Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

Założenie: że tworzą przedziały symetryczne czyli najlepsze (niedoprecyzowane zadanie moim zdaniem)





 X − m



.

1 P

< a = 8

,

0

→ a = ,128



1/





n







 Y − m



.

2 P

< b = 8

,

0

→ b = ,128



2 /





n





,

1 28

,

1 28 

1 m

. ∈  X −

; X +





n

n 



2 ⋅ ,

1 28

,

1 28 ⋅ 2 

2 m

. ∈  Y −

; Y +





n

n





2 ⋅ ,

1 28

,

1 28

,

1 28

2 ⋅ ,

1 28 



3 ⋅ ,

1 28 

P(rozłączne)= P Y +

< X −

l

u

b X +

< Y −

 = P X − Y >





n

n

n

n





n 

E( X − Y ) = 0



+ +

+ +







var(

...

...

1

4

1

1

3

X − Y )

X

X

Y

Y

= var X + var Y

1

n

1

n

− 2cov

;

 = + − 2

n

⋅1⋅ 2 =



n

n



n

n

 n 2 2



n

 ≅ }

N (0 )

1

,





3 ⋅ ,

1 28



ODP = 1 − P

X

<

≈ ,

0 03



3 





Zadanie 2

∑( X − X

i

) y

β

i

ˆ

ˆ

ˆ

=

,

= −

1

∑(

0

1

2

X − X

i

) β Y β X

X =

2

,

2 ∑ ( X

i − X )

= 10 +10 = 20

dla i ∈ ,

1

( ... 1

, 0)

EY

= β + β

1

( 0)

0

1

EY

= β + 3 β

(20)

0

1

2

var Y

= σ

1

( 0)

2

var Y

= 4 σ

(20)

1

1

ˆ

Eβ =

−10 EY

+10 EY

=

−10 β + β +10 β + 3 β = β

1

[

1

( 0)

(20) ]

[ ( 0 1) ( 0

1 )]

1

20

20

1

2

ˆ

σ

var β =

Y

+

Y

=

σ +

⋅ σ =

1

[10var

10

1

( 0)

(20) ]

1

var

[10 2 10 4 2]

400

400

8



2 

ˆ



σ 

β

N β

1 ≅



;

1





8 

1

ˆ

ˆ

Eβ = EY − XEβ =

10 β + β + 10 β + 3 β

− 2 β = β

0

1

( ( 0 1)

( 0

1 )

1

0

20

βˆ

var

= var

+

−

0

( Y ) X 2 βˆ

var

2 X

1

( βˆ

cov

, Y

1

)

 1

y +

+ y 

cov

∑( X − X

 =

−

− −

+

+ +

+ +

+

+ +

i

)

...

1

20

1

y ;

cov

i

( y ... y

y

...

y ; y

...

y

y

...

y

1

10

11

20

1

10

11

20 )

 20

20



400

1

=

[ 2

2

−10 σ +10 ⋅ 4 σ ] 3 2

=

σ

400

40

1

ˆ

σ





var β =

[ 2

3

1

1

3

13

10 σ + 40 σ

+ 4

− 4 ⋅

σ =  +

−

 σ =

σ

0

] 2

2

2

2

2

400

8

40

 8

2

10 

40



13



ˆ

β

N β ;

σ

0 ≅



2 

 0 40







P(





β − β

ˆ



z



β − β < z σ = P

<

=

→ z

=

→ z ≈

0

0

0

) ˆ0 0

40

40

0

9

,

0 5

0

9

,

1 6

1

,

1 2

0





13

13

13



σ





40



P(





 β − β



β − β < z σ = P

< z

 =

→ z

=

→ z ≈

1

1

1

) ˆ

ˆ

1

1

8

8

9

,

0 5

8

9

,

1 6

,

0 69

1

1

1



σ







odpowiedź (D) jest najlepszym przybliżeniem Zadanie 3

S − V

X =

S = X + Y →

2

S − V

S + V

> ,

0 S > V

> 0 → V > − S

V = Y − X

S + V

2

2

Y =

2

S+V<1

V<1-S

 1 

∆ : S ∈  ;

