teoria algebra macierze id 888455

Macierze

Denicja 1 Macierz¡ nazywamy zbiór A zªo»ony z dowolnych m·n liczb rzeczwistych lub zepolonych aik rozmieszczonych w prostok¡tnej tablicy, skªadaj¡cej si¦ z m wierszy i n kolumn





a 11

a 12

. . .

a 1 n

 a



A = 

a 22

. . .

a 2 n 



 .

am 1 am 2 . . . amn

Symbol aik oznacza element nale»¡cy do i-tego wiersza i k-tej kolumny. Gdy n = m, to macierz A nazywamy kwadratow¡.

Przykªad 1 Niech





− 3

√

 0

4 − 2

3 

A = 



 100 7

23  .

√ 3 3 9

Przykªad 2 Niech





− 3

√

B =  0

4 − 2 3 62 

√

3 3

0 21

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Denicja 2 Wyznacznikiem stopnia n macierzy kwadratowej A, który oznacza¢

b¦dziemy symbolem

¯ a 11

a 12 . . . a 1 n ¯

det

A = |A| = W = ¯

a 22 . . . a 2 n ¯

¯ a

n 1

an 2 . . . ann

nazywamy liczb¦ przyporz¡dkowan¡ macierzy kwadratowej w nast¦puj¡cy sposób: 1. je±li n = 1, to przyjmijmy

det [ a 11] = |a 11 | = a 11 ,

2. je±li n > 1, to wyznacznik W okre±lamy wzorem W = a 11 A 11 − a 12 A 12 + a 13 A 13 + . . . + ( − 1) n+1 a 1 nA 1 n, gdzie A 1 k jest wyznacznikiem stopnia n − 1, który powstaje z danego wyznacznika przez skre±lenie pierwszego wiersza i k-tej kolumny, gdzie k = 1 , 2 , . . . , n.

Twierdzenie 1 Dla obliczania wyznacznika drugiego stopnia stosujemy wzór

¯ a 11 a 12 ¯

¯ a

¯ = a 11 a 22 − a 12 a 21 .

a 22

Dowód. Istotnie,

¯ a 11

a 12 ¯

¯ a

¯ = a 11 · det [ a 22] − a 12 · det [ a 21] = a 11 a 22 − a 12 a 21 .

a 22

Przykªad 3 Obliczy¢ wyznaczniki

1. ¯ − 5 2 ¯

¯ 9

3 ¯;

2. ¯ 7 − 1 ¯

¯ 4

5 ¯;

3. ¯ cos α

sin α ¯

¯ − sin α cos α ¯;

4. ¯ 1 + i 2 + 3 i ¯

¯ 3 + i 1 − i ¯.

Twierdzenie 2 (reguªa Sarrusa) Dla wyznacznika trzeciego stopnia mamy

¯ a 11 a 12

a 13 ¯

¯ a 21 a 22

a 23 ¯ = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31

a 32 a 33

+ a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Dowód. Z denicji wynika, »e

¯ a 11 a 12

a 13 ¯

¯ a 22 a 23 ¯

¯ a 21

a 23 ¯

¯ a 21 a 21 ¯

¯ a 21 a 22

a 23 ¯ = a 11 · ¯

¯ − a 12 · ¯

¯ + a 31 · ¯

a 33

a 31

a 32 a 33

= a 11( a 22 a 33 − a 23 a 32) − a 12( a 21 a 33 − a 23 a 31)

+ a 13( a 21 a 32 − a 22 a 31)

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31

+ a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Przykªad 4 Obliczy¢ wyznaczniki

¯ 4

1 − 3 ¯

1. ¯

¯ 0

1 ¯;

¯ − 5 6

7 ¯

¯ 2 − 1 0 ¯

2. ¯

¯ 1

1 ¯;

¯ 2

0 ¯

¯ 4 0

1 ¯

3. ¯

¯ 2 0 − 3 ¯.

¯ 7 1

8 ¯

Twierdzenie 3 Wªasno±ci wyznaczników:

1. Je»eli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza (lub kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (lub innej kolumny) pomno»one przez staª¡ liczb¦ k, to warto±¢ wyznacznika nie ulegnie zmianie.

2. Je»eli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza lub kolumny s¡

zerami, to warto±¢ wyznacznika wynosi zero.

3. Je»eli w wyznaczniku wyst¦puj¡ dwa wiersze lub dwie kolumny proporcjonalne (lub identyczne), to warto±¢ wyznacznika równa si¦ zero.

