X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A
KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole – Krynica
2002
Elż bieta URBAŃ SKA-GALEWSKA
1
ANALIZA TOLERANCJI WYMIAROWYCH PRZEGUBOWEGO
POŁ Ą CZENIA BELKI Z PODCIĄ GIEM
1. Wprowadzenie
Wszystkie elementy wysyłkowe konstrukcji stalowej wykonywane są w wytwórniach
z okreś loną dokładnoś cią , wynikają cą z odpowiednich przepisów [1]. Te same przepisy
regulują wartoś ci dopuszczalnych odchyłek montaż owych. W efekcie jakoś ć i sprawnoś ć
montaż u elementów wysyłkowych mocowanych do ustawionej wcześ niej konstrukcji jest
uzależ niona od sumy dopuszczalnych odchyłek wykonawczych i montaż owych. W referacie
przeprowadzono analizę tolerancji typowego rozwią zania konstrukcyjnego: belki walcowa-
nej połączonej obustronnie przegubowo ze spawanymi z blach podcią gami. Celem analizy
jest wykazanie rozbież noś ci w aktualnych przepisach normowych jak również przedsta-
wienie analizy tolerancji jako narzędzia umoż liwiają cego poprawę jakoś ci montaż u bez
zwiększania kosztów wykonawstwa.
2. Analiza tolerancji wymiarowych
2.1. Sformułowanie problemu
Na rys. 1. przedstawiono typowy przypadek montaż u belki walcowanej do wcześ niej
ustawionych podcią gów blachownicowych. Duż ymi literami oznaczono wszystkie,
uwzględnione w poniż szej analizie wymiary. W celu uproszczenia analizy, przyjęto
przypadek połączenia na dwie ś ruby. Poprawny przebieg montaż u wymaga, aby rozstaw
otworów B w montowanej belce był równy odległoś ci pomiędzy otworami w ż ebrach
są siednich podcią gów P. Na dokładnoś ć rozstawu osiowego otworów B w belce walcowanej
wpływają tylko dwie operacje technologiczne: trasowanie oraz wiercenie otworów.
Uzyskana dokładnoś ć wymiaru P zależ y od bardzo wielu czynników zwią zanych zarówno
z dokładnoś cią wykonania samych podcią gów jak i dokładnoś cią ich montaż u.
Z uwagi na przestrzenny charakter zadania, a takż e moż liwoś ć wystą pienia,
dopuszczalnego z punktu widzenia przepisów, pionowego przesunięcia są siednich
podcią gów względem siebie (wymiar U na rys. 1), miarą jakoś ci całego połączenia jest
tolerancja kształtu. W analizowanym przypadku tolerancję kształtu okreś la tolerancja
1
Dr inż ., Wydział Inż ynierii Lą dowej Politechniki Gdańskiej
248
odległoś ci pomiędzy górnym otworem lewego podcią gu, oznaczonym symbolem „I” a
dolnym otworem w prawym podcią gu, oznaczonym symbolem „II”. Odległoś ć między tymi
otworami okreś la zależ noś ć :
2
2
H
P
C
P
+
=
(1)
gdzie:
-
P - osiowy rozstaw otworów montaż owych w podcią gach (rys.1),
-
H – składowa pionowa odległoś ci pomiędzy otworami „I” i „II”.
Analogiczną odległoś ć pomiędzy otworem I’ i II’ w montowanej belce okreś la wymiar C
B
opisany zależ noś cią :
2
2
R
B
C
B
+
=
(2)
gdzie:
-
R - osiowy, pionowy rozstaw skrajnych otworów w belce (rys.1),
-
B - osiowy rozstaw grup otworów na końcach belki.
Rys. 1. Analizowane ogniwa łańcucha wymiarowego połączenia belki z podcią gami
(opis oznaczeń w tekś cie)
Wymiar B, z uwagi na dokładnoś ć montaż u, powinien być wymiarem o okreś lonych
tolerancjach. Przy założ eniu, ż e odległoś ć N grupy otworów od czoła belki jest takż e
wymiarem tolerowanym, całkowita długoś ć belki Z będzie wymiarem wynikowym, czyli
ogniwem zamykają cym cią g wymiarowy.
