Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
ZałoŜenie: Ŝe tworzą przedziały symetryczne czyli najlepsze (niedoprecyzowane zadanie moim zdaniem)
X − m
.
1 P
< a = 8
,
0
→ a = ,128
1/
n
Y − m
.
2 P
< b = 8
,
0
→ b = ,128
2 /
n
,
1 28
,
1 28
1 m
. ∈ X −
; X +
n
n
2 ⋅ ,
1 28
,
1 28 ⋅ 2
2 m
. ∈ Y −
; Y +
n
n
2 ⋅ ,
1 28
,
1 28
,
1 28
2 ⋅ ,
1 28
3 ⋅ ,
1 28
P(rozłączne)= P Y +
< X −
l
u
b X +
< Y −
= P X − Y >
n
n
n
n
n
E( X − Y ) = 0
+ +
+ +
var(
...
...
1
4
1
1
3
X − Y )
X
X
Y
Y
= var X + var Y
1
n
1
n
− 2cov
;
= + − 2
n
⋅1⋅ 2 =
n
n
n
n
n 2 2
n
≅ }
N (0 )
1
,
3 ⋅ ,
1 28
ODP = 1 − P
X
<
≈ ,
0 03
3
Zadanie 2
∑( X − X
i
) y
β
i
ˆ
ˆ
ˆ
=
,
= −
1
∑(
0
1
2
X − X
i
) β Y β X
X =
2
,
2 ∑ ( X
i − X )
= 10 +10 = 20
dla i ∈ ,
1
( ... 1
, 0)
EY
= β + β
1
( 0)
0
1
EY
= β + 3 β
(20)
0
1
2
var Y
= σ
1
( 0)
2
var Y
= 4 σ
(20)
1
1
ˆ
Eβ =
−10 EY
+10 EY
=
−10 β + β +10 β + 3 β = β
1
[
1
( 0)
(20) ]
[ ( 0 1) ( 0
1 )]
1
20
20
1
2
ˆ
σ
var β =
Y
+
Y
=
σ +
⋅ σ =
1
[10var
10
1
( 0)
(20) ]
1
var
[10 2 10 4 2]
400
400
8
2
ˆ
σ
β
N β
1 ≅
;
1
8
1
ˆ
ˆ
Eβ = EY − XEβ =
10 β + β + 10 β + 3 β
− 2 β = β
0
1
( ( 0 1)
( 0
1 )
1
0
20
βˆ
var
= var
+
−
0
( Y ) X 2 βˆ
var
2 X
1
( βˆ
cov
, Y
1
)
1
y +
+ y
cov
∑( X − X
=
−
− −
+
+ +
+ +
+
+ +
i
)
...
1
20
1
y ;
cov
i
( y ... y
y
...
y ; y
...
y
y
...
y
1
10
11
20
1
10
11
20 )
20
20
400
1
=
[ 2
2
−10 σ +10 ⋅ 4 σ ] 3 2
=
σ
400
40
1
ˆ
σ
var β =
[ 2
3
1
1
3
13
10 σ + 40 σ
+ 4
− 4 ⋅
σ = +
−
σ =
σ
0
] 2
2
2
2
2
400
8
40
8
2
10
40
13
ˆ
β
N β ;
σ
0 ≅
2
0 40
P(
β − β
ˆ
z
β − β < z σ = P
<
=
→ z
=
→ z ≈
0
0
0
) ˆ0 0
40
40
0
9
,
0 5
0
9
,
1 6
1
,
1 2
0
13
13
13
σ
40
P(
β − β
β − β < z σ = P
< z
=
→ z
=
→ z ≈
1
1
1
) ˆ
ˆ
1
1
8
8
9
,
0 5
8
9
,
1 6
,
0 69
1
1
1
σ
odpowiedź (D) jest najlepszym przybliŜeniem Zadanie 3
S − V
X =
S = X + Y →
2
S − V
S + V
> ,
0 S > V
> 0 → V > − S
V = Y − X
S + V
2
2
Y =
2
S+V<1
V<1-S
1
∆ : S ∈ ;
0
,
V ∈ (− S; S)
2
1
lu
b S ∈
1
, ,
V ∈ (− S 1
, − S)
2
1
− 1
2
2 = 1 (
s, v) ∈ ∆
1
1
2
2
2
s − v 1
3
f ( s, v) = 6
= ( s − v)
2 2
2
1
s
∈ 0;
2 s
s
3
3
3
3
3
3
3
f ( s)
= ∫
( s − v) dv =
sv −
v 2
= s 2 − s 2 + s 2 + s 2 = 2
3 s
− 2
2
4
2
4
2
4
s
− s
1
s
∈
1
; −
2 1 s 3
3
f ( s)
= ∫ ( s − v) dv = 3 s −
− 2
4
s
1
3
f
dla obu
s
=
2
4
3 ( s −
v
1
)
1
1 1
2
f v s = =
