KOD ZDAJ¥CEGO
MMA-P1A1P-021
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Arkusz I
Czas pracy 120 minut
Instrukcja dla zdaj¹cego
1.
Proszê sprawdziæ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 8 stron.
Ewentualny brak nale¿y zg³osiæ przewodnicz¹cemu zespo³u
nadzoruj¹cego egzamin.
2.
Rozwi¹zania i odpowiedzi nale¿y zapisaæ czytelnie w miejscu
na to przeznaczonym przy ka¿dym zadaniu.
3.
Proszê pisaæ tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisaæ
o³ówkiem.
4.
W rozwi¹zaniach zadañ trzeba przedstawiæ tok rozumowania
prowadz¹cy do ostatecznego wyniku.
5.
Nie wolno u¿ywaæ korektora.
6.
B³êdne zapisy trzeba wyranie przekreliæ.
7.
Brudnopis nie bêdzie oceniany.
8.
Obok ka¿dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów,
któr¹ mo¿na uzyskaæ za jego poprawne rozwi¹zanie.
9.
Podczas egzaminu mo¿na korzystaæ z tablic matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie mo¿na korzystaæ
z kalkulatora graficznego.
10.
Do ostatniej kartki arkusza do³¹czona jest karta odpowiedzi,
któr¹ wype³nia egzaminator.
¯yczymy powodzenia!
ARKUSZ I
MAJ
ROK 2002
Za rozwi¹zanie
wszystkich zadañ
mo¿na otrzymaæ
³¹cznie 40 punktów
Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy)
PESEL ZDAJ¥CEGO
Miejsce
na naklejkê
z kodem
(Wpisuje zdaj¹cy przed
rozpoczêciem pracy)
Zadanie 1. (3 pkt)
Dana jest prosta
l
o równaniu
2
2
3
−
=
x
y
oraz punkt
(
)
2
,
3
−
−
=
A
. Wykres funkcji liniowej
f
jest prostopad³y do prostej
l
, punkt A
nale¿y do wykresu funkcji f.
Wyznacz:
a) wzór funkcji f,
b) miejsce zerowe funkcji f.
Zadanie 2. (3 pkt)
Dany jest wektor
[
]
4
,
3
−
=
→
AB
oraz punkt
( )
2
,
1
−
=
A
.
Oblicz:
a)
wspó³rzêdne punktu B ,
b) wspó³rzêdne i d³ugoæ wektora
→
→
⋅
−
=
AB
v
2
.
2
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 3. (3 pkt)
W klasie licz¹cej 30 uczniów, dziewiêciu obejrza³o film pt. Nasz XXI wiek. Wychowawca
klasy otrzyma³ 4 bilety i zamierza wylosowaæ uczniów, których zaprosi na projekcjê tego
filmu. Oblicz prawdopodobieñstwo zdarzenia, ¿e wród czterech wylosowanych z tej klasy
uczniów nie ma ucznia, który ju¿ ten film ogl¹da³.
Zadanie 4. (5 pkt)
W pewnej szkole
redniej po pierwszym pó³roczu przeprowadzono test z matematyki.
Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu:
Ocena
1 2 3 4 5 6
Liczba uczniów
10 30 80 30 25 5
a)
Sporz¹d diagram s³upkowy przedstawiaj¹cy zestawienie wyników testu.
b)
Oblicz redni¹ arytmetyczn¹ uzyskanych ocen.
c)
Oblicz, ilu uczniów uzyska³o ocenê wy¿sz¹ od redniej arytmetycznej ocen.
Egzamin maturalny z matematyki
3
Arkusz I
Zadanie 5. (4 pkt)
Ania przeczyta³a ksi¹¿kê science-fiction w ci¹gu 13 dni, przy czym ka¿dego dnia czyta³a
o
tak¹ sam¹ liczbê stron wiêcej, ni¿ w dniu poprzednim. Ile stron mia³a ta ksi¹¿ka, je¿eli
wiadomo, ¿e w trzecim dniu Ania przeczyta³a 28 stron a w ostatnim 68?