4. Je»eli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub pewnej kolumny) pom-no»ymy przez ten sam czynnik, to warto±¢ wyznacznika b¦dzie przez ten czynnik pomno»ona, czyli

¯ ka 11

a 12

. . .

a 1 n ¯

¯ a 11

a 12

. . .

a 1 n ¯

¯ ka 21

a 22

. . .

a 2 n ¯

¯ a 21

a 22

. . .

a 2 n ¯

¯ = k ¯

¯ .

¯ ka

m 1

am 2 . . . amn

am 1 am 2 . . . amn

5. Je»eli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn w tym samym porz¡dku, to warto±¢ wyznacznika nie ulegnie zmianie.

6. Je»eli w wyznaczniku przestawimy mi¦dzy sob¡ dwa dowolne wiersze (lub dwie dowolne kolumny), to warto±¢ wyznacznika zmieni si¦ na przeciwn¡.

7. Je»eli w wyznaczniku wszystkie elementy znajduj¡ce si¦ nad (lub pod) gªówn¡

przek¡tn¡ s¡ róne zero, to warto±¢ wyznacznika równa si¦ iloczynowi wszys-tkich elementów na gªównej przek¡tnej.

Przykªad 5 Obliczy¢ warto±¢ wyznacznika:

¯ 1 2

− 1 ¯

¯ 0 3 − 1

0 ¯

¯ .

¯ 1 2

1 ¯

¯ 0 0 − 1

2 ¯

Niech b¦dzie dana macierz kwadratowa A stopnia n i niech i, k b¦dzie par¡

liczb naturalnych takich, »e i ≤ n i k ≤ n. Skre±laj¡c i-ty wiersz i k-t¡ kolumn¦, otrzymujemy podmacierz kwadratow¡ stopnia n − 1.

Denicja 3 Minorem stopnia n − 1 nazywamy wyznacznik z tej podmacierzy.

Minor ten oznaczamy Mik i mówimy, »e jest to minor odpowiadaj¡cy wyrazowi aik.

Denicja 4 Dopeªnieniem algebraicznym wyrazu aik w macierzy kwadratowej A nazywamy minor odpowiedaj¡cy wyrazowi aik pomno»ony przez ( − 1) i+ k. Dopeªnienie algebraiczne wyrazu aik oznaczamy Aik. Zatem Aik = ( − 1) i+ kMik.





4 0

Przykªad 6 Niech A =  2 0 − 3 .

7 1

¯ 0 1 ¯

21 = ( − 1)2+1 ¯ 1 8 ¯ = ( − 1)3(0 · 8 − 1 · 1) = 1 .

Twierdzenie 4 Niech b¦dzie dany wyznacznik stopnia n, gdzie n ≥ 2,

¯ a 11

. . . a 1 k . . . a 1 n ¯

W = ¯

¯ ai 1

. . .

aik

. . .

ain ¯

¯ a

n 1

. . . ank . . . ann

i niech i, k b¦d¡ liczbami naturalnymi mniejszymi lub równymi n. Suma wyrazów i-tego wiersza pomno»onych przez dopeªnienia algebraiczne tych wyrazów oraz suma wyrazów i-tej kolumny pomno»ej przez dopeªnienia algebraiczne tych wyrazów s¡ dla i = 1 , 2 , . . . , n oraz dla k = 1 , 2 , . . . , n równe warto±ci danego wyznacznika:

W = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + . . . + ainAin =

aikAik,

k=1

W = a 1 kA 1 k + a 2 kA 2 k + . . . + ankAnk =

aikAik.

i=1

Przykªad 7 Obliczy¢

¯ 220 − 2 − 1 ¯

1. ¯

¯ 330 − 3 − 5 ¯;

¯ 150

19 ¯

¯ 1

− 2 4 ¯

2. ¯ 0

3 ¯

¯ .

¯ 2 − 1

0 ¯

¯ 3

5 ¯

Rz¡d macierzy

Denicja 5 Mówimy, »e macierz





a 11

a 12

. . .

a 1 n

 a



A = 

a 22

. . .

a 2 n 

 . . .

. . .

. . . 

am 1 am 2 . . . amn

jest rz¦du r, gdy istnieje cho¢ jeden ró»ny od zera minor stopnia r, a wszystkie minory stopnia wy»szego ni» r s¡ równe zero. Rz¡d macierzy b¦dziemy oznacza¢

rz( A).

