Niech D - obszar jednospójny, P, Q ∈ C 1( D) .
Pytamy czy w obszarze D ∃ taka funkcja U ( x, y) , aby wyrażenie P(x,y)dx+Q(x,y)dy
było różniczką zupełną funkcji U w D ?
∂ U
∂ U
Oczywiście musi zachodzić P = ∂ i Q =
x
∂ .
y
Wtedy
∂ P
∂ ∂ U
∂ 2 U
∂ =
=
y
∂ y ∂ x
∂ y ∂ x
∂ Q
∂ ∂ U
∂ 2 U
∂
=
=
x
∂ x ∂ y
∂ x ∂ y
Z założenia
∂ Q ∂ P
2 U
2 U
t w .
2 U
2 U
,
∈ C ( D )
∂
∂
⇒
,
∈ C ( D )
∂
∂
∂
⇒
=
x
∂ y
∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
∂ x ∂ y
∂ y ∂ x
Zatem warunkiem koniecznym istnienia funkcji U jest równość
∂ P
∂ Q
∂ =
.
y
∂ x
Stwierdzenie
Niech D - obszar jednospójny, P, Q ∈ C 1( D) .
Wtedy
∂ P
∂ Q
=
⇔ 1ο P( x, y) dx + Q( x, y) , jest różniczką zupełną funkcji U,
∂
dy
y
∂ x
ponadto:
2ο U ( x, y) = ∫ P( x, y) dx + Q( x, y) dy + C , gdzie C ∈R , A A
0
A ( x , y - ustalony punkt 0
0
0 )
( Ax, y)- punkt zmienny, A A - krzywa regularna, 0
A A ⊂ D ,
0
czyli
x
y
U ( x, y) = ∫ P( t, y) dt + ∫ (
Q x , t
. (*)
0
) dt + C
x
y
0
0
3ο ∫ P( x, y) dx + (
Q x, y) dy = U ( ) A − U ( B) dla dowolnej krzywej AB ⊂ D .
AB
13
Uzasadnienie wzoru (*)
Dla
x = x 0
K :
, gdzie t ∈[ y , y 1
0
]
y = t
mamy x′ = 0, y′ = 1.
Podobnie dla
x = t
K :
, gdzie t ∈[ x , x 2
0
]
y = y
otrzymujemy x′ = 1, y′ = 0 .
Stąd
y
x
tw.
∫ P( x, y) dx + (
Q x, y) dy = ∫ P( x, y) dx + (
Q x, y) dy = ∫ (
Q x , t
+ ∫
,
0
) dt P( t y) dt A A
K ∪ K
0
1
2
y
x
0
0
na podstawie twierdzenia o niezależności całki krzywoliniowej od kształtu drogi całkowania.
Zatem
x
y
U ( x, y) = ∫ P( t, y) dt + ∫ (
Q x , t
.
0
) dt + C
x
y
0
0
Uwaga
Wektor W = [ P, Q] jest gradientem funkcji U, W = [ P, Q] = gra U
d
.
Definicja
Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego W.
14
Przykład
Wykazać, że (3 + 2 )
+ (2 + 4 2
x
y dx
x
y ) dy jest różniczką zupełną pewnej funkcji U ( x, y) i wyznaczyć tę funkcję (potencjał).
P = 3 x + 2 y
1
2
⇒ P, Q ∈ C (R ) Q
= 2 x + 4 y 2
∂ P
∂ Q
=
2
⇒
2 =
∃ U ( x, y)
∂
oraz U( x, y) = ∫ (3 x + 2 y) dx + (2 x + 4 y ) dy .
y
∂ x
A A
0
U ( x, y) = ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy =
A BA
A B
BA
0
0
x
y
x
y
= ∫ P( x, y 2
3
2
2
4
0 ) dx + ∫
(
Q x, y) dy = ∫ ( x + y 0 ) dx + ∫ ( x + y ) dy =
x
y
x
y
0
0
0
0
x
y
3
4
3
4
=
2
x + 2 y x
+ 2 xy +
3
y
=
2
x + 2 xy +
3
y +
C .
0
2
3
2
3
x
y
0
0
15