0

,

 V ∈ (− S; S)



2 

 1 

lu

b S ∈ 

1

, ,

 V ∈ (− S 1

, − S)

 2 

1

− 1

2

2 = 1 (

s, v) ∈ ∆

1

1

2

2

2

 s − v  1

3

f ( s, v) = 6



= ( s − v)

 2  2

2

 1 

s 

∈ 0; 

 2  s

s

3

3

3

3

3

3

3

f ( s)

= ∫





( s − v) dv =

sv −

v 2

= s 2 − s 2 + s 2 + s 2 = 2





3 s

− 2

 2

4



2

4

2

4

s

− s

 1 

s 

∈

1

;  −

 2  1 s 3

3

f ( s)

= ∫ ( s − v) dv = 3 s −

− 2

4

s

 1 

3

f  

dla obu

s

=

 2 

4

3 ( s −



v

1 

)

 1



 1 1 

2

f  v s =  =

= 

2

− v = 1− 2

v v ∈  − ; 



2 

3

 2



 2 2 

4



1 

0,5

 2

3 0,5

2

x

2 x

1

E V S =  = ∫ ( x − 2 x ) = 

−



= −



2 

−

2

3

6

0,5



 −0,5



1 

0,5

 3

4  0,5

2

2

3

x

x

1

1

1

1

1

E V S =  = ∫ x − 2 x = 

−



=

−

+

+

=



2 

−

3

2

24

32

24

32

12

0,5



 −0,5



1 

1

1

3 −1

2

1

var V S =  =

−

=

=

=



2 

12

36

36

36

18

Zadanie 4

P( C) − P( C ∩ B) > 0

P( B) − P( B ∩ C) > 0

P( B ∩ C) > 0

P( AC − B) P( A ∩ C) − P( A ∩ B ∩ C) P( A ∩

=

>

B) →

P( C) − P( C ∩ B) P( B)

P( A ∩ B)

→ 1. P( A ∩ C) − P( A ∩ B ∩ C) > ( P( C) − P( C ∩ B)) P( B)

Sprawdzamy (D)

P( A ∩ B

P( A ∩ B) +

) ( P( C) − P( C ∩ B)) P( A ∩ B) + P( A ∩ C) − P( A ∩ B ∩

1

L =

C) >

P( B)

=

P( B) + P( C) − P( B ∩ C) P( B) + P( C) − P( B ∩ C) P( A ∩ B) [ P( B) + P C

( ) − P C

(

∩ B)]

P( B)

P( A ∩ B

=

) = P( A B)

P( B) + P C

( ) − P C

( ∩ B)

P( B)

Zadanie 5

t

2

2

P( X < ) = ∫ x t

= t

θ 2

θ 2

0

θ > θ

2

1

2

X

∏ i χ ;0

max (

θ 2 )

2 n

θ 2 n

 θ 

χ

;

0

2

1

max (

θ 2 )

=  

→ x

max =

2Π X i



;

0

2 

χ

;

0

max (

θ 1 )

θ

χ max ( θ 1 )

STAT

θ 2 n

1

P x

> t = − P

< t = − n

t

=

0 ( max

) 1

(max

)

1

2

1

,

0

0

2 n

t

= 9

,

0

9

,

0

moc = P (max > t) = 1 − P (max < t) = 1 −

≥ 9

,

0

1

1

2



n

3 

 

 2 



n

9 

  ≥ 9

 4 

dla n=3 OK.

