Funkcje trygonometryczne
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska 9.1.
Podane miary stopniowe k ¾
atów wyraź w radianach
a) 4 ;
c) 36 ;
e) 360 ;
b) 10 ;
d) 90 ;
f ) 420 :
9.2.
Podane miary ÷
ukowe k ¾
atów wyraź w stopniach
a)
;
c)
;
e) 2 ;
36
6
3
b)
;
d) 3 ;
f ) 0; 85 :
9
8
9.3.
W której ćwiartce uk÷
adu zawiera si ¾
e końcowe rami ¾
e k ¾
ata
o wierzcho÷
ku w punkcie (0; 0) i ramieniu
pocz ¾
atkowym zawartym w dodatniej pó÷
osi Ox; je·
zeli
a) sin
> 0 i cos
< 0;
e) cos
> 0 i tg
> 0;
b) sin
> 0 i cos
> 0;
f ) cos
> 0 i tg
< 0;
c) sin
< 0 i cos
< 0;
g) sin
> 0 i ctg
< 0;
d) sin
> 0 i tg
< 0;
h) cos
< 0 i ctg
> 0:
9.4.
Dany jest k ¾
at
o wierzcho÷
ku w punkcie (0; 0), ramieniu pocz ¾
atkowym zawartym w dodatniej pó÷
osi
Ox i ramieniu końcowym przechodz ¾
acym przez punkt A. Oblicz
a) tg
wiedz ¾
ac, ·
ze A = (9; 2);
e) tg
wiedz ¾
ac, ·
ze A = ( 12; 11);
b) cos
wiedz ¾
ac, ·
ze A = (5; 12);
f ) cos
wiedz ¾
ac, ·
ze A = (2;
4);
c) sin
wiedz ¾
ac, ·
ze A = (3; 4);
g) sin
wiedz ¾
ac, ·
ze A = ( 5;
5);
d) ctg
wiedz ¾
ac, ·
ze A = (6; 2);
h) ctg
wiedz ¾
ac, ·
ze A = ( 2; 10):
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska 9.5.
Podaj miar ¾
e k ¾
ata ostrego
, jeśli
p
a) ctg
= 20;
c) tg
= 1
p ;
e) sin
= (1+ 2)2 3 ;
q
3
4
p
p
b) sin
=
6 ;
2 2 2
f ) cos
=
1
p
1 :
8
d) cos
= 3
;
2
3 1
2
9.6.
Oblicz
a) sin(120 );
e) cos(690 );
i) ctg( 60 );
m) cos(10
);
6
b) sin( 390 );
f ) ctg(675 );
j) cos(9 5 );
n) sin(26; 5 + );
6
4
c) cos( 7 );
g) cos( 210 );
k) ctg(11 1 );
o) ctg(7; 5 );
6
6
d) tg(330 );
h) tg( 870 );
l) sin( 3
);
p) tg(585 ):
2
3
9.7.
Który z k ¾
atów ostrych
czy
ma wi ¾
eksz ¾
a miar ¾
e, je·
zeli
a) cos
= 5 i sin
= 5 ;
e) tg
= 4 i sin
= 4 ;
6
6
7
7
p
b) sin
= 1 i cos
= 1 ;
3
3
2
f ) tg
= 2 i cos
=
;
3
c) cos
= 1 i cos
= 2 ;
3
5
g) sin
= 6 i ctg
= 5;
7
d) sin
= 2 i sin
= 5 ;
h) ctg
= 6 i tg
= 6:
3
7
9.8.
Znaj ¾
ac wartość jednej funkcji trygonometrycznej k ¾
ata ; oblicz wartości pozosta÷
ych funkcji trygonom-
etrycznych dla tego k ¾
ata
a) cos
= 5 i
jest k ¾
atem ostrym;
e) cos
=
1 i
; );
8
5
2 ( 2
p
b) sin
= 1 i
);
21
3
2 (0; 2
f ) ctg
=
i
; );
2
2 ( 2
c) tg
= 2 i
);
3
2 (0; 2
g) sin
=
1 i
);
5
2 ( ; 32
d) ctg
=
1 i
; 2 );
h) tg
= 6 i
).