2
1
2
1
2
1
2
n
n
b
b
z
z
N
B
Z
+
=
(3)
249
ską d dla odchyłek symetrycznych otrzymamy:
(
)
n
b
T
Z
2
2
+
=
(4)
gdzie tolerancja wymiaru B jest wymiarem składowym i wynosi T
B
=2b.
Przyjęcie założ enia, ż e wymiar B jest wymiarem wynikowym, a wymiarami tolerowanymi są
całkowita długoś ć belki Z oraz odległoś ć N grup otworów od czoła belki, jest założ eniem
błędnym, gdyż zwiększa pole tolerancji T
B
, tzn. zmniejsza dokładnoś ć osiowego rozstawu
otworów w belce, a co za tym idzie prawdopodobieństwo bezkolizyjnego montaż u, co
wykazano poniż ej. Jeż eli zapiszemy, ż e:
(
)
,
2
2
2
2
1
2
1
2
1
n
z
T
N
Z
B
B
n
n
z
z
b
b
+
=
-
=
(5)
to otrzymana w tym wypadku wartoś ć tolerancji T
B
jest sumą trzech parametrów a nie
jednego jak w pierwszym przypadku (wszystkie parametry są wielkoś ciami tego samego
rzędu).
Nominalnie równe sobie wymiary C
P
i C
B
obarczone są , z uwagi na technologię
wytwarzania, róż nymi tolerancjami T
CP
i T
CB
. Tylko i wyłącznie przeprowadzenie analizy
tolerancji odpowiednich łańcuchów wymiarowych moż e potwierdzić (lub nie) moż liwoś ć
przeprowadzenia bezkolizyjnego montaż u.
2.2. Analiza tolerancji położ
enia osi otworó w montaż
owych
Dla wymiaru P, który jest ogniwem zamykają cym poziomy łańcuch wymiarowy (rys. 1),
moż na zapisać następują cą zależ noś ć :
2
1
2
1
2
1
2
1
2
g
g
a
a
w
w
p
p
G
A
W
P
-
-
=
(6)
gdzie: p
2
, w
2
, a
2
, g
2
– odchyłki górne wymiaru
p
1
, w
1
, a
1
,g
1
– odchyłki dolne wymiaru
Zgodnie z zasadami obliczania łańcuchów wymiarowych [2], odchyłki górna p
2
i dolna p
1
wymiaru P wynoszą odpowiednio:
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
g
a
w
p
g
a
w
p
-
-
=
-
-
=
(7)
Przy założ eniu, ż e w praktyce analizowane wymiary są tolerowane symetrycznie, tzn., ż e
p
2
=-p
1
, w
2
=-w
1
, itd., moż emy zapisać równanie tolerancji wymiaru P w następują cej postaci:
(
)
g
a
w
T
p
+
+
=
2
2
(8)
Wymiar H okreś lają cy składową pionową odległoś ci między otworami „I” i „II” w ż ebrach
podcią gów (rys.1) okreś la następują ca zależ noś ć :
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
e
e
L
f
f
L
k
k
P
e
e
P
f
f
P
u
u
h
h
E
F
K
E
F
U
H
-
-
+
+
+
=
(9)
Ogniwa łańcucha wymiarowego o wymiarach nominalnych E i F oznaczone indeksem
„ P”
dotyczą prawego podcią gu i są ogniwami zwiększają cymi, gdyż ich zwiększenie
powoduje zwiększenie wymiaru ogniwa zamykają cego H, przy niezmienionych
250
wymiarach pozostałych ogniw łańcucha. Wymiary oznaczone indeksem
„ L”
dotyczą
lewego podcią gu i są ogniwami zmniejszają cymi, gdyż ich zwiększenie powoduje
zmniejszenie ogniwa
zamykają cego H przy niezmienionych wymiarach pozostałych
ogniw łańcucha. Tak więc, pomimo identycznych wartoś ci nominalnych wymiarów oraz
identycznych wartoś ci odchyłek dopuszczalnych, tychż e ogniw łańcucha nie moż na
zredukować , ponieważ pełnią one odmienną rolę w równaniu łańcucha wymiarowego.