=
2
− v = 1− 2
v v ∈ − ;
2
3
2
2 2
4
1
0,5
2
3 0,5
2
x
2 x
1
E V S = = ∫ ( x − 2 x ) =
−
= −
2
−
2
3
6
0,5
−0,5
1
0,5
3
4 0,5
2
2
3
x
x
1
1
1
1
1
E V S = = ∫ x − 2 x =
−
=
−
+
+
=
2
−
3
2
24
32
24
32
12
0,5
−0,5
1
1
1
3 −1
2
1
var V S = =
−
=
=
=
2
12
36
36
36
18
Zadanie 4
P( C) − P( C ∩ B) > 0
P( B) − P( B ∩ C) > 0
P( B ∩ C) > 0
P( AC − B) P( A ∩ C) − P( A ∩ B ∩ C) P( A ∩
=
>
B) →
P( C) − P( C ∩ B) P( B)
P( A ∩ B)
→ 1. P( A ∩ C) − P( A ∩ B ∩ C) > ( P( C) − P( C ∩ B)) P( B)
Sprawdzamy (D)
P( A ∩ B
P( A ∩ B) +
) ( P( C) − P( C ∩ B)) P( A ∩ B) + P( A ∩ C) − P( A ∩ B ∩
1
L =
C) >
P( B)
=
P( B) + P( C) − P( B ∩ C) P( B) + P( C) − P( B ∩ C) P( A ∩ B) [ P( B) + P C
( ) − P C
(
∩ B)]
P( B)
P( A ∩ B
=
) = P( A B)
P( B) + P C
( ) − P C
( ∩ B)
P( B)
Zadanie 5
t
2
2
P( X < ) = ∫ x t
= t
θ 2
θ 2
0
θ > θ
2
1
2
X
∏ i χ ;0
max (
θ 2 )
2 n
θ 2 n
θ
χ
;
0
2
1
max (
θ 2 )
=
→ x
max =
2Π X i
;
0
2
χ
;
0
max (
θ 1 )
θ
χ max ( θ 1 )
STAT
θ 2 n
1
P x
> t = − P
< t = − n
t
=
0 ( max
) 1
(max
)
1
2
1
,
0
0
2 n
t
= 9
,
0
9
,
0
moc = P (max > t) = 1 − P (max < t) = 1 −
≥ 9
,
0
1
1
2
n
3
2
n
9
≥ 9
4
dla n=3 OK.
Zadanie 6
E X
X
E X
X X
X
P X
X
E X
X X
X P X
X
1 −
2 =
( 1 − 2 1 > 2) ( 1 > 2)+ ( 2 − 1 2 > 1) ( 2 > 1)=
1 1
1
1
2
1
2
3
2
1
=
y
x
x
x
x
2∫ ∫ ( y − x) dydx = 2∫
1
1
1
1
1
− xy = 2∫
− x −
+ 2
x = 2
−
+ =
2
− + =
2
2
2
6
2
2
6
2
2
3
0 x
0
x
0
0
1 1
1 1
E X
X
E X
X
( x
y) dxdy
x
2 xy
y dxdy
1 −
2
2
= ( 1 −
)2
2
= ∫ ∫ − 2
= ∫ ∫( 2 −
+ 2 )
=
0 0
0 0
1 3
1
1
1
x
1
2
3
= ∫
2
2
− x y + xy
=
2
1
y
y
1
1
1
2
3
2
1
∫
− +
− y + y dy = y −
+
=
− + =
=
3
3
3
2
3
3
2
3
6
6
0
0
0
0
1
1
3 − 2
1
var X − X
= − =
=
1
2
6
9
18
18
Zadanie 7
∞
∞
k
k
EZ
N = ∑ E( Z
N
N
= k)
P( N = k) =
1
2
−
∑
3 ∑
2
i
e
=
k =
k
1
k!
1
k =1
+ i=1
∞
k
∞
k
= ∑ 1
( k + )
1 k 2
−2
3
e
= ∑ 3 2 −2
k
e
= 3 ⋅ 2 = 3
k
k
k
k =
1
2
!
2
!
2
1
+
k =1
E(
k
2
Z
E Z
N
k P N
k
E
iX
e
N )
∞
∞
= ∑ ( 2 N = ) ( = ) = ∑ 1
2
2
(∑ i)2
−2
k
k
k =
k
(
)
1
!
1
=1
+
2
2
(
)
1
9 (
)
1 (2
)
1
9
E(
k
∑
2
2
k k
k k
k
X i
var
iX
E
iX
i 9
3
k 2 ( k
2
)
1
i )
=
(∑ i)+ (∑ i)= ∑
+
+
+
+
=
+
+
2
6
4
i=
1
E(
k
2
Z
k k
k
k
k
e
N )
∞
= ∑
1
3
9
2
2
2
−
( + )
1 (2 + )
1 +
( +
2
)
1
=
2
k
k
k = (
)
1
2
4
!
1
+
∞
k
k
= ∑ 3 ( 2
2 k + k )2
−2
9 2 2
−
e
+
2
k
e
= k +1 = n =
k
k
k = 2
!
4
!