2
2 ( 32
5
2 ( ; 32
9.9.
Oblicz
a) tg(2 ); je·
zeli tg
= 1 ;
c) tg ; je
2
·
zeli tg(2 ) = 1;
8 sin
+ cos
3 sin2
cos2
p
b)
; je
d)
, je
7:
·
zeli tg
= 3 ;
·
zeli tg
=
5 cos
4
cos (cos2
sin2
)
2
2
9.10.
Oblicz
p
a) cos(
) wiedz ¾
ac,
3 i
; );
3
·
ze sin
= 2
2 ( 2
b) sin( + ) wiedz ¾
ac,
i
);
4
·
ze cos
= 35
2 (0; 2
c) tg( + ) wiedz ¾
ac,
i
; 2 );
4
·
ze sin
=
3
27
2 (32
p
d) ctg(3
) wiedz ¾
ac,
3 i
):
6
·
ze tg
=
2 ( ; 32
9.11.
Dany jest trójk ¾
at prostok ¾
atny równoramienny o k ¾
acie ostrym
: Oblicz cos(2 ):
p
p
9.12.
Dany jest trójk ¾
at prostok ¾
atny o przyprostok ¾
atnych równych
3 i
5 oraz mniejszym k ¾
acie ostrym
:
Oblicz tg(2 ):
9.13.
Dany jest trójk ¾
at prostok ¾
atny o przyprostok ¾
atnych równych 1 i 3 oraz k ¾
acie ostrym
: Oblicz sin(2 ):
9.14.
Oblicz
p
a) 1
2 cos 2(2 ) wiedz ¾
ac, ·
ze k ¾
at
jest k ¾
atem ostrym i tg
=
3 ;
3
b) tg 2
wiedz ¾
ac, ·
ze k ¾
at
jest k ¾
atem ostrym i cos
= 1 ;
3
c) sin(4 ) wiedz ¾
ac, ·
ze k ¾
at
2 ( ; ) i 12 sin cos = 2;
4
2
p
d) ctg
ctg
1 wiedz ¾
ac, ·
ze k ¾
at
2 (0; ) i sin = 1 cos :
2
2
9.15.
K ¾
at
jest k ¾
atem ostrym i sin
= 3 : Oblicz
4
a) sin(2 );
c) tg(2 );
b) cos(2 );
d) ctg(2 ):
9.16.
Oblicz (bez u·
zycia kalkulatora i tablic wartości funkcji trygonometrycznych) a) sin(2011 ) + sin( 2011 ) + cos(2010 ) cos( 2010 );
b) sin(
) + cos2(
) + 3 tg(
);
4
6
c) 4 sin( 4 )
2 cos( 17 ) + 2 tg( 5 );
3
6
3
d) cos(15 ) sin(75 )
sin(15 ) cos(75 );
1
1
1
e) (
+
) 2;
cos 20
cos 3
cos 42
cos(19 )
sin (27 )
tg (11 )
f )
+
;
sin(71 )
cos (63 )
ctg (79 )
g) ctg(
)
cos(
);
6
3
h) 2 tg( 300 ) ctg( 300 )(sin 2(118; 5 ) + cos 2(118; 5 )); 1
1
i)
; jeśli
=
:
sin 2
cos 2
12
9.17.
Oblicz (bez u·
zycia kalkulatora i tablic wartości funkcji trygonometrycznych) sin(15 ) + cos(15 ):
9.18.
Podaj okres podstawowy funkcji
x
a) f (x) = cos(3x);
d) f (x) = 2 tg( );
x
4
b) f (x) = sin( );
2
e) f (x) = 4 tg(3x
2);
c) f (x) = 1
sin(x
1);
f ) f (x) = 2 ctg(2x + ):
6
9.19.
