Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (3X
T
· B)
T
= A − 2X, gdzie
A =
"
1 2
0 2
#
,
B
T
=
"
1 1
1 0
#
2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika
i sprawdzić, czy
−1
1 −1
2
1 −2
2 −3
2
1
3 −1
−1
2
1
1
= 8
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
x − y + z − t = 0
x + 3y − z + t = 1
x − 5y + 3z − t = λ
Wyznaczyć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 4, z których
jedna jest rzędu drugiego a druga rzędu trzeciego.
4. [4p.] Dana jest prosta l o równaniu 2(x − 1) = 3(y + 2) = 6z oraz punkt P (1, 2, 0).
Znaleźć:
a) symetryczne odbicie punktu P względem prostej l,
b) odległość punktu P od prostej l.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = ln(x
2
+ y
2
)
[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z
4
+ 16 = 0. Wyniki przedstawić w
postaci algebraicznej.
6. [4p.] Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a
F (s) =
s
3
− 2s
2
+ 4s + 8
s
4
+ 4s
3
+ 8s
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć kąt między wektorami ~a i ~b, jeśli wiadomo, że wektory
~
u = −~a + 4~b
i
~
v = 3~a + 2~b
s¸
a prostopadłe oraz |~a| = |~b| = 1.