Zadanie 6

E X

X

E X

X X

X

P X

X

E X

X X

X P X

X

1 −

2 =

( 1 − 2 1 > 2) ( 1 > 2)+ ( 2 − 1 2 > 1) ( 2 > 1)=

1 1

1 

1

2

1

2

 3

2

1

=

y

x

x

x

x

2∫ ∫ ( y − x) dydx = 2∫

1

1

1

1

1



− xy = 2∫





− x −

+ 2

x = 2

−

+  = 

2

− +  =

2

2

2

6

2

2

6

2

2

3

0 x

0 

 x

0









0

1 1

1 1

E X

X

E X

X

( x

y) dxdy

x

2 xy

y dxdy

1 −

2

2

= ( 1 −

)2

2

= ∫ ∫ − 2

= ∫ ∫( 2 −

+ 2 )

=

0 0

0 0

1  3

1

1

1

x

 1





2

3 

= ∫

2

2 

− x y + xy

=

2

1

y

y

1

1

1

2

3

2

1





∫

− +

 − y + y  dy =  y −

+

 =

− + =

=

3

3

3

2

3

3

2

3

6

6

0 







0

0



0

1

1

3 − 2

1

var X − X

= − =

=

1

2

6

9

18

18

Zadanie 7

∞

∞

k

k

EZ

N = ∑ E( Z

N

N

= k)





P( N = k) =

1

2

−

∑

3 ∑

2

i

e

=





k =

k

1

k!

1

k =1

+  i=1 

∞

k

∞

k

= ∑ 1

( k + )

1 k 2

−2

3

e

= ∑ 3 2 −2

k

e

= 3 ⋅ 2 = 3

k

k

k

k =

1

2

!

2

!

2

1

+

k =1

E(

k

2

Z

E Z

N

k P N

k

E

iX

e

N )

∞

∞

= ∑ ( 2 N = ) ( = ) = ∑ 1

2

2

(∑ i)2

−2

k

k

k =

k

(

)

1

!

1

=1

+

2

2

(

)

1

9 (

)

1 (2

)

1

9

E(

k

∑

2

2

k k

k k

k

X i

var

iX

E

iX

i 9

3

k 2 ( k

2

)

1

i )

=

(∑ i)+ (∑ i)= ∑



+ 

+

+

+ 

 =

+

+

2

6

4

i=





1

E(

k

2

Z

k k

k

k

k

e

N )

∞

= ∑

1

 3

9



2

2

2

−

( + )

1 (2 + )

1 +

( +

2

)

1

=

2 



k

k

k = (

)

1

2

4

!

1

+





∞

k

k

= ∑ 3 ( 2

2 k + k )2

−2

9 2 2

−

e

+

2

k

e

= k +1 = n =

k

k

k = 2

!

4

!

1

∞

n−1

∞

k

∞

n

= ∑ 3 [2( n − 2)

1

+ n − ]2

−2

1

e

+ ∑ 9 2 2 −2

k

e

= 3 ∑( 2

2 n − 3 n + )2

−2

1

e

+ 9 (2 + 4) =

n

k

n

n= 2

!

4

!

4

!

4

2

k =1

n=2

= 3 [2(2 + 4) − 3⋅2 + − −2

e

]+ 9

1

⋅ = 3

6

( − −2

e

)+ 27

7

= 21 + 27 − 3 −2

e

=

4

4

4

2

4

2

4

21 + 54

−2

75

−2

=

− ,

0 75 e

=

− ,

0 75 e

4

4

75

−

−

2

75 36

−2

39

−2

−2

var Z

N =

− ,

0 75 e

− 9 =

− ,

0 75 e

=

− ,

0 75 e

= ,

9 75 − ,

0 75 e

4

4

4

Zadanie 8

L = 10

θ ∏ θ−1 10 10

X

2 θ

y

θ

x

y

i

∏ 2 θ−1

i

= 10 20

2

∏ θ−1

i

∏ 2 θ−1

i

ln L = 10 ln 2 + 20 ln θ + θ

( − )

1 ∑ ln x

( θ

2

)