Po uwzględnieniu symetrii odchyłek, wartoś ci odchyłki górnej h
2
i dolnej h
1
wynoszą
odpowiednio:
(
)
)}
(
2
{
,
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
e
f
d
u
e
f
k
e
f
u
h
e
f
d
u
e
f
k
e
f
u
h
+
+
+
-
=
-
-
+
+
+
=
+
+
+
=
-
-
+
+
+
=
(10)
Stą d, dla odchyłek symetrycznych, tolerancja T
H
wynosi:
(
)
{
}
e
f
k
u
T
H
+
+
+
=
2
2
(11)
Analiza wyprowadzonych zależ noś ci na wartoś ci tolerancji T
P
i T
H
wyraźnie wskazuje
na róż ną wagę poszczególnych ogniw w łańcuchu wymiarowym. I tak wartoś ć
dopuszczalnej odchyłki
±
a odległoś ci grupy otworów A od krawędzi ż ebra w podcią gu
ma dwa razy większy wpływ na wartoś ć tolerancji ogniwa wynikowego niż pozostałe
odchyłki. Dopuszczalna odchyłka
±
f gruboś ci pasa podcią gu F oraz dopuszczalna
odchyłka
±
e odległoś ci skrajnego otworu od górnej krawędzi ż ebra E mają dwa razy
większy wpływ na wartoś ć tolerancji T
H
niż pozostałe ogniwa łańcucha wymiarowego.
Należ y zaznaczyć , ż e wartoś ć tolerancji T
H
będzie wzrastała wraz ze wzrostem liczby
ś rub w połączeniu. Dla liczby ś rub n >2, wartoś ć K w zależ noś ci (9) należ y pomnoż yć
przez liczbę (n-1).
Tolerancję wymiaru C
P
, dla zamiennoś ci całkowitej, wyznacza się ze wzoru (1)
wykorzystują c zależ noś ci wyprowadzone w [3], ską d:
H
P
C
T
H
P
H
T
H
P
P
T
P
2
2
2
2
+
+
+
=
(12)
Z uwagi na występują ce w praktyce dla tego typu połączeń, proporcje wymiarów H i P,
moż emy przyją ć , ż e:
07
,
0
1
2
2
2
2
£
+
@
+
H
P
H
H
P
P
(13)
Po podstawieniu (13) do (12) otrzymamy:
H
P
C
T
T
T
P
×
+
=
07
,
0
(14)
Tolerancja wymiaru C
P
, dla zamiennoś ci częś ciowej (99,37%), zgodnie z [3] wynosi:
2
2
2
2
2
2
2
2
H
P
C
T
H
P
H
T
H
P
P
T
P
+
+
+
=
(15)
251
Analogicznie, z uwagi na proporcje wymiarów P i H, moż na przyją ć , ż e:
0
1
2
2
2
2
2
2
@
+
@
+
H
P
H
H
P
P
(16)
Po podstawieniu powyż szych uproszczeń do (15), wzór na tolerancję wymiaru C
P
dla
zamiennoś ci częś ciowej przyjmie postać :
P
C
T
T
P
=
(17)
Aby sprawdzić moż liwoś ć przeprowadzenia montaż u należ y, na podstawie znajomoś ci
wymiaru C
B
, wyznaczyć jego tolerancję T
CB
. Tolerancję T
CB
, dla zamiennoś ci całkowitej,
analogicznie jak poprzednio, wyznacza się z równania okreś lają cego C
B
(2), wykorzystują c
zależ noś ci wyprowadzone w [3].
R
B
C
T
T
T
B
×
+
=
07
,
0
(18)
Wartoś ć tolerancji T
CB
, dla zamiennoś ci częś ciowej, zgodnie z (15-17)wynosi:
B
C
T
T
B
=
(19)
2.3. Analiza tolerancji połączenia belki z podciągiem.
O moż liwoś ci przeprowadzenia montaż u decyduje względne położ enie pól tolerancji oraz
wartoś ć luzu pomiędzy ś rubą a otworem. Na rys. 2. przedstawiono dwa skrajne przypadki
usytuowania pól tolerancji względem siebie:
-
Maksymalna odległoś ć pomiędzy otworami w podcią gach P
max
przy najmniejszym
rozstawie otworów w belce B
min
(rys. 2a),
-
Minimalna odległoś ć pomiędzy otworami w podcią gach P
min
przy maksymalnym
rozstawie otworów w belce B
max
(rys. 2b).
