownie znak „-”, a wartość 0 odpowiada znakowi „+”.

Istnieją trzy zasadnicze sposoby kodowania liczb dwójkowych ze znakiem:

• znak-moduł (ZM)

• znak-uzupełnienie do 1 (U 1)

• znak-uzupełnienie do 2 (U 2)

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

37

Znak-uzupełnienie do 9

Znak-uzupełnienie do 9

Liczba ujemna -53

99 – 53 = 46  uzupełnienie do 9

83 – 53 = 30

83 + 46 =

1

29  29 + 1 = 30

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

38

Znak-uzupełnienie do 10

Znak-uzupełnienie do 10

Liczba ujemna -53

100 – 53 = 47  uzupełnienie do 10

83 – 53 = 30

83 + 47 = 130

X

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

39

Zapis dwójkowy w kodzie ZM

Zapis dwójkowy w kodzie ZM

Kod znak-moduł (ang. sign-magnitude) został utworzony przez dodanie bitu na

początku każdej liczby reprezentującego znak liczby. Przyjmuje się, że

gdy liczba jest ujemna, to wartość tego bitu jest równa 1, a dalsze bity

reprezentują moduł liczby. Gdy liczba jest dodatnia, to wartość tego

bitu jest równa 0.

Za pomocą n-bitowego słowa (uwzględniając bit znaku) można przedstawić

liczby z zakresu:

-(2

n-1

-1) ≤ L(A) ≤ +(2

n-1

-1)

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

40

Zapis dwójkowy ZM

Zapis dwójkowy ZM

-(2

n-1

-1) ≤ L(A) ≤ +(2

n-1

-1)

Np. za pomocą 8-bitowego słowa (1 bajtu) można przedstawiać liczby od -127

do 127.

Liczba

12

będzie miała formę

00001100

Liczba

-12

będzie miała formę

10001100

W zapisie ZM liczba zero może przyjmować dwie formy:

00000000 lub 10000000

Podwójna reprezentacja O może stwarzać problemy przy realizacji

algorytmów arytmetycznych (wada).

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

41

Zapis dwójkowy w kodzie U 1

Zapis dwójkowy w kodzie U 1

W kodzie uzupełnienia do 1 (ang. 1’s complement) liczby dodatnie

reprezentowane są jak w kodzie binarnym pod warunkiem, że najbardziej

znaczący bit ma wartość 0. Liczby ujemne na najbardziej znaczącej pozycji

mają 1, a pozostałe bity mają przeciwne wartości niż w przypadku liczby

dodatniej.

Uzupełnieniem liczby N w kodzie U1 jest liczba C:

C

U1

= (2

n

– 1) - N

Za pomocą n-bitowego słowa (uwzględniając bit znaku) można przedstawić

liczby z zakresu:

-(2

n-1

-1) ≤ L(A) ≤ +(2

n-1

-1)

czyli podobnie jak kodzie ZM.

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

42

Zapis dwójkowy w kodzie U 1

Zapis dwójkowy w kodzie U 1

Liczba

12

będzie miała formę

00001100

Liczba

-12

będzie miała formę

11110011

Wartość ujemną wylicza się przez odjęcie modułu liczby od 2

n

-1

-12 =

1 1 1 1 1 1 1 1

- 0 0 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 0 0 1 1

Liczba 0 ma także dwie reprezentacje: dodatnią – 00000000

i ujemną - 11111111

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

43

Zapis dwójkowy w kodzie U 2

Zapis dwójkowy w kodzie U 2

W kodzie uzupełnienia do 2 (ang. 2’s complement) liczby dodatnie

reprezentowane są jak w kodzie binarnym pod warunkiem, że najbardziej

znaczący bit ma wartość 0. Liczba ujemna X w kodzie U2 reprezentowana

takim samym słowem jak liczba X+1 w kodzie U1.

Uzupełnieniem liczby N w kodzie U2 jest liczba C:

C

U2

= 2

n

– N =

(2

n

– 1) - N

+1 = C

U1

+ 1

Za pomocą n-bitowego słowa (uwzględniając bit znaku) można przedstawić

liczby z zakresu:

-2

n-1

≤ L(A) ≤ +(2

n-1

-1)

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

44

Zapis dwójkowy w kodzie U 2

Zapis dwójkowy w kodzie U 2

Np. za pomocą 8-bitowego słowa (1 bajtu) można przedstawiać liczby od -128

do 127.

Liczba

12

będzie miała formę

00001100

Liczba

-12

będzie miała formę

11110100

Wartość ujemną wylicza się przez odjęcie modułu liczby od liczby 2

n

-12 =

1 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 1 1 0 0

1 1 1 1 0 1 0 0

Liczba 0 ma tylko jedną reprezentację: 00000000

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

45

Reprezentacja liczb w różnych

zapisach

Reprezentacja liczb w różnych

zapisach

Liczba

dziesiętna

Liczba

heksadecymalna

ZM

U1

U2

-128

80

-

-

1000 0000

-127

81

1111 1111

1000 0000

1000 0001

-64

C0

1100 0000

1101 11111

1100 0000

-16

F0

1001 0000

1110 1111

1111 0000

-2

FE

1000 0010

1111 1101

1111 1110

-1

FF

1000 0001

1111 1110

1111 1111

0

0

0000 0000

1000 0000

0000 0000

1111 1111

0000 0000

1

1

0000 0001

0000 0001

0000 0001

127

7F

0111 1111

0111 1111

0111 1111

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

46

Dodawanie

liczb binarnych

ze znakiem

Dodawanie

liczb binarnych

ze znakiem

Cyfrowy zapis informacji

Cyfrowy zapis informacji

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

47

Dodawanie liczb w kodzie ZM

Dodawanie liczb w kodzie ZM

Liczby A i B są dodatnie

Liczba A>0 a liczba B<0

Liczba A<0 a liczba B>0

Liczby A i B są ujemne

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

48

Dodawanie liczb w kodzie U1

Dodawanie liczb w kodzie U1

Liczby A i B są dodatnie

Liczba A>0 a liczba B<0

Liczba A<0 a liczba B>0

Liczby A i B są ujemne

3 października 2012

Wojciech Kucewicz

49

Dodawanie liczb w kodzie U2

Dodawanie liczb w kodzie U2

Liczby A i B są dodatnie

Liczba A>0 a liczba B<0

Liczba A<0 a liczba B>0

Liczby A i B są ujemne