Sprowadź podane wyra·
zenie do najprostszej postaci
2 tg x ctg x
a)
;
h) (1 + tg 2x) ctg 2x;
sin 2x + cos 2x
cos 2x
b) sin 2x(1 + cos 2x) + cos 2x(1
sin 2x);
i)
;
1 + sin x
3
3
c) sin(3x) tg( x) + 2 cos 2( x);
sin 2x
2
2
j)
;
cos x
tg x cos x
d)
;
1
sin 2x
sin 2x
cos 2x
k)
;
e) (1
tg 2x) cos 2x;
2 sin 2x
1
f ) (1
cos x)(1 + cos x);
tg 2x
l)
::
g) (1
sin2 x) tg x;
1 + tg 2x
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska 9.20.
Wyznacz zbiór wartości funkcji
a) f (x) = 1 sin x;
1
6
f ) f (x) =
;
b) f (x) = cos(2x);
1 + 3 sin2(2x)
c) f (x) = 1
3 sin x;
3
g) f (x) =
;
d) f (x) = (sin2 x
1) tg2 x;
2 + sin2 x
cos2 x
2 tg(3x) ctg(3x)
e) f (x) =
;
4 + cos x
h) f (x) = 5
(sin(2x)
cos(2x))2 :
9.21.
Znajdź najwi ¾
eksz ¾
a i najmniejsz ¾
a wartość funkcji
a) f (x) = 1 + sin x;
1
e) f (x) =
;
x
3 + 2 cos2(2x)
b) f (x) = cos 2( );
3
1
cos 2x
f ) f (x) =
sin2 x + sin x;
c) f (x) =
;
sin x
d) f (x) = 1
sin2 x;
g) f (x) = cos 2x + cos x
2:
9.22.
Oblicz dla jakiej wartości parametru m najwi ¾
eksza wartość funkcji f (x) = 2m2 cos x 1 jest równa 3:
1
9.23.
Oblicz dla jakiej wartości parametru m najmniejsza wartość funkcji f (x) = 5 + m sin x jest równa
:
2
9.24.
Dana jest funkcja f (x) = cos 2x + cos x: a) Czy jest ona parzysta?
c) Oblicz f ( ).
4
b) Czy jest ona okresowa?
d) Podaj zbiór jej wartości.
9.25.
Naszkicuj wykres funkcji
a) f (x) = 1 + sin x;
g) f (x) = 1 + cos (
2x);
2
b) f (x) = 1
3 sin( x );
h) f (x) = 1 + tg (2x);
2
p
c) f (x) = cos(2x);
i) f (x) = (1 + cos x)
sin 2x 1;
d) f (x) = 2 cos (x + );
j) f (x) = ctg (x
);
2
3
e) f (x) = cos (x
1);
k) f (x) = ctg (
2x);
2
f ) f (x) = sin (
x)
1;
l) f (x) = ctg
2
j2xj:
cos x
9.26.
Naszkicuj wykres funkcji
f (x) =
i podaj rozwi ¾
azanie nierówności f (x) 6 0:
j2 cos xj
9.27.
Sprawdź, czy podana równość jest to·
zsamości ¾
a
a) 2 tg x = sin 2x(1 + tg2 x);
tg x + sin x
e)
= tg x;
2 tg x
1 + cos x
b) cos 2x tg 2x =
;
cos x
1 + tg 2x
f )
= cos 3x;
1 + tg2 x
1
c) tg 2x + 1 =
;
cos x
cos x
1
sin 2x
g)
= 2 tg x;
1 + sin x
1
sin x
1
d)
cos x = tg x sin x;
h) 2 tg x ctg(2x) = 1
tg 2x:
cos x
9.28.