Przeprowadzenie montaż u jest moż liwe wtedy, gdy:
(
) (
)
(
) (
)
max
min
max
min
min
max
min
max
min
min
2
2
M
D
B
D
P
oraz
M
D
P
D
B
³
-
-
+
³
-
-
+
(20)
gdzie: D
min
– minimalna wartoś ć ś rednicy otworu na ś rubę
M
max
– maksymalna wartoś ć ś rednicy trzpienia ś ruby
Obydwa warunki prowadzą do następują cej zależ noś ci:
max
min
4
M
T
T
D
P
B
³
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
(21)
Jest to warunek konieczny do przeprowadzenia poprawnego montaż u belki.
252
Rys. 2. Położ enie pól tolerancji osiowego rozstawu otworów montaż owych
w podcią gach i w belce
3. Przykład liczbowy
Przykładowe obliczenia wykonano dla podcią gów ustawionych w odległoś ci W = 6 m.
Zgodnie z [1] okreś lono liczbowe wartoś ci odchyłek dopuszczalnych poszczególnych
wymiarów. I tak odchyłka dopuszczalna odległoś ci pomiędzy są siednimi belkami W (rys.1),
mierzonej na odpowiadają cych sobie końcach dźwigarów, wynosi w =
±
10 mm, a odległoś ci
A grupy otworów od krawędzi blachy a =
±
2 mm. Dopuszczalna odchyłka odległoś ci E
skrajnego otworu od krawędzi ż ebra wynosi e =
±
2 mm, a odchyłka rozstawu (K,R) osi
otworów k = r =
±
2 mm. Dopuszczalna odchyłka wymiaru B w belce walcowanej wynosi
b =
±
3 mm. Dopuszczalne odchyłki gruboś ci blach ś rodnika i pasów podcią gu są
uzależ nione od klasy tolerancji. Norma [4] okreś la 4 klasy tolerancji: A, B, C i D. Dla klasy
D, dla blach ś rodnika o gruboś ci 8mm
£
G < 15mm odchyłka g =
±
0,85mm, a dla blach
pasów o gruboś ci 15mm
£
F < 25mm odchyłka f =
±
0,95mm. Normy [1,6] dopuszczają
przesunięcie poziomów są siednich belek (mierzone na odpowiadają cych sobie końcach
dźwigarów) o wartoś ci u
±
10 mm. Po podstawieniu powyż szych wartoś ci do odpowiednich
wzorów otrzymamy następują ce wartoś ci tolerancji dla zamiennoś ci całkowitej:
253
- dla zmontowanej konstrukcji podcią gów:
(
)
(
)
[
]
mm
T
mm
T
mm
T
P
C
H
P
2
,
32
8
,
35
07
,
0
7
,
29
8
,
35
2
95
,
0
2
2
10
2
7
,
29
85
,
0
2
2
10
2
=
×
+
=
=
+
+
+
=
=
+
×
+
=
(22)
-dla belki stropowej:
mm
T
mm
T
mm
T
B
C
R
B
3
,
6
4
07
,
0
6
4
,
6
=
×
+
=
=
=
(23)
Przy założ eniu zamiennoś ci częś ciowej (99,73%) otrzymamy:
mm
T
T
mm
T
T
B
C
P
C
B
P
6
30
=
=
=
=
(24)
Przyjęto, ż e połączenie belki z podcią giem jest wykonane na ś ruby M16, a nominalna
ś rednica otworu D = 18mm. Dopuszczalna odchyłka wykonania otworu wynosi
d = +0,5mm [1]. Trzpień ś ruby, niezależ nie od klasy tolerancji, zawsze jest tolerowany
w głąb materiału, tzn., ż e M
max
= M
Wobec powyż szego D
min
= D = 18 mm, a M
max
= 16mm. Z warunku (21) otrzymano:
mm
M
mm
16
9
4
6
30
18
max
=
<
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
(25)
Z uwagi na niespełniony warunek (21) powtórzono obliczenia dla otworu owalnego
krótkiego, dla którego dłuż sza ś rednica otworu wynosi D
ov
= M + 4
D
= 24 mm (gdzie
D
= 2 mm). Otrzymano:
mm
M
16
15
max
=
<
(26)
Warunek (21) jest spełniony dopiero dla owalu długiego, o dłuż szej ś rednicy równej:
D
ov
= 2,5(M+
D
) = 2,5(16+2) = 45 mm.