Wniosek 1 Rz¡d macierzy A nie jest wi¦kszy od mniejszej z liczb m i n czyli rz( A) ≤ min {m, n}.

Twierdzenie 5 Rz¡d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy

1. przestawimy wiesze (kolumny),

2. pomno»ymy wiersz lub kolumn¦ przez liczb¦ ró»n¡ od zera,

3. do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumn¦),

4. opu±cimy wiersz (kolumn¦) o elementach proporcjonalnych do innego wiersza (kolumny)

Przykªad 8 Obliczy¢ rz¡d macierzy





1 2 3

 0 1 2 − 1 3 

A = 



 1 3 5

8  .

2 5 8

Odejmujemy od wiersza 3-go wiersz 1-szy i otrzymujemy macierz









1 2 3











− 1



 0 1 2 − 1

3 

 1 − 1 3 − 2 5 − 3 3 − 4 8 − 5  =  0 1 2 − 1

3  .

2 5 8

Teraz od wiersza 4-tego wiersza odejmujemy 1-szy wiersz pomno»ony przez 2 i mamy









1 2 3











− 1



 0 1 2 − 1 3 



− 1

 =  0 1 2 − 1 3  .

2 − 2 · 1 5 − 2 · 2 8 − 2 · 3 7 − 2 · 4 13 − 2 · 5

0 1 2 − 1 3

Zauwa»my, »e wiersze 2-gi, 3-ci i 4-ty s¡ identyczne, wi¦c

1 2 3

rzA) = rz

0 1 2 − 1 3

Pomno»ymy teraz 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 2) i doda¢ do 2-giej, wi¦c

1 2 + ( − 2) · 1 3

1 0 3

rzA = rz

= rz

0 1 + ( − 2) · 0 2 − 1 3

0 1 2 − 1 3

I tak dalej pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez (-3) i otrzymujemy

1 0 3 + ( − 3) · 1

1 0 0

rzA = rz

= rz

0 1 2 + ( − 3) · 0 − 1 3

0 1 2 − 1 3

Teraz pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 4) i dodamy do czwartej

1 0 0

4 + ( − 4) · 1

1 0 0

rzA = rz

= rz

0 1 2 − 1 + ( − 4) · 0 3

0 1 2 − 1 3

W ko«cu pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 5) i dodamy do 5-tej:

1 0 0

5 + ( − 5) · 1

1 0 0

rzA = rz

= rz

0 1 2 − 1 3 + ( − 5) · 0

0 1 2 − 1 3

Kolumny 3-cia, 4-ta i 5-ta s¡ proporcjonalne do 2-giej, wi¦c

1 0

rzA = rz

0 1

Poniewa»

¯ 1 0 ¯

¯ 0 1 ¯ = 1 − 0 = 1 ,

wi¦c rz( A) = 2.

Przykªad 9 Obliczy¢ rz¡d macierzy





2 − 1 3 0

A =  4 − 2 6 0  .

1 2

Zauwa»my, »e 1-szy wiersz jest proporcjonalny do 2-go, wi¦c

2 − 1 3 0

rzA = rz

1 2

Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez 0 , 5, wtedy

2 − 1 3 0 · 0 , 5

2 − 1 3 0

rzA = rz

= rz

1 2 · 0 , 5

1 1

Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez ( − 5) i dodamy do 1-szej, sk¡d

2 + ( − 5) · 0 − 1 3 0

2 − 1 3 0

rzA = rz

= rz

5 + ( − 5) · 1

1 1

Teraz od 3-ciej kolumny odejmujemy 4-t¡, sk¡d

2 − 1 3 − 0 0

2 − 1 3 0

rzA = rz

= rz

1 − 1 1

0 1

Zauwa»my, »e kolumny 1-sza, 2-ga i 3-cia s¡ proporcjonalne, wi¦c

2 0

rzA = rz

0 1

Skoro

¯ 2 0 ¯

¯ 0 1 ¯ = 2 ,

to rzA = 2.

Dziaªania na macierzach

Denicja 6 Macierz prostok¡tn¡ o m wierszach i n kolumnach nazywamy macierz¡

typu ( m, n).

Denicja 7 Macierze [ aik], [ bik] nazywamy równymi, gdy s¡ tego samego typu i odpowiednie elementy s¡ równe, tzn.

