Matematyka A, egzamin poprawkowy, 5 września 2012, 10:05 — 13:05

Rozwiazania różnych zada´

n maja znaleźć sie na różnych kartkach, bo sprawdzać je beda różne osoby.

,

,

,

,

,

Każda kartka musi być podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem piszacego, jego nr. indeksu

,

oraz nr. grupy ćwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadzacej ćwiczenia.

,

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urzadze´

n elektronicznych; jeśli

,

ktoś ma, musza by´

c schowane i wy laczone! Nie dotyczy rozruszników serca.

,

,

Nie wolno korzystać z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia, które zosta ly udowodnione

,

na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.

Należy przeczytać CAÃLE zadanie PRZED rozpoczeciem rozwiazywania go!

,

,

1. (1 pt.) Niech f : (0 , ∞) −→ (0 , ∞) oznacza funkcje różniczkowalna. Znaleźć pochodna funkcji ln f .

,

,

,

(1 pt.) Napisać wzór na pole obszaru „pod wykresem” funkcji f ograniczonej do przedzia lu (0 , x) .

(3 pt.) Znaleźć wzór na pole trójkata prostokatnego, którego wierzcho lkami sa punkty ( x, f ( x)) , ( x, 0) oraz

,

,

,

punkt, w którym styczna do wykresu w punkcie ( x, f ( x)) przecina oś OX .

(5 pt.) Znaleźć wszystkie takie dodatnie, niemalejace funkcje wypuk le f : (0 , ∞) −→ (0 , ∞) , że styczna

,

do wykresu w punkcie ( x, f ( x)) dzieli na po lowy pole pod wykresem funkcji ograniczonej do przedzia lu (0 , x) , czyli pole zbioru {( t, y): 0 < t < x oraz 0 < y < f ( t) } .













2

0

0

0

1

2. Niech M = 3

5

1 , v = 1 , w = − 1 .

− 9 − 9 − 1

− 3

1

(1 pt.)

Znaleźć iloczyny M · v i M · w .

(5 pt.)

Znaleźć rozwiazanie ogólne uk ladu równań x 0( t) = M · x( t) .





,

0

(1 pt.)

Znaleźć rozwiazanie uk ladu równań x 0( t) = M · x( t) spe lniajace warunek x(0) = 3 .

,

,

− 1





1

(3 pt.)

Znaleźć rozwiazanie uk ladu równań x 0( t) = M · x( t) spe lniajace warunek x(0) = − 1 .

,

,

1

3. (5 pt.)

Znaleźć wszystkie takie liczby zespolone z , że z 8 + 64 z 2 = 0 .

(2 pt.)

Zaznaczyć wszystkie znalezione w poprzednim punkcie liczby na p laszczyźnie.

4. (2 pt.)

Znaleźć rozwiazanie ogólne równania

,

x00( t) − 6 x0( t) + 25 x( t) = 0 .

(7 pt.)

Znaleźć rozwiazanie ogólne równania

,

x00( t) − 6 x0( t) + 25 x( t) = 676 te− 3 t + 16 te 3 t + 8 e 3 t(cos 4 t + sin 4 t) + 219 sin 4 t .

(1 pt.)

Znaleźć rozwiazanie zagadnienia poczatkowego

,

,



 x00( t) − 6 x0( t)+25 x( t) = 676 te− 3 t + 16 te 3 t + 8 e 3 t(cos 4 t + sin 4 t) + 219 sin 4 t, x(0) = 11

 x0(0) = 12

(5 pt.)

Znaleźć rozwiazanie ogólne równania

,

x00( t) − 6 x0( t) + 25 x( t) = e 3 t(cos(4 t)) − 3 .

5. Niech f ( x, y) = ( x 2 + y 2 − 13)(2 x − 3 y) . Wiadomo, że ∂f = 2( x 2 + y 2 − 13) + 2 x(2 x − 3 y) oraz

∂x

∂f = − 3( x 2 + y 2 − 13) + 2 y(2 x − 3 y) .

∂y

(1 pt.)

Znaleźć gradient funkcji x − 8 y w punkcie (3 , 2) .

(4 pt.)

Znaleźć punkty zerowania sie gradientu funkcji f .

,

(4 pt.)

Znaleźć lokalne ekstrema funkcji f .

(4 pt.)

Znaleźć najwieksza i najmniejsza wartość funkcji f w kole {( x, y): x 2 + y 2 ≤ 13 } .

,

,

,

(4 pt.)

Znaleźć najwieksza i najmniejsza wartość funkcji f w kwadracie {( x, y):

|x|, |y| ≤ 3 } .

,

,

,