4. Wnioski
Przeprowadzona powyż ej analiza pozwala na wycią gnięcie następują cych wniosków:
- istnieje okreś lone prawdopodobieństwo, iż montaż u belki nie da się przeprowadzić ,
pomimo, ż e konstrukcja jest wykonana zgodnie z obowią zują cymi zaleceniami
normowymi,
- wpływ odchyłek dopuszczalnych wymiarów pionowych na wartoś ć tolerancji
analizowanych wymiarów C
B
lub C
P
jest pomijalny z uwagi na proporcje wymiarów,
- z całkowicie wystarczają cą dokładnoś cią moż na ograniczyć się do uwzględniania wartoś ci
odchyłek wymiarów poziomych oraz do analizy w zakresie zamiennoś ci częś ciowej,
- stosowanie narzędzia projektowego w postaci analizy tolerancji pozwala na
wcześ niejsze wykrycie połączeń, których montaż moż e wymagać dodatkowych,
nieprzewidzianych operacji technologicznych jak np. rozwiercanie otworów na placu
budowy a takż e na przyjęcie odpowiednich rozwią zań konstrukcyjnych na etapie
projektowania obiektu.
254
Wartoś ci dopuszczalnych odchyłek wyszczególnione w [1] nie są uzależ nione od wagi
wymiaru w łańcuchu wymiarowym jak również w wielu przypadkach nie zależ ą od wartoś ci
wymiarów, których dotyczą . Wprowadzenie klas tolerancji do norm dotyczą cych wykonania
konstrukcji stalowych pozwoliłoby na okreś lanie dopuszczalnych odchyłek w zależ noś ci od
potrzeb. Klasy tolerancji wymieniane w [4] i [6] nie są w ż aden sposób powią zane
z procesem wytwarzania konstrukcji stalowych. Stosowanie analizy tolerancji w powią zaniu
z analizą kosztów produkcji powinno stanowić podstawę do przyjmowania odpowiedniej
klasy tolerancji.
Literatura
[1] PN-B-06200:1997. Konstrukcje stalowe budowlane. Warunki wykonania i odbioru.
Wymagania podstawowe.
[2] JEZIERSKI J., Analiza tolerancji i niedokładności pomiarów w budowie maszyn. WNT,
Warszawa 1994.
[3] URBAŃ SKA-GALEWSKA E., Analiza tolerancji w łańcuchach budowlanych
konstrukcji stalowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Gdań skiej, Nr 585, Budownictwo
Lą dowe, Nr 56,Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2001.
[4] PN-EN 10029: 1999. Blachy stalowe walcowane na gorą co o gruboś ci 3mm i więcej.
Tolerancje wymiarów, kształtu i masy.
[5] ENV 1090 1: 1996. Execution of steel structures. Part 1. General rules for buildings.
[6] PN-EN ISO 13920: 1996. Spawalnictwo. Tolerancje ogólne dotyczą ce konstrukcji
spawanych. Wymiary liniowe i ką ty. Kształt i położ enie.
TOLERANCE ANALYSIS OF BEAM
TO GIRDER PINNED CONNECTION
Summary
Dimensional deviations as inevitable part of fabrication, manufacturing and erection process
influence the quality of the newly build structures. Dimensional chains of the typical beam to
girder connection for shear only are described in the paper. Tolerance analysis of the
assembly holes spacing has been done. Two cases of the matching of the assembly holes in
beam to holes in girders are discussed. Worked example of the tolerance analysis is
presented. There is conclusion, that tolerance analysis as the design tool can improve
erection quality without cost increase.