PrzykÃladowe zadania z egzamin´
ow i zalicze´
n poprawkowych z algebry.
1. (3pkt.) Podaj wzór de Moivre’a. Zastosuj ten wzór do obliczenia ( − 1 + i)10.
2. (3pkt.) Podaj definicj¸e macierzy nieosobliwej. Czy iloczyn macierzy nieosobliwych tego samego stopnia jest macierz¸a nieosobliw¸a? Odpowiedź uzasadnij.
3. (3pkt.) Ile rozwi¸azań może mieć ukÃlad n równań liniowych z n niewiadomymi? Podaj odpowied-nie warunki i przykÃlady.
4. (3pkt.) Podaj definicj¸e j¸adra i obrazu odwzorowania liniowego oraz zwi¸azek mi¸edzy ich wymi-arami.
5. (3pkt.) Podaj definicj¸e wymiaru przestrzeni wektorowej. Ile jest równy wymiar przestrzeni generowanej przez wektory v 1 = (1 , 0 , 2 , 4) , v 2 = ( − 1 , 2 , 4 , 6) , v 3 = ( − 3 , 2 , 0 , − 2) , v 4 =
( − 2 , 0 , − 4 , − 8)?
6. (3pkt.) Podaj definicj¸e iloczynu wektorowego. Jaka jest interpretacja geometryczna dÃlugości wektora ~u×~v? Znajdź wektor jednostkowy prostopadÃly do dwóch danych wektorów ~u = (1 , 2 , 3) i ~v = ( − 1 , 0 , 2).
7. a) (5pkt.) Na pÃlaszczyźnie zespolonej zaznacz zbiór
½
¾
π
3 π
A = z ∈ C : |z + i| ≤ | 1 − i| 2 ∧
≤ Arg z ≤
.
4
4
b) (5pkt.) W zbiorze liczb zespolonych C rozwi¸aż równanie
z 2 = ¯
z.
0
0 − 1
0 − 1 − 1
8. (10 pkt.) Dane s¸a macierze A = 0
1
2 oraz B = 2
1
0 .
2 − 1
4
0 − 4
3
a) Wyznacz macierz odwrotn¸a do macierzy A;
b) Wyznacz macierz X speÃlniaj¸ac¸a równanie AX + B = I, I oznacza macierz jednostkow¸a.
9. a) (4pkt.) Zbadaj ilość rozwi¸azań ukÃladu równań
−x +
y +
z + 2 t =
1
2 x − 3 y − 2 z + 3 t =
2
−x + 2 y +
z + 5 t = − 1
x − 3 y −
z + 2 t =
4
2 x −
y +
z = 1
b) (6pkt.) Rozwi¸aż ukÃlad równań
x − 3 y −
z = 2 .
3 x + y − 2 z = 0
10. a) (6pkt.) Dane jest odwzorowanie liniowe L : R3 → R3 , L( x, y, z) = ( x + 2 y, y − z, −y + z).
Napisz macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych. Wyznacz j¸adro odwzorowania L
oraz jego baz¸e.
b) (4pkt.) Sprawdź, czy wektory v 1 = (0 , − 1 , − 2 , 5), v 2 = (0 , 0 , − 1 , 2), v 3 = (0 , − 1 , 0 , 3), v 4 = (0 , 0 , 0 , 2) tworz¸a baz¸e przestrzeni wektorowej R4.
√
11. a) (6pkt.) Sprawdź, czy liczba z
3
0 =
− i jest pierwiastkiem wielomianu W ( z) = z 24 − 1 .
2
2
b) (6pkt.) W zbiorze liczb zespolonych C rozwi¸aż równanie z 2 − 6 z + 9 − 8 i = 0 .
12. a) (4pkt.) Wymień wÃlasności wyznacznika macierzy.
b) (3pkt.) Ile wynosi wyznacznik macierzy C = 3 A− 1 BT , jeśli macierze A i B s¸a macierzami kwadratowymi trzeciego stopnia, detA = 2 oraz detB = 3?
13. a) (2pkt.) Jak¸a macierz nazywamy macierz¸a nieosobliw¸a?
0
0
1
0 − 1 − 1
b) (10pkt.) Dane s¸a macierze A =
0
1 − 1 oraz B = 2
1
0 .
− 2 − 1
1
0 − 4
3
Wyznacz macierz odwrotn¸a do macierzy A, a nast¸epnie macierz X speÃlniaj¸ac¸a równanie A( X+
I) = B, I oznacza macierz jednostkow¸a.
14. a) (3pkt.) SformuÃluj twierdzenie Kroneckera-Capellego.
b) (10pkt.) Zbadaj ilość rozwi¸azań ukÃladu równań
−x +
y +
w −
z + 2 t =
1
−x
− 3 z + 2 t =
2
−
y −
w +
z + 3 t = − 3
2 x − 2 y − 2 w + 5 z + 2 t = − 6
Jeżeli ukÃlad ma rozwi¸azanie, wyznacz je.