1
∞
n−1
∞
k
∞
n
= ∑ 3 [2( n − 2)
1
+ n − ]2
−2
1
e
+ ∑ 9 2 2 −2
k
e
= 3 ∑( 2
2 n − 3 n + )2
−2
1
e
+ 9 (2 + 4) =
n
k
n
n= 2
!
4
!
4
!
4
2
k =1
n=2
= 3 [2(2 + 4) − 3⋅2 + − −2
e
]+ 9
1
⋅ = 3
6
( − −2
e
)+ 27
7
= 21 + 27 − 3 −2
e
=
4
4
4
2
4
2
4
21 + 54
−2
75
−2
=
− ,
0 75 e
=
− ,
0 75 e
4
4
75
−
−
2
75 36
−2
39
−2
−2
var Z
N =
− ,
0 75 e
− 9 =
− ,
0 75 e
=
− ,
0 75 e
= ,
9 75 − ,
0 75 e
4
4
4
Zadanie 8
L = 10
θ ∏ θ−1 10 10
X
2 θ
y
θ
x
y
i
∏ 2 θ−1
i
= 10 20
2
∏ θ−1
i
∏ 2 θ−1
i
ln L = 10 ln 2 + 20 ln θ + θ
( − )
1 ∑ ln x
( θ
2
)
1
ln y
i +
− ∑
i
∂ = 20 + ∑
20
ln x
2
ln y
T
θˆ
0
i +
∑
i =
→ = =
∂ θ
θ
− ∑ln x 2 ln y
i −
∑
i
t
P(
−
1
− θ ln x
t
P X
e
x
θ
e
wykl
i <
)
=
>
= ∫ θ
θ
−1 = 1− − t ≅
)
1
(
− tθ
e
t
P(
−
1
− 2 θ ln y < t)
= P y > e
= ∫
2
2
θ
θ
−1
2 x
θ
= 1− − t
e
≅
wykl )
1
(
− t
2 θ
e
− θ∑ln X
θ
y
i − 2 ∑ ln
i ≅ Γ(20 )
1
;
20
T
20
X ≅Γ(20 )
1
;
20
a 1 19
t
P
> a = P
> a
=
= P X <
= ∫
− x
x e
= x =
=
θ
X
a
1 !
9
2
0
40
2
t
≅ χ (40)
a
19
}
−
= ∫ 1 t
40
40
e 2 dt = P
9
,
0
51 8
, 05
7
,
0 72
20
X
<
=
→
=
→ a ≈
1 !
9 2
a
a
0
Zadanie 9
1
4
2
p
1 =
, p 2 =
, p 3 = p, p 4 =
− p
15
15
3
cov( N
N , N
N
N
cov n
N
N , N
N
N
1 +
2
2 +
3 −
4 ) =
( − 3 − 4 2 + 3 − 4 ) =
= − cov( N , N
var N
cov N , N
cov N , N
cov N , N
var N
2
3 ) −
3 +
( 3 4 )− ( 2 4)− ( 3 4 )+
4 =
= var N
cov N , N
var N
cov N , N
4 −
( 2 4 )−
3 −
( 2 3) =
=
1
1
var N
var N
N
var N
var N
var N
var N
N
var N
var N
4 −
[ ( 2 + 4)−
2 −
4 ] −
3 −
[ ( 2 + 3)−
2 −
3 ] =
2
2
= 3
1
1
1
var N
var N
var N
var N
N
var N
N
4 +
2 −
3 −
( 2 + 4)−
( 2 + 3) =
2
2
2
2
3 2
1
4 11
1
1 14
1
1 4
11
= n − p
+ p +
− p 1
( − p) −
− p
+ p −
+ p
− p =
2 3
3
15 15
2
2 15
15
2 15
15
1
1
3
44
1
1
7
7
1
1
22
2
11
1
= n + p − p −
2
p +
− p +
2
p −
−
p +
p +
2
p −
+
p −
p +
2
p
=
3
2
2
225
2
2
225
15
30
2
225
15
30
2
2
2
2 3
3
45
= n − p +
= 0 → p =
= =
3
5
5 2
5
75
Zadanie 10
9 2
S 9
2
≅ χ
)
9
(
2
σ
Z nie jest niezaleŜne od X bo ∑ 2
X
i −
2
9 X
=
2
nS ,
n ∑
2
X i =
2
9 Sn +
2
9 X
S
2 z
l o
d
n ≅ X → ∑ X
X
i
2
2
2
Z
1
S 9 + X
1
S
1
9
P
<
= P
<
= P
0
+1 <
=
2
X
t
X
t
X
t
2
2
2
S
S
t
X
9
1
9
1 −
t
= P
<
−1 = P
<
= P
>
=
2
2
X
t
2
2
X
t
S
1 t
9
−
X ⋅3
σ
t
3
t
3
σ
3
=
t
P
>
= P t 9
( )
>
→ ,
2 262 =
→ t ≈ ,
0 602 ≈ ,
0 632
2
S
1
2
− t
1
2
− t
1
2
− t
9
σ
σ