Układy równań liniowych
Układy równań liniowych. Wzory Cramera.
Równanie liniowe z m-niewiadomymi zapisujemy: a x a x
a x
b
+
+ +
L
= .
1 1
2
2
m
m
Jeżeli b=0 to równanie liniowe nazywamy równaniem jednorodym (tzn. takie które ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie: x = x =L= x = 0 ).
1
2
n
Układem n-równań liniowych z n-niewiadomymi nazywamy układ:
a x + a x + +a x = b
11 1
12
2
L
n
1
n
1
a
x + a x + +a x = b
21 1
22
2
L
2n
n
2
LLLLLLLLLLLL
a
x + a x + +a x = b
n1 1
n2
2
L
nn
n
n
Macierzą tego układu n-równań liniowych z n-nieiwadomymi nazywamy macierz złożoną ze współczynników aij.
A = [a
jk ] j,k= ,1n
Układ ten nazywamy układem Cramera, jeśli wyznacznik det (A)0
Układ równań można zapisać w postaci : A*X=Y, gdzie:
x
b
1
1
x
b
X = 2
= 2
Y
M
M
x
b
n
n
Metoda Cramera
Niech Ai będzie macierzą n x n powstającą z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej kolumny wektorem kolumnowym Y.
det A
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie: x i
=
i=1,2,...,n
i
det A
Macierz dołączona układu równań liniowych - Macierz Ay -powstała z macierzy A /macierzy układu/ przez dopisanie n+1 kolumny wyrazów wolnych.
Np.
a
a
a
b
L
11
12
n
1
1
a
a
a
b
L
A
21
22
2n
=
2
y
L L L L
L
a
a
a
b
1
2
L
n
n
nn
b
Twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego.
Na to, aby układ równań liniowych miał rozwiązanie potrzeba i wystarcza, aby rząd macierzy A był równy rzędowi macierzy dołączonej: rg( A) = rg( A )
y
Przykład:
3x + 5x + 6x = 8
1
2
3
Rozwiązać układ równań:
2x − x + 4x = 10
1
2
3
x + 2x + 3x = 12
1
2
3
A ⋅ x = B
3
5
6
x
8
1
A = 2 −1 4 x =
B =
2
x
10
1 2 3
x
12
3
Jeżeli
A
det
≠
0
x
A 1
−
=
B
A =
nników
wspólczy
macierz
B =
wyników
macierz
Ax = B
A Ax
′ = A 1
− B
x = A 1
− B
Rozwiązanie II metodą.
WX
X
i
i =
gdzie W = wyznacznik macierzy współczynników W
3 5
6 3
5
W = 2
−1 4 2
-1 = (
3 − 3
)
1
+ 541+ 622 − (
6 − 1
)
1 − 342 − 523 = 9
− + 20 + 24 + 6 − 24 − 30 = 13
−
1 2 3 1 2
WX = macierz, w której w miejsce kolumny i wstawiamy kolumnę wyrazów wolnych i
8
5
6 8
5
W = 10
−1 4 10
-1 = (
8 − 3
)
1 + 54.12 + .
6
.
10 2 − (
6 − 12
)
1
− 842 − .
5 10 3
. = 24
− + 240 +120 + 72 − 64 −150 = 184
12
2
3 12
2
WX
184
1
X1 =
=
W
−13
Analogicznie:
X = 1
2
3
X =
3
7
Rozwiązanie układu równań liniowych matodą eliminacji Gaussa-Jordana.
1.) wypisujemy macierz dołączoną układu oddzielając macierz wyrazów wolnych pionową kreską.
2.) wykonując opisane poniżej operacje doprowadzamy macierz układu do postaći macierzy jednostkowej. Wówczas jedynki na odpowiednich miejscach oznaczają niewiadome, a liczby za kreską są ich wartościami /rozwiązaniami/.
*/ Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samych zer „0” to układ jest nieoznaczony.
*/ Jeżeli w trakcie wykonywanych operacji pojawi się wiersz złożony z samych zer z lewej strony kreski, a nie będący zerem po prawej stronie kreski to układ jest sprzeczny.
Przypominamy dozwolone operacje:
• działać można tylko na wierszach
• wiersze można zamieniać miejscami
• wiersz można pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę różną od „0”.