Rozwi ¾
a·
z równanie
a) sin x = 1;
e) cos x = 0;
i) tg x = 0;
m) ctg x =
1;
p
p
p
b) sin x = 1 ;
2
3
3
2
f ) cos x =
;
j) tg x =
;
n) ctg x =
;
p
2
3
3
p
p
c) 2 sin x =
2;
g) cos x =
1;
k) 3 tg x =
3;
o) 3 ctg x =
3;
p
p
p
d) sin x =
2 ;
h) 2 cos x =
3;
l) tg x =
3;
p) ctg x = 0:
2
9.29.
Rozwi ¾
a·
z równanie
p
a) sin(3x) = 1;
g) tg(x
) =
3 ;
12
3
b) cos(2x) =
1;
h) 2 cos( 12 x + 6 ) = 3;
13
55
c) tg( x ) = 0;
p
2
i) 2 sin(
4x) =
3;
d) ctg(6x) = 1;
e) 2 sin( x
5
) = 1;
j) ctg(x
) = 1;
8
3
6
p
f ) cos(x + ) = 0;
k)
3 ctg(1
x) = 3:
8
9.30.
Rozwi ¾
a·
z równanie
p
a) sin(2x) cos(3x) + cos(2x) sin(3x) =
3 ;
g) 2 cos 2x
cos x
3 = 0;
2
b) cos x cos(3x) + sin x sin(3x) = 1 ; h) tg 2x
3 tg x + 5 = 0;
2
c) cos(3x) = cos x;
i) ctg3 x
ctg x = 0;
d) sin(4x) = sin(2x);
j) 4 sin2 x + 4 sin x + 1 = 0;
e) ctg(3x) = ctg x;
k) cos(2x) = sin x;
f ) 2 sin2 x + sin x
1 = 0;
l) 3 cos x = 2 sin2 x:
9.31.
Rozwi ¾
a·
z równanie
a) tg 2(2x) = tg 3(2x);
2 cos( x ) 1
f )
2
= 0;
sin x
b) tg 2x = ctg x;
c) sin x cos x tg x = 1;
g) sin(2x) tg x = 0;
ctg 2x
d) sin(3x) cos(2x) tg x = 0;
e) 2 sin4(4x) = 0;
h) (sin x)cos 2x 12 = 1:
1+cos 2x
9.32.
Podaj miar ¾
e k ¾
ata
w trójk ¾
acie, je·
zeli
a) cos(3 ) = 1 ;
b) sin (2 + ) = 0;
c) sin(2 ) = 2 cos2 :
2
3
9.33.
Wyznacz wspó÷
rz ¾
edne punktów przeci ¾
ecia wykresu funkcji f z osi ¾
a Ox i osi ¾
a Oy; je·
zeli
a) f (x) = cos (3x) + 1;
b) f (x) = sin 2x
1:
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska 9.34.
Podaj liczb ¾
e rozwi ¾
azań równania
a) sin x =
1 w przedziale [ 2 ; 2 ];
c) tg x = x w przedziale (
; );
2
2
b) sin x = x;
d) cos x = ex
x2:
9.35.
Oblicz dla jakiej wartości parametru m równanie ma rozwi ¾
azanie
a) 2m + 1
3m sin x = 0;
c) sin x cos(2x) + cos x sin(2x) = m 1;
m
1
b) cos(2x) =
;
m + 3
d) cos(2x) cos(3x) = sin(2x) sin(3x) + 2m: 9.36.
Rozwi ¾
a·
z nierówność
p
a) sin x 6
3 gdy x
f ) cos x > 1;
2
2 [0; 2 ];
g) sin x <
1;
b) cos x >
1 gdy x
p
2
2 [
; ];
h) 3 ctg x >
3;
c) tg x > p3 gdy x 2 [0; ];
i) tg x 6 0;p
j) cos x <
2 ;
2
d) ctg x 6 p3 gdy x 2 (
; );
k) 2 cos x > p3;
p
e) tg x < 1;
l) sin x >
2 :
2
9.37.
