Warunki periodyczności Borna-Karmana:

Aby opisać kryształ o skończonej liczbie N atomów, musimy atomowi o indeksie N + 1 przypisać numer 1.

Można sobie wyobrazić, że gdy mamy jednowymiarowy kryształ, zamykamy go w „kryształ cykliczny”: Z kolei kryształ 2-wymiarowy: w torus (nie sposób sobie wyobrazić analogicznej operacji na krysztale 3-wymiarowym, ale dokonujemy tego w rachunkach)

Funkcja Blocha musi zatem spełniać warunek: i k ( x+ N a ) x

1 1

e

u ( x + N a ) = eik x x u ( x)

k

1 1

k

, (gdy rozpatrujemy jeden kierunek, np. x ) i k N

x

1 1

a

e

= 1, gdy k N a = 2π n n = ,

1

,

2

,

3 ..., N

x

1 1

1 ,

1

1

Wynika stąd, że wektor falowy musi być równy: 2π n 1

k

=

n

x

a N

1

1

Analogicznie dla pozostałych kierunków: 2π n

2π n

2

k

=

3

k

=

n

n

y

a N

z

a N

2

2

3

3

Wszystkich atomów mamy N = N ⋅ N ⋅ N

1

2

3

3

2π

2π

2π

8π

Objętość komórki elementarnej: V =

⋅

⋅

= L ⋅ L ⋅ L =

, gdzie V - objętość kryształu k

a N

a N

a N

1

2

3

V

1

1

2

2

3

3

1

V

1

Gęstość stanów w przestrzeni kryształu: ρ( k) =

=

→

, jeśli przyjmiemy jednostkową objętość 3

3

V

8

k

π

8π

1

Gdy uwzględnimy spin, gęstość stanów wzrośnie dwukrotnie: ρ( ) = V

k

→

3

3

4π

4π