• do danego wiersza można dodać inny wiersz pomnożony przez stałą.
Rozwiązanie III metodą.
1
x
2 2
x
−3 3
x =
8
2 1
x
3 2
x
3
x = 12
1
x
4 2
x
− 3 3
x = 10
1 2 − 3 8
2
3
1 12
1 4 − 310
macierz
wektor
współczyn prawo
ników
stronny
przekształcamy lewą stronę do macierzy jednostkowej:
1 2 − 3 8
2
3
1 12 w2 = (− )
2
1
w + w2 =
1 4 − 310
1 2 − 3 8
0
−1 7 −
4
w2 = (− )
1 w2
=
1 4 − 3 10 3
w = (− )
1 1
w +
3
w
1 2 − 3 8
0
1
− 7 4
=
0 2 0 2 3
w = (− )
2 w2 +
3
w
1 2 − 3 8 1
w = (− )
2 w2 + 1
w
0
1
− 7 4
=
0 0 14 − 6
w =
3
w
3
14
1 0 11 0
1
w = (−
)
11
3
w +
1
w
0 1 −
7 4
w2 = 7 3
w + w2
=
3
0 0 1 −
7
33
33
1
0
0
x =
1
7
7
0
1
0 1
=
x = 1
2
3
3
0
0
1 −
x =
7
3
7
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
Rozwiązać układy równań:
4x − 2y = 0
2x − y = 3
a).
b). 2x + y − z = 1
x − 2y = 0
x − 2y + z = 0
2x − x − x = 4
3x + 2x + x = 5
1
2
3
1
2
3
c). 3x + 4x − 2x = 11
d). 2x + 3x + x = 1 ;
1
2
3
1
2
3
3x − 2x 4x = 11
2x + x + 3x = 11
1
2
3
1
2
3
2x + 2x − x + x = 4
2x + 3x +11x + 5x = 2
1
2
3
4
1
2
3
4
4x + 3x − x + 2x = 6
x + x + 3x + 2x = 1
1
2
3
4
1
2
3
4
e).
f).
.
8x + 5x − 3x + 4x = 12
2x + x + 3x + 2x = −3
1
2
3
4
1
2
3
4
3x + 3x − 2x + 2x = 6
x + x + 3x + 4x = −3
1
2
3
4
1
2
3
4
x + x + 2x = −1
x + 2x + 4x = 31
1
2
3
1
2
3
g). 2x − x + 2x = −4
h). 5x + x + 2x = 29
1
2
3
1
2
3
4x + x + 4x = −2
3x − x + x = 10
1
2
3
1
2
3
x + x + 2x + 3x = 1
x + 2x + 3x − 2x = 6
1
2
3
4
1
2
3
4
3x − x − x − 2x = −4
2x − x − 2x − 3x = 8
1
2
3
4
1
2
3
4
i).
j).
2x + 3x − x − x = −6
3x + 2x − x + 2x = 4
1
2
3
4
1
2
3
4
x + 2x + 3x − x = −4
2x −3x + 2x + 4x = −8
1
2
3
4
1
2
3
4
x + x + x + x
= 0
x + 4x + 6x + 4x + x = 0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
x + x + x + x = 0
x + x + 4x + 6x + 4x = 0
2
3
4
5
1
2
3
4
5
k). x + 2x + 3x +
= 2
l). 4x + x + x + 4x + 6x = 0 ;
1
2
3
1
2
3
4
5
x + 2x + 3x
= −2
6x + 4x + x + x + 4x = 0
2
3
4
1
2
3
4
5
x + 2x + 3x = 2
4x + 6x + 4x + x + x = 0
3
4
5
1
2
3
4
5
2x + x + x + x + x = 2
x + 2x + 3x + 4x + 5x = 13
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x + 2x + x + x + x = 0
2x + x + 2x + 3x + 4x = 10
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
m). x + x + 3x + x + x = 3 m). 2x + 2x + x + 2x + 3x = 11 .
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x + x + x + 4x + x = −2
2x + 2x + 2x + x + 2x = 6
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x + x + x + x + 5x = 5
2x + 2x + 2x + 2x + x = 3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5