1.
1. Obliczyć całkę i sprawdzić wynik
1
3
a)
2
3x + 2x −
+
∫
cos 2xdx
b)
3
2
4x
( 5x + x − e
−
∫
)dx
2x
5x
−
2
−
5
c)
2
2
x + 8x
−
∫
dx
d)
5
3x
( 2x + x − e
−
∫
)dx
x
5x
6
−
2
e)
4
6x
( 5x + x − e
−
∫
)dx
f)
7
2
x + 5x −
∫
dx
7x
3
x
2
1
g)
2
x + 5x −
∫
dx
h) 3
2
x + 5x −
∫
dx
4
x
5
x
6
6
i)
2
3 x + 5x −
∫
dx
j)
2
2
x
x + 5x −
∫
dx
3
x
3
x
2
2
k)
3
3x − 2x + x −
∫
dx
l)
5
2x
( 2x + x − e
−
∫
)dx
2
x
3x
2
2
ł)
6
7 x
( 8x + x − e
−
∫
)dx
m)
5
2x
( 2x + x − e
−
∫
)dx
5x
3x
2
n)
6
7 x
( 8x + x − e
−
∫
)dx
5x
2. Obliczyć całki:
x 3 − 1
a)
x 2 − x + dx
1
∫
b)
dx
∫
c)
(e x + )
1 2 dx
∫
x 2 + x + 1
ex + e−x
(ex − )
2 2
3
d) ∫
dx
e) ∫
dx
f)
x 2e x dx
∫
2
3
e tgx
ln x
g)
dx
∫
h)
sin x cos xdx
∫
i) ∫
dx
cos2 x
x
ln x
2x + 1
2
j)
dx
∫
(p. cz.)
k)
dx
∫
l)
x
xe
∫
x
x 2 + x − 5
m)
x 2exdx
∫
3. Obliczyć całki oznaczone:
π
π
1
2
4
arctgx
a)
x(x −
∫
)
3 2 dx
b) ∫ x cos xdx
c) ∫
2
1 + x
0
0
0
62
π
1
2
2π
d)
(x3 +
∫
x2 − x + )
1 dx
e)
cos xdx
∫
f) ∫ cos xdx
0
π
0
− 2
1
2
3
1
1
x
g) ∫ x3dx
h) ∫
dx
i)
1 −
∫
xdx
j)
1 −
∫
x 2dx
x 2
0
1
0
1
−
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji oraz osią OX
a)
2
y(x) = sin 2x + x +1 , gdy x naleŜy do przedziału <0, π/2> b)
2
y(x) = x + 2 , gdy x naleŜy do przedziału <0, 1> c)
2x
y(x) = e
−1 , gdy x naleŜy do przedziału <0, 1> 5. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej o równaniu y = 3 x wokół osi OX dla x z przedziału <0,9> 2
−
6. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej o równaniu y =
x
wokół osi OX dla x z przedziału <1,16> 7. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej o równaniu 3 3
y =
x wokół osi OX dla x z przedziału <0,8> 4
8. .a) Obliczyć objętość bryły powstałe z obrotu krzywej będącej wykresem funkcji
3
y(x) = x −1 , gdy x naleŜy do przedziału <0, 1>.
b)
Obliczyć objętość bryły powstałe z obrotu krzywej będącej wykresem funkcji
2
y(x)
x−
=
+ 1 , gdy x naleŜy do przedziału <0,5;1>
63
c)
Obliczyć objętość bryły powstałe z obrotu krzywej będącej wykresem funkcji
2
y(x) = x + 2 , gdy x naleŜy do przedziału <0, 1>.
9.