Zadanie 6. (3 pkt)
Je¿eli x
1
= 2, x
2
= 3 i x
3
= –
1 s¹ miejscami zerowymi wielomianu
d
cx
bx
ax
x
W
+
+
+
=
2
3
)
(
,
gdzie
0
≠
a
oraz
2
)
4
(
=
W
, to wspó³czynnik
a
mo¿na wyznaczyæ postêpuj¹c w nastêpuj¹cy
sposób:
Wielomian
W
zapisujemy w postaci iloczynowej:
( ) (
)(
)(
)
1
3
2
+
−
−
=
x
x
x
a
x
W
i wykorzystuj¹c warunek
( )
2
4
=
W
otrzymujemy równanie:
(
)(
)(
)
1
4
3
4
2
4
2
+
−
−
=
a
,
st¹d
5
1
=
a
.
Postêpuj¹c analogicznie, wyznacz wspó³czynnik
a
wielomianu
( )
d
cx
bx
ax
x
W
+
+
+
=
2
3
,
wiedz¹c, ¿e jego miejsca zerowe to
2
1
−
=
x
,
1
2
=
x
,
2
3
=
x
oraz
( )
3
1
=
−
W
.
4
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
Zadanie 7. (4 pkt)
Planuj¹c czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczy³a pewn¹ kwotê na
wy¿ywienie. W pierwszym tygodniu wydano
%
30
zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o
60 z³otych mniej ni¿ w pierwszym, w trzecim po³owê reszty pieniêdzy. Na czwarty tydzieñ
zosta³o 270 z³otych. Oblicz kwotê, któr¹ rodzina Kowalskich przeznaczy³a na wy¿ywienie.
Zadanie 8. (5 pkt)
Funkcja kwadratowa
3
)
(
2
−
+
=
bx
ax
x
f
, gdzie
0
>
b
posiada dwa ró¿ne miejsca zerowe,
których iloczyn jest równy (
3
−
). Wiedz¹c, ¿e funkcja ta przyjmuje najmniejsz¹ wartoæ
równ¹ ( 4
−
), wyznacz:
a) wspó³czynniki
a
i
b
,
b) miejsca zerowe funkcji f.
Egzamin maturalny z matematyki
5
Arkusz I
Zadanie 9. (5 pkt)
Zaplanowano zalesiæ ugór w
kszta³cie trójk¹ta równoramiennego, którego d³ugoæ
najd³u¿szego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z k¹tów ma miarê
°
120
.W
szkó³ce lenej zamówiono sadzonki, w iloci pozwalaj¹cej obsadziæ obszar wielkoci
40 arów. Oblicz, czy zamówiona iloæ sadzonek jest wystarczaj¹ca do zalesienia ugoru.
Zadanie 10. (5 pkt)
Dane s¹ dwie bry³y: sto¿ek, w którym d³ugoæ promienia podstawy jest równa dm
4
i
wysokoæ ma d³ugoæ
dm
18
π
oraz ostros³up prawid³owy czworok¹tny, w którym krawêd
podstawy ma d³ugoæ
dm.
3
4
Wiedz¹c, ¿e objêtoci tych bry³ s¹ równe, wyznacz k¹t
nachylenia ciany bocznej ostros³upa do jego podstawy.
6
Egzamin maturalny z matematyki
Arkusz I
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA
ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO I - POZIOM PODSTAWOWY
Numer
czynnoci
Opis wykonywanej czynnoci
Liczba
punktów
Modelowy wynik etapu (czynnoci)
1.1
Podanie równania rodziny prostych
prostopad³ych do prostej l (za wyznaczenie
wspó³czynnika kierunkowego przyznajemy
1 p.).
1 p
b
x
y
+
−
=
3
2
1.2
Wyznaczenie wspó³czynnika
b
1 p
4
−
=
b
1.3
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji f.
1 p
6
0
−
=
x
2.1
Obliczenie wspó³rzêdnych punktu
B
1 p
(
)
2
,
2
−
=
B
2.2
Obliczenie wspó³rzêdnych wektora
→
v
1 p
[ ]
8
,
6
−
=
→
v
2.3
Obliczenie d³ugoci wektora
→
v
1 p
10
=
→
v
3.1
Obliczenie liczby wszystkich wyników
dowiadczenia polegaj¹cego na wylosowaniu
czterech uczniów klasy
1 p
=
Ω
4
30
3.2
Obliczenie liczby wyników sprzyjaj¹cych
zdarzeniu
A
polegaj¹cego na wylosowaniu
czterech uczniów, którzy nie ogl¹dali jeszcze
filmu
1 p
=
4
21
A
3.3
Obliczenie prawdopodobieñstwa zdarzenia
A
1 p
( )
87
19
=
A
P
4.1
Wybór i wyskalowanie osi
1 p
4.2
Sporz¹dzenie diagramu
1 p
4.3
Wyznaczenie liczby wszystkich uczniów
1 p
180
4.4
Wyznaczenie redniej.
