Przykład 5.6. Układ tarczowo-prętowy
Jednorodna płyta prostopadłościenna o ciężarze G spoczywa na układzie 6 prętów połączonych przegubowo. Obliczyć siły w prętach.
Przyjęto: S = G = P
Zakładamy, że w prętach występują siły ściskające, tzn. pręty oddziaływują na płytę siłami
"do płyty". Równowaga pręta jest spełniona tożsamościowo. Rozkładamy siły S1, S3 i S4 na składowe odpowiadające osiom x, y i z.
2 a
2
a
1
S = ,
0
S = − S
= − S
,
S = S
= S
1 x
1 y
1
5
1
a
5
1 z
1
5
1
a
5
2 a
2
a
1
S = − S
= − S
,
S = ,
0
S = S
= S
3 x
3
5
3
a
5
3 y
3 z
3
5
3
a
5
2 a
2
a
1
S = − S
= − S
,
S
= ,
0
S = S
= S
4 x
4
5
4
a
5
4 y
4 z
4
5
4
a
5
Badamy równowagę płyty. Nie znamy sześciu sił w prętach podpierających. Dla przedstawionej na schemacie płyty można zapisać sześć warunków równowagi. Zatem układ jest statycznie wyznaczalny. Równania równowagi są postaci
∑ P = ,0
P
P
ix
∑ = ,0
iy
∑ = 0
iz
∑ M = ,0
M
M
ix
∑
= ,
0
iy
∑
= 0
iz
Kolejność równań jest dowolna. Zatem zapiszemy je tak, aby były one z jedną niewiadomą (jeśli jest to możliwe). Pamiętamy przy tym, że moment siły względem osi jest równy zeru, jeśli wektor siły jest równoległy do osi, linia działania siły przecina się z osią.
∑
2
5
P = 0 S − S
= 0 → S = S
iy
1
5
1
2
∑
3
M
= 0 S ⋅ 2 a − P ⋅ 2 a − Ga = 0 → S = S
iy 1
2
2
2
∑
2
M
= 0 S
⋅ 2 a = 0 → S = 0
iz 1
3
5
3
∑
2
2
P = 0 − S
− S
= 0 → S = 0
ix
4
5
3
5
4
∑
2
2
M = 0 − S ⋅ 1
.
1 ⋅ a − Ga + S
a + S ⋅ 2 a + S
a = 0 → S = 55
.
0
S
ix
1
5
5
3
5
5
∑
1
1
1
P = 0 S + S + S + S
+ S
+ S
− S − G = 0 → S = − 55
.
0
S
iz
2
5
6
1
5
3
5
4
5
6
Znak minus oznacza, że zwrot wektora siły S jest przeciwny do założonego.
6
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń korzystamy z warunku równowagi, z którego nie korzystaliśmy poprzednio
∑
2
2
M = 0 − S ⋅ 2 a + S
⋅ 2 a − S ⋅ 2 a + S
⋅ 2 a = 0 → 2 Pa + 0 − 2 Pa = 0
iz
3
5
1
3
5
2
Odp.
3
S = S
2
2
S = 0
4
S = 0
3
5
S = S
S = 55
.
0
S
5
S = 55
.
0
S
1
6
2
3