Obliczyć pole obszaru wyznaczonego liniami: 2
L : f (x) = x + 2
2
L : f (x) = x −1
1
1
a) L : g(x) = 2 − x
b) L : g(x) = 1 − x
2
2
x ∈< 0, 2 >
x ∈< 0,1 >
L : f (x) = cos x
1
2
2 x
L : f (x) = x + e
1
2
c) L : g(x) = 1−
⋅ x
d)
3
L : g(x) = 1 − 2x
2
2
π
x ∈< 0,1 >
π
x ∈< 0,
>
2
10. Obliczyć pole między krzywymi (naszkicować krzywe K1 oraz K2 i zaznaczyć poszukiwane pole)
K : y = x + 1
K : y = ex
1
1
a)
π
b) K : y = 1 − x
2
K : y = cos x ,
x ∈
,
0
2
2
K : y = 0
3
1
K : y =
1
x 2 + 1
d)
− 1
K : y =
,
x ∈< − 1
,
1 >
2
x 2 + 1
K : y =
−
e
2 2x
K : y = x 2 − x − 2
e)
1
f)
1
K : y = ,
0
x ∈< ,
0 2 >
K : y = 2 − x
2
2
64
11. Obliczyć całkę oraz podać interpretację geometryczną postawionego zadania i otrzymanego wyniku:
2
2
2
2
2
2
2
a) (x −
∫
1)dx
b) (x +
∫
3)dx c) (x +
∫
2)dx d) (x −
∫
2)dx
1
−
1
−
1
−
1
−
2
1
f)
2
(x +
∫
3)dx
g)
2
( x −
∫
3) dx
0
0
Odpowiedzi
1
sin 2x
1. . a)
2
3
2
3x + 2x −
+ cos 2xdx = x + x +
+
∫
C
2x
2
3
5
4 x
2
3
2x
3
e
3
b)
3
2
4 x
3
( 5x + x − e
−
)dx = 5 ⋅
+
x −
−
ln x +
∫
C
5x
3
5
4
5
−
5
c)
2
2
3
−1
x + 8x
−
dx = x − 8x
− 5ln x +
∫
C
x
3
6
3
− x
2
5
−
2
2x
6x
e
2
d)
5
3x
∫( 2x + x − e − )dx = 2 ⋅
+
−
−
ln x + C
5x
3
5
3
−
5
3
5
6
− x
2
−
2
2x
4
e
2
e)
4
6 x
4
∫( 5x + x − e − )dx = 5 ⋅
+
x −
−
ln x + C
7x
3
5
6
−
7
8
6
x
5
f)
7
2
3
2
x
5x
dx
x
3x−
+
−
=
+
+
+
∫
C
3
x
8
3
3
3
2
2
2x
5x
2
g)
2
−3
∫ x + 5x − dx =
+
−
x
+ C
4
x
3
3
3
−
4
3
1
3x
5
1
h) 3
2
3
4
x
5x
dx
x
x−
+
−
=
+
+
+
∫
C
5
x
4
3
4
3
3
2
2
6
6x
5x
6x−
i)
2
∫3 x + 5x − dx =
+
−
+ C
3
x
3
3
2
−
7
3
2
2
6
2x
5x
6x−
j)
2
2
∫ x x + 5x − dx =
+
−
+ C
3
x
7
3
2
−
3
2
4
−1
2
2
3x
2x
2x
2x
k)
3
∫3x − 2x + x − dx =
−
+
−
+ C
2
x
2
4
3
1
−
65
3
6
2x
2
5
2
2 2x
5x
e
2
l)
5
2x
( 2x + x − e
−
)dx =
+
−
−
ln x +
∫
C
3x
3
6
2
3
3
7
7 x
2
6
2
2 8x
6x
e
2
ł)
6
7 x
( 8x + x − e
−
)dx =
+
−
−
ln x +
∫
C
5x
3
7
7
5
2
1
1
2
m)
5
2 x
( 2x +
x − e
−
)dx =
2 ⋅
+
+
+
∫
C
2
5
4
3x
2 x
3x
5 x
2
1
1
n)
6
7 x
7 x
( 8x +
x − e
−
)dx = 8 ⋅
−
− 7 ⋅ e
+
∫
C
6
5
5x
2 x
6 x
Poprawność obliczenia całek sprawdzamy licząc pochodne funkcji pierwotnych F(x)(=wynik całkowania).