1

ln y

i +

− ∑

i

∂ = 20 + ∑

20

ln x

2

ln y

T

θˆ

0

i +

∑

i =

→ = =

∂ θ

θ

− ∑ln x 2 ln y

i −

∑

i



t 

P(

−

1

− θ ln x

t

P X

e

x

θ

e

wykl

i <

) 



=

>

= ∫ θ

θ

−1 = 1− − t ≅





)

1

(





− tθ

e



t 

P(

−

1

− 2 θ ln y < t)





= P y > e

= ∫

2

2

θ

θ

−1

2 x

θ

= 1− − t

e

≅





wykl )

1

(





− t

2 θ

e

− θ∑ln X

θ

y

i − 2 ∑ ln

i ≅ Γ(20 )

1

;

20

 T



 20

 X ≅Γ(20 )

1

;



20 

a 1 19

t

P

> a = P

> a

=

= P X <

 = ∫

− x

x e

= x =

=

 θ



 X





a 

1 !

9

2

0

40

2

t

 ≅ χ (40)

a

19

}



−

= ∫ 1 t



40 

40

e 2 dt = P

9

,

0

51 8

, 05

7

,

0 72

20

 X

<

 =

→

=

→ a ≈

1 !

9 2



a 

a

0





Zadanie 9

1

4

2

p

1 =

, p 2 =

, p 3 = p, p 4 =

− p

15

15

3

cov( N

N , N

N

N

cov n

N

N , N

N

N

1 +

2

2 +

3 −

4 ) =

( − 3 − 4 2 + 3 − 4 ) =

= − cov( N , N

var N

cov N , N

cov N , N

cov N , N

var N

2

3 ) −

3 +

( 3 4 )− ( 2 4)− ( 3 4 )+

4 =

= var N

cov N , N

var N

cov N , N

4 −

( 2 4 )−

3 −

( 2 3) =

=

1

1

var N

var N

N

var N

var N

var N

var N

N

var N

var N

4 −

[ ( 2 + 4)−

2 −

4 ] −

3 −

[ ( 2 + 3)−

2 −

3 ] =

2

2

= 3

1

1

1

var N

var N

var N

var N

N

var N

N

4 +

2 −

3 −

( 2 + 4)−

( 2 + 3) =

2

2

2

2

 3  2



 1



4 11

1

1  14



 1

 1  4



 11



= n  − p 



+ p +

− p 1

( − p) − 

− p 



+ p − 

+ p 



− p =

 2  3



 3

 15 15

2

2  15



 15

 2 15



 15



1

1

3

44

1

1

7

7

1

1

22

2

11

1



= n + p − p −

2

p +

− p +

2

p −

−

p +

p +

2

p −

+

p −

p +

2

p

=





3

2

2

225

2

2

225

15

30

2

225

15

30

2



 2

2 

2 3

3

45

= n − p +

= 0 → p =

= =





 3

5 

5 2

5

75

Zadanie 10

9 2

S 9

2

≅ χ

)

9

(

2

σ

Z nie jest niezależne od X bo ∑ 2

X

i −

2

9 X

=

2

nS ,

n ∑

2

X i =

2

9 Sn +

2

9 X

S

2 z

l o

d

n ≅ X → ∑ X

X

i







2

2





2



 Z

1

 S 9 + X

1

 S

1

9



P

<

= P

<

= P

0

+1 <

=











2



 X

t 



X

t 

 X

t 

2



2

2 









S

S

t

X

9

1



9

1 −





t







= P

<

−1 = P

<

= P

>

=



2

2











 X

t



2

2

 X

t



 S

1 t

9

− 

 X ⋅3





σ





t





3



t

3

σ

3



=

t

P

>

 = P t 9

( )



>

→ ,

2 262 =

→ t ≈ ,

0 602 ≈ ,

0 632





2



S

1

2

− t 



1

2

− t 

1

2

− t

9



σ





σ