Rozwi ¾
a·
z nierówność
a) sin(2x) < 0;
f ) tg( x + ) > 1;
2
2
p
b) sin( 3 x) > 1;
3
4
2
g) tg(
2x) <
;
p
4
3p
c) ctg(3x) >
3;
h) j sin( x
1)j < 2;
2
d) 2 cos(4x) > p2;
i) j ctg 2xj < 1;
p
e) 3 sin(x + ) < 0;
j)
3:
5
j tg x3j >
9.38.
Rozwi ¾
a·
z nierówność
a) sin2 x < 1 ;
g) tg2 x
2 tg x + 1 > 0;
2
b) cos 2x
1 < 0;
h) sin 2(2x)
6 sin(2x) + 9 6 0;
c) tg2 x < 3;
i)
cos 2x
3 cos x + 1 > 0;
d) ctg2(2x)
3 > 0;
e) 2 sin2(3x)
cos 2(2x) < sin2(2x);
j) sin 2(3x) + sin(3x)
6 < 0;
f ) cos 2x
3 cos x + 5 6 0;
k) cos 2x
4 cos x > 0:
9.39.
Rozwi ¾
a·
z nierówność
a) sin x < cos x;
e)
tg x
> 0;
1+sin x
b) sin 2x 6 j sin 2xj;
f ) 2 cos 2x 1 < 0;
c) j sin xj > j cos xj;
sin 2x
1
d) tg x > ctg x;
g)
1
> 0:
sin x
cos x
9.40.
Rozwi ¾
a·
z nierówność
p
p
a) cos x cos( ) + sin x sin( ) > 1; c)
2 cos x + 2 sin x > 0;
5
5
2
2
2
p
p
p
b) cos(2x) cos( )
sin(2x) sin( ) >
3 ;
d)
3 cos x
1 sin x <
2 :
6
6
2
2
2
2
9.41.
Ile rozwiazań ma nierówność cos(2x) cos2 x > 0?
9.42.
Wyznacz k ¾
at nachylenia prostej l do dodatniej pó÷
osi Ox
p
p
a) l :
3x + 3y + 5 = 0;
b) l :
3x
y + 1 = 0;
c) l :
3x
2y
4 = 0:
9.43.
Znajdź równanie prostej przechodz ¾
acej przez pocz ¾
atek uk÷
ad wspó÷
rz ¾
ednych i nachylonej do dodatniej
pó÷
osi Ox pod k ¾
atem
a) 30 ;
c) 60 ;
e) 135 ;
b) 45 ;
d) 120 ;
f ) 150 :
9.44.
Wyznacz dziedzin ¾
e funkcji
a) f (x) = sin x + cos 22x;
1
p
e) f (x) = p
;
sin( x )
b) f (x) =
cos(2x);
2
r
1
sin(2x)
c) f (x) =
;
f ) f (x) =
;
cos(2x
)
cos x
8
tg x
ln(sin2(2x))
d) f (x) =
;
g) f (x) =
:
sin(2x)
5 + cos(3x
4)
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska Odpowiedzi
9.1.
a)
c)
e) 2
45
5
b)
d)
f ) 7
18
2
3
9.2.
a) 5
c) 30
e) 120
b) 20
d) 67; 5
f ) 153
9.3.
a) II ćwiartka
d) II ćwiartka
g) II ćwiartka
b) I ćwiartka
e) I ćwiartka
c) III ćwiartka
f ) IV ćwiartka
h) III ćwiartka
p
9.4.
a) tg
= 2
d) ctg
= 3
g) sin
=
2
9
2
b) cos
= 5
e) tg
=
11
13
12
p
c) sin
= 4
f ) cos
=
5
h) ctg
=
1
5
5
5
9.5.
a)
= 45
c)
= 30
e)
= 45
b)
= 60
d)
= 45
f )
= 30
p
p
9.6.
a)
3
g)
3
l)
1
2
2
2
b) - 1
p
p
2
3
3
p
h)
m)
3
2
c)
3
p
2
p
p
i)
3
n)
2
d)
3
3
2
3
p
p
3
e)
3
j)
o) 0
2
2
p
f )
1
k)
3
p) 1
9.7.