1 3
1
1
1
2. a) x −
x 2 + x + c b)
x 2 − x + c
c)
e2x + e
2 x + x + c
3
2
2
2
1
x
1
1 1
d)
e −
e−x + c
e)
e 2x − 4e x + 4x + c
f)
2
2
3 2
1
3
e x + c
3
3
2
(ln x)2
g) (p.p.), e tgx + c
h) (p.p.), −
(cos x) 2 + c i) (p.p.)
+ c
3
2
j) (p.cz.), 2 x ln x − 4 x + c k) (p.p.), ln | x 2 + x − 5 | +c l) (p.p.), 1
2
e x + c m) (dwa razy P.cz.), x 2ex − (
2 xe x − e x ) + c
2
{(p.p.)-przez podstawienia; )p.cz.)- przez części}
1
π
x 4
3
9
π
3. a)
− 2x +
x 2
= 1 ,
2 75 b) x sin x + cos x 2 =
− 1
4
2
0
2
0
π
1
π
(arctgx)2 4
1
1 4
1 3
1 2
13
c)
=
d)
x +
x −
x + x
=
e) sin x 2 = 2
2
2
4
3
2
12
π
−
0
0
2
2
1
2
−
3
3 1
2π
1 4
1
f) sin x
= 0
g)
x
=
h) −
x 3
= −
− 1
0
4
4
2
2 3
0
4
1
66
1
3
1
2
1
1
3
1
1
4
i) x −
x 2
=
j) x −
x
= 1 −
− 1 + =
3
3
3
3
3
3
1
−
0
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji oraz osią OX
a).
2
y(x) = sin 2x + x +1 , gdy x naleŜy do przedziału <0, π/2> Pole obszaru wyznaczymy obliczając całkę π
π
2
3
2
cos 2x
x
2
∫(sin2x + x +1)dx = ( −
+
+ x ) =
2
3
0
0
3
π
3
cos π
2
π
cos 0
1
π
π
= −
+
+
− −
+ 0 + 0 =
+
+
+
1
2
3
2
2
2
24
2
b).
2
y(x) = x + 2 , gdy x naleŜy do przedziału <0, 1>. Pole obszaru wyznaczymy obliczając całkę
1
1
3
x
1
7
2
(x + 2)dx = (
+ 2x ) =
+ 2 − 0 =
∫
3
3
3
0
0
c).
2x
y(x) = e
−1 , gdy x naleŜy do przedziału <0, 1>. Pole obszaru wyznaczymy obliczając całkę
1
1
2x
0
e
e
e
e
3
2x
∫(e −1)dx = (
− x ) = −1 −
− 0 =
−
2
2
2
2
2
0
0
9
b
9
2
2
9x
9 ⋅ 9
729
5.
2
V = π f (x)dx = 9xdx =
=
− 0 =
∫
∫
2
2
2
a
0
0
b
16 4
16
6.
2
V = π f (x)dx =
dx = 4 ln x
=4 ln16 − 4 ln1 =
∫
∫
4 ln16
1
x
a
1
8
5
b
9
2
3
9
27x
27 ⋅ 8
216
7.
2
3
V = π f (x)dx =
x dx =
=
− 0 =
∫
∫
16
80
80
80
a
0
0
67
8.
1
b
1
7
4
x
2x
1
1
9
a)
2
V = π f (x)dx = ( 6
3
x − 2x + )
1 dx =
−
+ x =
−
+ 1 − 0 =
∫
∫
7
4
7
2
14
a
0
0
b)
1
b
1
3
−
1
x
2x−
−
−
1
8
1
7
2
V = π∫f (x)dx = ∫ ( 4
2
x + 2x + )
1 dx =
+
+ x
=
− 2 +1 −
− 4 +
=
3
−
1
−
3
−
3
−
2 6
a
0.5
0.5
1
b
1
5
3
x
2x
1 2
8
c)
2
V = π∫f (x)dx = ∫( 4
2
x + 2x + )
1 dx =
+
+ x = − +1 − 0 =
5
3
5 3
15
a
0
0
9.