∀ i=1 , 2 ,...,m aik = bik.

k=1 , 2 ,...,n

Denicja 8 Sum¡ dwu macierzy [ aik], [ bik] tego samego typu, któr¡ oznacza¢

b¦dziemy [( a + b) ik], nazywamy macierz, której elementy obliczamy ze wzoru:

∀ i=1 , 2 ,...,m ( a + b) ik = aik + bik.

k=1 , 2 ,...,n

Przykªad 10 Niech

2 3

1 − 1

A =

; B =

3 4 − 2

− 1

Obliczy¢ sum¦ tych macierzy.

Denicja 9 Ró»nic¡ dwu macierzy [ aik], [ bik] tego samego typu, któr¡ oznacza¢

b¦dziemy ( a − b) ik, nazywamy macierz, której elementy obliczamy ze wzoru

∀ i=1 , 2 ,...,m ( a − b) ik = aik − bik.

k=1 , 2 ,...,n

Przykªad 11 Niech

2 3

1 − 1

A =

; B =

3 4 − 2

− 1

Obliczy¢ ró»nic¦ tych macierzy.

Denicja 10 Iloczyn macierzy [ aik] przez liczb¦ α nazywamy macierz [( αa) ik], której elementy obliczamy ze wzoru:

∀ i=1 , 2 ,...,m ( αa) ik = αaik.

k=1 , 2 ,...,n

Przykªad 12 Niech

2 3

A =

3 4 − 2

i niech α = 2. Znale¹¢ macierz αA.

Denicja 11 Iloczynem macierzy [ aik] typu ( m, p) i [ bik] typu ( p, n) nazywamy macierz [ cik] typu ( m, n), gdzie

∀ i=1 , 2 ,...,m cik =

aijbjk.

k=1 , 2 ,...,n

j=1

Przykªad 13 Niech









2 − 3

A =  1

2  , B =  − 1 4  .

− 1

Obliczy¢ iloczyn tych macierzy.

Macierz transponowana

Denicja 12 Macierz¡ transponowan¡ wzgl¦dem danej macierzy A, któr¡ oznaczamy symbolem A0 nazywamy macierz, która powstaje z A przez zamian¦

wierszy na kolumny w tym samym porz¡dku.

Przykªad 14 Niech





2 − 3 4

A =

, B =  − 1 4  .

Transponowa¢ macierze A i B.

Macierz odwrotna do macierzy A

Denicja 13 Macierz kwadratow¡ nazywamy nieosobliw¡, gdy jej wyznacznik jest ró»ny od zera.

Denicja 14 Macierz odwrotn¡ macierzy kwadratowej A, któr¡ oznaczamy symbolem A− 1, nazywamy tak¡ macierz, która speªnia równo±ci

AA− 1 = E, A− 1 A = E,

gdzie E oznacza macierz jednostkow¡.

Denicja 15 Macierz¡ doª¡czon¡ macierzy kwadratowej A, któr¡ b¦dziemy oznacza¢ AD, nazywamy macierz, która powstaje z macierzy A w nast¦puj¡cy sposób: najpierw ka»dy element aik zast¦pujemy jego dopeªnieniem algebraicznym Aik, a nast¦pnie otrzyman¡ macierz transponujemy.

Aby obliczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy kwadratowej A nale»y: (1) obliczy¢ wyznacznik macierzy A (je±li det A 6= 0, to mo»emy obliczy¢

macierz odwrotn¡ do macierzy A);

(2) wyznaczy¢ macierz dopeªnie« algebraicznych AD;

(3) obliczamy tworzymy macierz odwrotn¡ A− 1, korzystaj¡c ze wzoru AD

A− 1 =

det A

Przykªad 15 Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy





2 7 3

A =  3 9 4  .

1 5 3

Najpierw obliczymy warto±¢ wyznacznika det A:

¯ 2 7 3 ¯

¯ 2 − 3 − 3 ¯

det

− 3 − 3

A = ¯

¯ 3 9 4 ¯ = ¯ 3 − 6 − 5 ¯ = ¯

¯ = − 3 .

− 6 − 5

1 5 3 ¯

¯ 1

0 ¯

Poniewa» det A 6= 0, wi¦c macierz A jest nieosobliwa, a zatem mo»emy wyznaczy¢ macierz do niej odwrotn¡. Wyznaczymy teraz macierz doª¡czon¡.