a)
<
d)
<
g)
>
b)
<
e)
<
c)
>
f )
>
h)
<
p
p
p
p
p
p
9.8.
a) sin
=
39 ; tg
=
39 ; ctg
= 5 39
e) sin
= 2 6 ; tg
=
2 6; ctg
=
6
8
5
39
5
12
1
Wskazówka: ctg x =
p
p
tg x
f ) sin
= 2 ; cos
=
21 ; tg =
2 21
p
p
p
5
5
21
b) cos
= 2 2 ; tg
=
2 ; ctg = 2 2
p
p
3
4
p
p
p
g) cos
=
2 6 ; tg = 6; ctg = 2 6
c) sin
= 2 13 ; cos
= 3 13 ; ctg
= 3
5
12
13
13
2
p
p
p
p
d) sin
=
2 5 ; cos = 5; tg = 2
h) sin
=
6 61 ; cos =
5 61 ; ctg = 5
5
5
61
61
6
9.9.
a) 4
c) 7
3
p
p
5
b)
1 +
2;
1
2
d) 20
p
9.10.
a) 1
c) 81 8 5
2p
79
p
b) 7 2
d)
3
10
9.11.
0
p
9.12.
15
9.13.
3
5
p
9.14.
a) 1
c)
4 2
d) 2
2
9
b) 8
p
p
p
9.15.
a) 3 7
c)
3 7
d)
7
8
21
b)
1
8
p
p
9.16.
a) 0
d)
3
g)
3
1
p
2
2
b) 1
3
h) 2
2
e) 1
p
9
p
c)
3 3
f ) 1
i) 8 3
p
9.17.
6
2
9.18.
a) 2
c) 2
e)
3
3
b) 4
d) 4
f ) 2
9.19.
a) 2
e) cos 2x
i) 1
sin x
b) 1
f ) sin 2x
j) sin x
c) 2
g) 1 sin 2x
2
k) 1
1
1
d)
h)
l) sin 2x
cos x
sin 2x
9.20.
a) [ 1 ; 1 ]
d) [ 1; 0]
g) [1; 3]
6 6
b) [ 1; 1]
e) [ 2 ; 2 ]
5 3
c) [ 2; 4]
f ) [ 1 ; 1]
h) [3; 5]
4
9.21.
a) fmax = 2;
fmin = 0
e) fmax = 1 ;
f
3
min = 1
5
b) fmax = 1;
fmin = 0
f ) fmax = 1 ;
fmin =
2
c) f
4
max = 1;
fmin =
1
d) fmax = 1;
fmin = 0
g) fmax = 0;
fmin =
2; 25
p
p
9.22.
m =
2 , m =
2
9.23.
m =
9 ; m = 9
2
2
p
9.24.
a) tak
c) 1+ 2
2
b) tak, okres podstawowy jest równy 2
d) [ 1 ; 2]
4
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska 9.25.
a)
f )
y
y
2
1
1
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2
x
x
−2
b)
g)
y
4
y
1
1
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2
x
x
−2
c)
h)
y
y
1
1
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2
−1
x
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2 x
d)
i)
y
y
2
2
1
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2 x
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/4π/2
π 3π /2 2π 5π /2 x
−2
e)
j)
y
y
1
1
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
1π/2
π 3π /2 2π 5π /2
−1
x
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2 x
9. Funkcje trygonometryczne 11
k)
l)
y
y
1
1
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2 x
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2
−1
x
9.26.
y
f (x) 6 0 dla x 2 ( + 2k ; 3 + 2k ); k 2
2
2 Z
1
1/2
−5π /2 −2π −3π /2 −π −π/2
π/2
π 3π /2 2π 5π /2 x
−1
9.27.
a) tak
c) tak
e) tak
g) tak
b) tak
d) tak
f ) tak
h) tak
9.28.
