Egzamin 10.02.2010, drugi termin
1. Podać definicję grupy i ciała
Def. {S, ∗} jest grupą jeżeli
• ∀a,b∈Sa ∗ b ∈ S,
• ∃e∈S∀a∈Sa ∗ e = a = e ∗ a,
• ∀a∈S∃b∈Sa ∗ b = b ∗ a = e,
• ∀a,b,c∈Sa ∗ ( b ∗ c) = ( a ∗ b) ∗ c,
• dodatkowo grupa jest abelowa jeżeli ∀a,b∈Sa ∗ b = b ∗ a.
Def. {F, + , ·} jest ciałem jeżeli
• {F, + } jest grupą abelową,
• {F \{ 0 }, ·} jest grupą abelową,
• ∀a,b,c∈F a · ( b + c) = a · b + a · c Niech S := {( t, 2 t) : t ∈ R}, S zawiera więc pary liczb rzeczywistych.
Działanie ∗ między elementami S ( x 1 , y 1) i ( x 2 , y 2) zdefiniowane jest przez ( x 1 , y 1) ∗ ( x 2 , y 2) = ( x 1 + x 2 , y 1 y 2). Pokazać, że ( S, ∗) jest grupę przemienną.
• ( t, 2 t) ∗ ( u, 2 u) = ( t + u, 2 t+ u) ∈ S zbiór jest zamknięty ze względu na *,
• (0 , 1) ∗ ( t, 2 t) = ( t, 2 t) = ( t, 2 t) ∗ (0 , 1) element neutralny,
• ( t, 2 t) ∗ ( −t, 2 −t) = ( −t, 2 −t) ∗ ( t, 2 t) = (0 , 1) element odwrotny,
• łączność:
( t, 2 t) ∗ [( u, 2 u) ∗ ( v, 2 v)]
=
[( t, 2 t) ∗ ( u, 2 u)] ∗ ( v, 2 v) ( t, 2 t) ∗ ( u + v, 2 u+ v)
=
( t + u, 2 t+ u) ∗ ( v, 2 v) ( t + u + v, 2 t+ u+ v)
=
( t + u + v, 2 t+ u+ v)
• przemienność:
( t, 2 t) ∗ ( u, 2 u)
=
( u, 2 u) ∗ ( t, 2 t)
( t + u, 2 t+ u)
=
( u + t, 2 u+ t)
2. Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzie-lenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omó-
wić znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych.
(a) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie
√
( 3 − i)10
(1 − i)6
(b) Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby i. Wynik po-dać w postaci algebraicznej.
1
3. Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wektorów postaci ( v + t, t − u, 2 v + t + u), gdzie v, t, i u są liczbami rze-czywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R 3. Jaki jest jej wymiar? Podać przekład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni. Za-pisać tą podprzestrzeń w postaci V = ( x, y, z) ∈ ax + by + cz + d = 0 z odpowiednio dobranymi a, b, c i d.
4. W bazie {(1 , 1 , 0) , (1 , 0 , 1) , (0 , 1 , 0) } wektro ma wspórzędne (1 , 2 , 3). Sprawdź, czy zbiór wektorów {(0 , 1 , 1) , (1 , 0 , 2) , (0 , 1 , − 1) } jest bazą i, jeżeli tak, zna-leźć współrzedne podanego wektora w nowej bazie.
5. Podać definicję przekształcenia liniowego A : V → V 0, jądra przekształcenia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro przekształcenia liniowego jest podprzestrzenią V , a obraz podprzestrzenią w V 0.
6. Niech f : ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4) ∈ R 4 → ( x 1 + x 3 , x 2 + x 4) ∈ R 2. Wyznaczyć macierz odwzorowania w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz odwzorowania (podać wymiary i bazy Ker f , i Im f . Znaleźć rząd odwzorowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania f z dim Ker f ?
7. Znajdź macierz przekształcenia f : R 4 → R 2 danego przez f ( x, y, z, t) =
( x+3 y− 2 z, z−y+ x−t) w bazach odpowiednio {(2 , 0 , 1 , 0) , ( − 1 , 1 , 0 , 3) , (0 , 1 , 1 , 0) , (1 , − 1 , 2 , 3) }
i {(1 , 1) , (1 , 0) }.
8. Co to jest rząd macierzy? Znaleźć rząd macierzy.
2
1
4
1
− 1
1
− 1
1
− 1
1
− 1
3
9. Znaleźć macierz odwrotną do
0
− 1
1
− 1
2
− 1
2
− 1
0
10. Znaleźć wyznacznik macierzy o wymiarze n × n ( n 2) a
−b
0
· · ·
0
0
0
a
−b
· · ·
0
0
0
0
a
· · ·
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
0
0
0
· · ·
a
−b
−b
0
0
· · ·
0
a
11. Rozwiązać układ równań korzystając z metody eliminacji Gaussa
x + 2 y + 3 z
=
6
2 x + 3 y + z
=
6
3 x + 2 y + z
=
6
2
1
0
1
12. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy
0
1
0
i sprawdzić,czy
1
0
1
wektory własne są ortogonalne.
13. Metodą Grama-Schmidta utworzyć zbiór ortonormalny wektorów ze zbio-
ru x 1 , x 2 , x 3, gdzie
x 1 = (1 , 1 , 1) , x 2 = (1 , 1 , − 1) , x 3 = (2 , 1 , 1)
.
3