1. Najpierw wyznaczymy macierz minorów: [ Mik], gdzie Mik jest minorem, który powstaje ze skre±lenia i-tego wiersza i k-tej kolumny. Zatem

¯ 9 4 ¯

• M

11 = ¯ 5 3 ¯ = 7;

¯ 3 4 ¯

• M

12 = ¯ 1 3 ¯ = 5;

¯ 3 9 ¯

• M

13 = ¯ 1 5 ¯ = 6;

¯ 7 3 ¯

• M

21 = ¯ 5 3 ¯ = 6;

¯ 2 3 ¯

• M

22 = ¯ 1 3 ¯ = 3;

¯ 2 7 ¯

• M

23 = ¯ 1 5 ¯ = 3;

¯ 7 3 ¯

• M

31 = ¯ 9 4 ¯ = 1;

¯ 2 3 ¯

• M

32 = ¯ 3 4 ¯ = − 1;

¯ 2 7 ¯

• M

33 = ¯ 3 9 ¯ = − 3.

Wobec tego





[ M





ik] =

1 − 1 − 3

2. Tworzymy macierz dopeªnie« algebraicznych mno»¡c wszystkie elementy macierz ( Mik) przez ( − 1) i+ k, zatem





− 5

[ A





ik] =

− 6

− 3

3. Tworzymy macierz doª¡czon¡ AD macierzy A :





− 6

AD =  − 5

1  .

− 3 − 3

4. Tworzymy macierz odwrotn¡ ze wzoru A− 1 = AD

det , wi¦c









− 6

− 7

− 1

A− 1 =

 − 5

1  =  5

− 1 − 1  .

− 3

− 3 − 3

− 2

Uwaga 1 Je±li A ∈ M 2( K) jest macierz¡ nieosobliw¡, to macierz odwrotn¡

A− 1 mo»na wyznaczy¢ rozwi¡zuj¡c odpowiedni ukªad równa«.

Przykªad 16 Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy A danej wzorem:

1 2

3 4

Zauwa»my, »e

¯ 1 2 ¯

det A = ¯

¯ 3 4 ¯ = 4 − 6 = − 2 ,

wi¦c A jest macierz¡ nieosobliw¡.

I sposób Wyznaczamy macierz dopeªnie« algeraicznych:

• A 11 = ( − 1)1+1 | 4 | = 4;

• A 12 = ( − 1)1+2 | 3 | = − 3;

• A 21 = ( − 1)2+1 | 2 | = − 2;

• A 22 = ( − 1)2+2 | 1 | = 1.

Wobec tego

− 3

[ Aik] =

− 2

1 .

Wyznaczamy macierz doª¡czon¡:

− 2

AD =

− 3

1 .

Wyznaczamy macierz odwrotn¡:

− 2

A− 1 =

AD =

det A

− 2

− 3

3 / 2 − 1 / 2 .

II sposób Macierze A− 1 i A musz¡ speªnia¢ nas¦puj¡cy warunek: AA− 1 = E.

Zatem je±li

a b

A− 1 =

c d

¸ ·

− 2

a b

1 0

− 3

c d

0 1

sk¡d

a + 2 c

b + 2 d

1 0

3 a + 4 c 3 b + 4 d

0 1

Wobec tego otrzymujemy nast¦puj¡cy ukªad równa«:





 a + 2 c = 1

 b + 2 d = 0 .



 3 a + 4 c = 0

 3 b + 4 d = 1

Sk¡d





 a = − 2

 b = 1



 c = 3



d = − 12

Zatem

− 2

A− 1 =

3 / 2 − 1 / 2

lad macierzy

Denicja 16 Niech A b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n, tzn. macierz A ma n wierszy i n kolumn. ladem macierzy A, który b¦dziemy oznacza¢ Tr A, nazywamy wyra»enie:

Tr A =

aii.

i=1

Przykªad 17 Niech





3 2 5

A =  1 3 2  .

0 1 4

Wyliczy¢ ±lad macierzy A.

Macierze idempotentne

Denicja 17 Macierz A nazywamy idempotentn¡ je±li

A · A = A.