a) x =
+ 2k ; k
i) x = k ; k
2
2 Z
2 Z
b) x =
+ 2k ; x = 5
+ 2k ; k
j) x =
+ k ; k
6
6
2 Z
6
2 Z
c) x =
+ 2k ; x = 3
+ 2k ; k
k) x =
+ k ; k
4
4
2 Z
6
2 Z
d) x =
3
+ 2k ; x =
+ 2k ; k
l) x =
+ k ; k
4
4
2 Z
3
2 Z
e) x =
+ k
m) x =
+ k ; k
2
4
2 Z
f ) x =
+ 2k ; x =
+ 2k ; k
n) x =
+ k ; k
4
4
2 Z
3
2 Z
g) x =
+ 2k ; k 2 Z
o) x = 2
+ k ; k
3
2 Z
h) x =
+ 2k ; x =
+ 2k ; k
p) x =
+ k ; k
6
6
2 Z
2
2 Z
9.29.
a) x =
+ 2 k ; k
g) x =
+ k ; k
6
3
2 Z
12
2 Z
b) x =
+ k ; k
2
2 Z
h) brak rozwi ¾
axania
c) x = 2k ; k 2 Z
i) x =
+ k; x = 5
+ k; k 2 Z
d) x =
+ k; k
3
2
12
2
24
6
2 Z
e) x = 3 + 6k ; x = 5 + 6k ; k 2 Z
j) x = 3
+ k ; k
8
2 Z
f ) x = 3
+ k ; k
k) x = 1
+ k ; k
8
2 Z
6
2 Z
9.30.
a) x =
+ 2 k ; x = 4
+ 2 k ; k
g) x =
+ 2k ; k
15
5
15
5
2 Z
2 Z
b) x =
+ k ; x =
+ k ; k
h) brak pierwiastków
6
6
2 Z
c) x = 1 k ; k
i) x =
+k ; x =
+k ; x =
+k ; k
2
2 Z
4
4
2
2 Z
d) x = k ; x =
+ k; k
j) x =
5
+ 2k ; x =
+ 2k ; k
6
3
2 Z
6
6
2 Z
e) x = 1 k ; k
k) x =
+ 2k ; x =
+ 2k ; x = 5
+
2
2 Z
2
6
6
f ) x = 3
+ 2k ; x =
+ 2k ; x = 5
+
2k ; k 2 Z
2
6
6
2k ; k 2 Z
l) x =
+ 2k ; x =
+ 2k ; k
3
3
2 Z
Joanna Kucner, Agnieszka Niedzia÷kowska 9.31.
a) x =
k; x =
+ k; k
f ) x =
2
+ 4k ; x = 2
+ 4k ; k
2
8
2
2 Z
3
3
2 Z
b) x =
+ k ; k
4
2 Z
g) brak pierwiastków
c) brak pierwiastków
d) x =
k; x =
+ k; k
3
4
2
2 Z
h) x =
+ 2k ; x =
+ 2k ; x =
+ 2k ;
2
4
4
e) x = 1 k ; k
k
4
2 Z
2 Z
9.32.
a) 20 ; 100 ; 140
b) 60 ; 150
c) 45 ; 90
9.33.
a) Ox : (
+ 2 k ; 0); k
+ k ; 0); k
3
3
2 Z; Oy : (0; 2)
b) Ox : ( 2
2 Z; Oy : (0; 1)
9.34.
a) 2
b) 1
c) 1
d) 2
9.35.
a) m 2 ( 1; 1]
c) m
5 [ [1; +1)
2 [0; 2]
b) m 2 [ 1; +1)
d) m 2 [ 1; 1]
2 2
9.36.