2
L : f (x) = x + 2
1
2
3
2
3
2
x
x
2
2
2
a) L : g(x) = 2 − x P = ∫( 2
x + 2) −(2 − x)
2
dx =
+
=
+
=
2
0
3
2
3
2
3
0
x ∈< 0, 2 >
b)
L : f ( x) = 2
x − 1
1
1
3
2
x
x
2
13
1
12
1
L : g( x) = 1 − x P =
x
x
dx
2
∫(1− )− ( − )
1
= −
−
+ 2 = −
−
+ 2 = 1
3
2
0
3
2
6
0
x ∈< 1
,
0 >
c)
L : f ( x) = cos x 1
π
2
2
2
1
π
π
π
π
L : g( x) = 1 −
⋅ x
P =
x
x dx
x
x
x
2
∫(cos )−1−
= sin −
+
2 2 = 1−
+
= 1 −
π
π
0
π
2
4
4
0
π
x ∈< ,
0
>
2
68
d)
L : f ( x) = ( 2
2
x + e x )
x ∈< 1
,
0 >
1
L : g( x) = 1 − 2 3
x
2
1
P = ∫ ( 2
2
x + e x )− (1 − 2 3
x )
1 3
1 2 x
2 4 1
1
1 2
1
1 2
1
dx =
x +
e
− x +
x
=
+
e − 1 +
=
e −
3
2
4
0
3
2
2
2
6
0
π
10.a)
P = e 2 − 2
1
2
7
b) P = P + P =
+
=
1
2
2
3
6
π
π
d) P = 2 ⋅ P = 2 ⋅
+
= π
1
4
4
e)
4
P = 1 e−
−
f)NaleŜy wyznaczyć punkty wspólne obydwu krzywych P = (− , 2 4) ,
1
32
P = ( 0
,
2 ) , granice całkowania to przedział < − , 2 2 > , P =
.
2
3
2
2
11. a)
(x −
∫
1)dx , wykresem funkcji podcałkowej jest parabola.
1
−
Wartość całki oznaczonej wyraŜa róŜnice pól obszaru pomiędzy osią
69
OX a wykresem. Obszar poniŜej osi OX ze znakiem ujemnym, powyŜej dodatnim.
2
3
2
x
2
8
1
−
∫ (x −1)dx = − x
= − 2 −
− 9 − ( 1
− ) = 9
−1
3
3
3
1
−
2
b)
(x +
∫
3)dx , wykresem funkcji podcałkowej jest linia prosta.
1
−
Wartość całki oznaczonej wyraŜa pole obszaru pomiędzy osią OX a 2
2
x
4
1
21
wykresem.
2
∫ (x + 3)dx = ( + 3x) = + 6 − + ( 3
− ) =
1
2
−
2
2
2
1
−
2
2
c) (x +
∫
2)dx , wykresem funkcji podcałkowej jest parabola. Wartość 1
−
całki oznaczonej wyraŜa róŜnice pole obszaru pomiędzy osią OX a wykresem.
2
2
3
2
x
8
1
−
∫ (x + 2)dx = + 2x = + 4 − − 2 = 8
3
3
3
1
−
1
−
2
2
d). (x −
∫
2)dx , wykresem funkcji podcałkowej jest parabola. Wartość 1
−
całki oznaczonej wyraŜa róŜnice pól obszaru pomiędzy osią OX a wykresem. Obszar poniŜej osi OX ze znakiem ujemnym, powyŜej dodatnim.
2
2
3
2
x
8
1
−
∫ (x − 2)dx = − 2x = − 4 − + 2 = 3
3
3
3
1
−
1
−
2
f).
2
(x +
∫
3)dx , wykresem funkcji podcałkowej jest parabola. Wartość 0
całki oznaczonej wyraŜa pole obszaru pomiędzy osią OX a wykresem.
2
2
3
2
x
8
0
26
∫(x + 3)dx = + 3x = +
6 −
−
0 =
3
3
3
3
0
0
70
1
g).
2
( x −
∫
3) dx , wartość całki oznaczonej wyraŜa pole obszaru 0
pomiędzy osią OX a wykresem.
3
1
1
2
2
x
x
2
∫( x −3) dx = ∫(x − 6 x + 9)
1
dx = (
−12
+ 9x)
=
0
2
3
0
0
1
27
=
+ 4 + 9 − 0 =
2
2