Niech

a b

A =

. Wyznaczymy warto±ci a, b, c i d takie, »e c d

¸ ·

a b

c d

Po wykonaniu mno»enia otrzymujemy:

a 2 + bc ab + bd

ac + cd cb + d 2

c d

Wobec tego trzeba rozwi¡za¢ ukªad równa«:





 a 2 + bc = a



 ab + bd = b



 ac + cd = c



 cb + d 2 = d

Najpierw rozpatrzymy drugie równanie:

ab + bd = b,

sk¡d

b( a + d − 1) = 0 ,

zatem b = 0 lub a + d = 1. Rozwa»ymy dwa przypadki: 13

(1) b = 0. Podstawimy b = 0 do ukªadu równa«, wtedy





 a 2 = a



ac + cd = c



 d 2 = d

Z pierwszego równania wynika, »e a = 0 lub a = 1. A z czwartego równania wynika, »e d = 0 lub d = 1. Rozwa»my cztery przypadki:

• a = d = 0. Wtedy c = 0. Sprawdzmy

¸ ·

0 0

• a = d = 1. Wówczas c = 1 c + 1 c, sk¡d c = 0, sprawd¹my:

¸ ·

1 0

1 + 0 0 + 0

1 0

0 1

0 + 0 0 + 1

0 1

• a = 0 i d = 1. Zatem c = c, sk¡d wynika, »e c mo»e by¢ dowoln¡

liczb¡ rzeczywist¡. Sprawdzimy

¸ ·

0 0

c 1

• a = 1 i d = 0. St¡d c = c, wi¦c c jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡.

Zatem

¸ ·

1 0

c 0

(2) a + d = 1. Zaªó»my, »e b 6= 0. St¡d wynika, »e a = 1 − d. Zatem





 (1 − d)2 + bc = 1 − d



(1 − d) c + cd = c



 bc + d 2 = d

St¡d wynika, »e





 1 − 2 d + d 2 + bc = 1 − d



c − dc + cd = c



 bc + d 2 = d

sk¡d





 bc = d − d 2



c = c



 bc = d − d 2

wi¦c

( bc = d − d 2

c jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡

Wobec tego





 a = 1 − d



 b jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡ ró»n¡ od zera



 c = d−d 2



 d jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡

Zatem

1 − d b

A =

d−d 2

Sprawdzmy

# "

1 − d b

(1 − d)2 + d − d 2

(1 − d) b + bd

A · A =

d−d 2

( d−d 2)(1 −d) + ( d−d 2) d

d − d 2 + d 2

1 − d b

= A

d−d 2

Przykªad 18 Niech b = 5 i d = 3. Wtedy a = 1 − d = 1 − 3 = − 2 oraz c = d−d 2 = 3 − 9 = − 6 , wi¦c

− 2

A =

− 6

jest macierz¡ idempotentn¡.

Istotnie,

¸ ·

− 2

4 − 6

− 10 + 15

− 2

A · A =

− 6

12 − 18

− 6 + 9

− 6

Przykªad 19 Czy macierze













1 0 0

1 0 1

1 0 0

A =  0 1 0  , B =  0 1 0  i C =  5 0 2 

0 0 1

1 0 1

0 0 1

s¡ idempotentne?

Macierz ortogonalna

Denicja 18 Macierz kwadratow¡ A nazywamy ortogonaln¡, gdy macierz transponowana jest jednocze±nie odwrotn¡ wzgl¦dem niej, tzn.

AA0 = A0A = E.

Twierdzenie 6 Macierz A = ( aik) jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy ½ 0 gdy i 6= j;

ai 1 aj 1 + ai 2 aj 2 + . . . ainajn =

gdy i = j.

Wniosek 2 Macierz A = [ aik] stopnia 2 jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy



 a 211 + a 212 = 1

a 2

 21 + a 222 = 1

a 11 a 21 + a 12 a 22 = 0 .

Przykªad 20 Zbada¢, czy dane macierze s¡ ortogonalne:

√

1. A =

√

− 3

√

− 1

√

2. A =

− 1

√

Wniosek 3 Macierz A = [ aik] stopnia 3 jest ortogonalna, wtedy i tylko wtedy gdy





 a 2

 11 + a 212 + a 213 = 1



 a 2

 21 + a 222 + a 223 = 1

a 231 + a 232 + a 233 = 1



 a

 11 a 21 + a 12 a 22 + a 13 a 23 = 0



 a

 11 a 31 + a 12 a 32 + a 13 a 33 = 0

a 21 a 31 + a 22 a 32 + a 23 a 23 = 0 .

Przykªad 21 Pokaza¢, »e przy ustalonym x ∈ IR macierze









cos x

sin x

cos x 0 − sin x

A =  − sin x cos x 0  i B = 



sin x

cos x

s¡ ortogonalne.

Przykªad 22 Dla jakiej warto±ci parametru t nast¦puj¡ce macierze s¡ ortogonalne:

2 t − 1

A =

i B =

1 3 t