a) x 2 [4 ; 5 ]
h) x
+ k ); k
3
3
2 (k ; 3
2 Z
i) x 2 (
+ k ; k ]; k 2 Z
b) x 2 ( 2 ; 2 )
2
3
3
c) x 2 [ ; )
3
2
d) x 2 [
; 0)
; ); k
j) x 2 ( + 2k ; 7 + 2k ); k
4
4
2 Z
6
[ (56
2 Z
e) x 2 (
+ k ;
+ k ); k
k) x 2 [ 5 + 2k ; 5 + 2k ]; k 2 Z
2
4
2 Z
6
6
f ) x = 2k ; k 2 Z
g) brak rozwi ¾
azań
l) x 2 ( + 2k ; 3 + 2k ); k
4
4
2 Z
9.37.
a) x 2 (
+ k ; k ]; k
f ) x
+ 2k ; 2k ); k
2
2 Z
2 [ 2
2 Z
b) x 2 [2 + 8k ; 10 + 8k ]; k
9
3
9
3
2 Z
g) x 2 (
+ k; 3
+ k); k
24
2
8
2
2 Z
c) x 2 ( k; 5
+ k); k
h) x
+ 1 + k ;
+ 1 + k ); k
3
18
3
2 Z
2 ( 4
4
2 Z
d) x 2 [
+ 1 k ;
+ 1 k ]; k
16
2
16
2
2 Z
i) x 2 ( + k; 3 + k); k
8
2
8
2
2 Z
e) x 2 (
+ 2k ; 4
+ 2k ]; k
j) x
5
5
2 Z
2 ( + 3k ; 2 + 3k ); k 2 Z
9.38.
a) x 2 (
+ k ;
+ k ); k
g) x
+ k ; k
4
4
2 Z
6= 2
2 Z
b) x 6= k ; k 2 Z
h) brak rozwi ¾
azań
c) x 2 (
+ k ;
+ k ); k
3
3
2 Z
i) x =
+ 2k ; k 2 Z
d) x 2 (
+ k;
+ k)
k
12
2
12
2
n f 2 g; k 2 Z
e) x 2 (
+ k;
+ k]; k
j) x 2 R
12
3
12
3
2 Z
f ) brak rozwi ¾
azań
k) x 2 ( + 2k ; 3 + 2k ); k
2
2
2 Z
9.39.
a) x 2 ( 3 + 2k ; + 2k ); k
e) x
+ k ); k
4
4
2 Z
2 (k ; 2
2 Z
b) x 2 R
f ) x 2 (
+ 2k ;
+ 2k )
4
4
n f2k g; k 2 Z
c) x 2 [ + k ; 3 + k ]; k
4
4
2 Z
g) x 2 ( 3 + 2k ;
+ 2k )
+
4
2
[ (2k ; 4
d) x 2 (
+ k ; k )
+ k ;
+ k ); k
2k ); x
+ 2k ;
+ 2k ); k
4
[ ( 4
2
2 Z
2 ( 2
2 Z
9.40.
a) x 2 [ 2
+ 2k ; 8
+ 2k ]; k
c) x
+ 2k ; 3
+ 2k ); k
15
15
2 Z
2 ( 4
4
2 Z
b) x 2 ( 3 + k ;
+ k ); k
d) x
+ 2k ; 13
+ 2k ); k
4
12
2 Z
2 ( 7
12
12
2 Z
9. Funkcje trygonometryczne 13
9.41.
0
9.42.
a) 45
c) 60
b) 120
p
p
9.43.
a) y =
3 x
d) y =
3x
3
b) y = x
e) y =
x
p
p
c) y =
3x
f ) y =
3 x
3
9.44.
a) R
b) fx 2 R : x 2 [
+ k ;
+ k ]; k
4
4
2 Zg
c) fx 2 R : x 6= 5
+ k; k
16
2
2 Zg
d) fx 2 R : x 6= k; k
2
2 Zg
e) fx 2 R : x 2 (4k ; 2 + 4k ]; k 2 Zg f ) fx 2 R : x 2 [2k ; + 2k ] n f + 2k 2
g; k 2 Zg
g) fx 2 R : x 6= k; k
2
2 Zg