1 p
3,25
4.5
Obliczenie liczby uczniów, którzy uzyskali
ocenê powy¿ej redniej
1 p
60
5.1
Zauwa¿enie, ¿e liczby stron przeczytanych
w
kolejnych dniach to wyrazy ci¹gu
arytmetycznego i przyjêcie oznaczeñ
1 p.
np.
1
a
- liczba stron przeczytanych w pierwszym
dniu,
r
-
ró¿nica liczby stron przeczytanych w
kolejnych dniach
5.2
U³o¿enie uk³adu równañ (1) pozwalaj¹cego
wyznaczyæ
1
a
i
r
.
1 p.
(1)
=
+
=
+
68
12
28
2
1
1
r
a
r
a
5.3
Rozwi¹zanie uk³adu równañ (1)
1 p
=
=
4
20
1
r
a
5.4
Obliczenie liczby stron ksi¹¿ki
1 p
572
6.1
Przedstawienie wielomianu
W
w
postaci
iloczynowej .
1 p
6.2.
Wykorzystanie warunku
( )
3
1
=
−
W
do
u³o¿enia równania (2).
1 p
(2)
(
)(
)(
)
2
1
1
1
2
1
3
−
−
−
−
+
−
=
a
6.3
Rozwi¹zanie równania (2)
1 p
2
1
=
a
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
1
2
Egzamin maturalny z matematyki – maj 2002
7.1 1
p
np.
x
- szukana kwota
x
3
,
0
- wydatki w pierwszym tygodniu
60
3
,
0
−
x
- wydatki w drugim tygodniu
7.2
Analiza zadania i przyjêcie oznaczeñ
1 p
(
)
[
]
60
3
,
0
3
,
0
2
1
−
+
−
x
x
x
- (lub
1
540
2
⋅
z³) wydatki w
trzecim tygodniu
7.3
U³o¿enie równania pozwalaj¹cego
wyznaczyæ szukan¹ kwotê.
1 p
(
)
[
]
x
x
x
x
x
x
=
+
−
+
−
+
−
+
270
60
3
,
0
3
,
0
2
1
60
3
,
0
3
,
0
7.4
Rozwi¹zanie równania i odpowied
1 p
1200
=
x
z³
8.1
Zapisanie warunku pozwalaj¹cego
wyznaczyæ
a
1 p
3
3
−
=
−
a
8.2
Zapisanie warunku pozwalaj¹cego
wyznaczyæ
b
1 p
4
4
−
=
∆
−
a
8.3
Wyznaczenie
a
1 p
1
=
a
8.4
Wyznaczenie
b
1 p
2
=
b
8.5
Obliczenie miejsc zerowych funkcji
f
.
1 p
3
1
−
=
x
,
1
2
=
x
9.1
Wyznaczenie d³ugoci odcinków
potrzebnych do obliczenia pola dzia³ki na
planie.
1 p
9.2
Obliczenie pola dzia³ki na planie
1 p
3
12
=
P
P
cm
2
9.3
Obliczenie pola dzia³ki w rzeczywistoci
1 p
6
27 10
3
P
=
⋅
cm
2
9.4
Zamiana jednostek
1 p np.
3
27
=
P
a
9.5
Porównanie 40 arów z polem dzia³ki
i
stwierdzenie, ¿e iloæ sadzonek jest
niewy
starczaj¹ca.
1 p
40
3
27
>
10.1
Obliczenie objêtoci sto¿ka
1 p
96
=
V
dm
3
10.2
Obliczenie pola powierzchni podstawy
ostros³upa
1 p
48
=
P
dm
2
10.3
Obliczenie d³ugoci wysokoci ostros³upa
1 p
6
=
H
dm
10.4
Wyznaczenie jednej z funkcji
trygonometrycznych k¹ta nachylenia
ciany bocznej ostros³upa do jego
podstawy
1 p
3
tg
=
α
10.5
Wyznaczenie k¹ta nachylenia ciany
bocznej ostros³upa do jego podstawy
1 p
°
=
60
α