15. (10pkt.) Dla odwzorowania liniowego L : R3 → R4 , L( x, y, z) = ( x − y, x − z, y − z, y − x) wyznacz j¸adro, obraz oraz ich bazy i wymiary.
16. (6pkt.) Podaj definicj¸e iloczynu mieszanego wektorów w przestrzeni R3. Wyznacz obj¸etość czworościanu o wierzchoÃlkach P 1 = (1 , 1 , 1) , P 2 = ( − 1 , 0 , 1) , P 3 = (5 , 6 , 7) , P 4 = (2 , 3 , 1).
17. a) (6pkt.) W zbiorze liczb zespolonych C rozwi¸aż równanie z 4 = i 6 − 15 .
b) (6pkt.) Wyznacz cz¸eść rzeczywist¸a, moduÃl oraz argument gÃlówny liczby zespolonej 4
z =
.
− 2 + 2
1 −i
0 3 0 0 0
1 0 2 3 0
18. a) (8pkt.) Oblicz wyznaczniki macierzy A =
2 0 0 4 0 oraz B = 1 A 2( AT ) − 1 .
2
3 0 4 5 0
0 8 0 0 2
− 2 1
1
£
¤
19. (10pkt.) Dane s¸a macierze A =
1 0 − 2 oraz B =
1 − 4 1 .
0 0
1
Wyznacz macierz odwrotn¸a do macierzy A, a nast¸epnie macierz X speÃlniaj¸ac¸a równanie A 2 X = −BT .
20. a) (3pkt.) Jaki ukÃlad równań nazywamy ukÃladem Cramera? SformuÃluj twierdzenie o rozwi¸azaniach tego ukÃladu.
b) (10pkt.) Zbadaj ilość rozwi¸azań ukÃladu równań
x
+ 2 y − 3 z = 1
3 x −
y
+ 2 z = 7
5 x + 3 y − 4 z = 9
Jeżeli ukÃlad ma rozwi¸azanie, wyznacz je.
21. (10pkt.) Dla odwzorowania liniowego L : R3 → R2 , L( x, y, z) = ( x − 3 y + z, − 2 x + 6 y − 2 z) wyznacz j¸adro, obraz oraz ich bazy i wymiary.
22. (7pkt.) a) Napisz równanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez trzy punkty P 1 = (0 , 1 , 0) , P 2 =
( − 1 , 0 , 1) , P 3 = (5 , 6 , 7),
b) Napisz równanie prostej przechodz¸acej przez punkt P 1, prostopadÃlej do pÃlaszczyzny z punktu a) .
³
√ ´24
23. a) (6pkt.) Podaj wzór de Moivre’a. Oblicz − 1
√ − i 6
.
2
2
¡
¢
b) (6pkt.) Liczb¸e z = 3+ i − 2 i 3 2 zapisz w postaci algebraicznej. Wyznacz cz¸eść rzeczywist¸a, 1+2 i
moduÃl oraz argument gÃlówny liczby z.
24. a) (4pkt.) Czy każde dwie macierze można dodać, pomnożyć? Jeśli nie, jakie musz¸a być speÃlnione warunki, aby można byÃlo wykonać te dziaÃlania?
b) (4pkt.) UzupeÃlnij wzory ( A + B) T = .... , ( AB) T = .... , ( AT ) T = .... , ( AB) − 1 = ....
− 1
0
2 − 1
·
¸
12
6
25. (10pkt.) Dane s¸a macierze A =
1
1 , B = 0
3 , C =
.
9 − 12
0 − 1
1
4
Wyznacz macierz ( AT B) − 1, a nast¸epnie rozwi¸aż równanie macierzowe ( AT B) X = C.
26. (10pkt.) Zbadaj ilość rozwi¸azań ukÃladu równań
x
+ y − 2 z −
t
+
u
= 0
2 x − y + z + 2 t − 3 u = 0 .
3 x − y − 2 z +
t
− 2 u = 0
2 x + y − 5 z − 2 t + 2 u = 0
Jeżeli ukÃlad ma rozwi¸azanie, wyznacz je.
27. a) (6pkt.) Dane jest odwzorowanie liniowe
L : R2 3 ( x, y) −→ ( x − 3 y, − 2 x + 6 y, −x + 3 y) ∈ R3 .
Napisz macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych oraz wyznacz KerL i jego baz¸e.
b) (6pkt.) Podaj definicj¸e bazy i wymiaru przestrzeni wektorowej. Ile jest równy wymiar przestrzeni generowanej przez wektory v 1 = (1 , − 1 , 1 , − 1 , 1) , v 2 = (1 , 1 , 0 , 0 , 3) , v 3 = (3 , 1 , 1 , − 1 , 7)?
28. (8pkt.) Podaj definicj¸e iloczynu skalarnego i iloczynu mieszanego wektorów w przestrzeni R3.
Jaka jest interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego? Wyznacz iloczyn skalarny wektorów ( − 1 , 0 , 2) i (4 , 1 , 0).