Denicja 1 Macierz¡ nazywamy zbiór A zªo»ony z dowolnych m·n liczb rzeczwistych lub zepolonych aik rozmieszczonych w prostok¡tnej tablicy, skªadaj¡cej si¦ z m wierszy i n kolumn
a 11
a 12
. . .
a 1 n
a
A =
21
a 22
. . .
a 2 n
·
·
·
·
.
am 1 am 2 . . . amn
Symbol aik oznacza element nale»¡cy do i-tego wiersza i k-tej kolumny. Gdy n = m, to macierz A nazywamy kwadratow¡.
Przykªad 1 Niech
1
2
− 3
7
√
0
4 − 2
3
A =
100 7
19
23 .
√ 3 3 9
0
Przykªad 2 Niech
1
2
− 3
7
9
√
B = 0
4 − 2 3 62
√
.
3 3
9
0 21
Wyznacznik macierzy kwadratowej
Denicja 2 Wyznacznikiem stopnia n macierzy kwadratowej A, który oznacza¢
b¦dziemy symbolem
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
a 12 . . . a 1 n ¯
¯
¯
det
a
A = |A| = W = ¯
21
a 22 . . . a 2 n ¯
¯
¯
¯
·
·
·
·
¯
¯ a
¯
n 1
an 2 . . . ann
nazywamy liczb¦ przyporz¡dkowan¡ macierzy kwadratowej w nast¦puj¡cy sposób: 1. je±li n = 1, to przyjmijmy
det [ a 11] = |a 11 | = a 11 ,
2. je±li n > 1, to wyznacznik W okre±lamy wzorem W = a 11 A 11 − a 12 A 12 + a 13 A 13 + . . . + ( − 1) n+1 a 1 nA 1 n, gdzie A 1 k jest wyznacznikiem stopnia n − 1, który powstaje z danego wyznacznika przez skre±lenie pierwszego wiersza i k-tej kolumny, gdzie k = 1 , 2 , . . . , n.
1
Twierdzenie 1 Dla obliczania wyznacznika drugiego stopnia stosujemy wzór
¯
¯
¯
¯
¯ a 11 a 12 ¯
¯ a
¯ = a 11 a 22 − a 12 a 21 .
21
a 22
Dowód. Istotnie,
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
a 12 ¯
¯ a
¯ = a 11 · det [ a 22] − a 12 · det [ a 21] = a 11 a 22 − a 12 a 21 .
21
a 22
Przykªad 3 Obliczy¢ wyznaczniki
¯
¯
¯
¯
1. ¯ − 5 2 ¯
¯ 9
3 ¯;
¯
¯
¯
¯
2. ¯ 7 − 1 ¯
¯ 4
5 ¯;
¯
¯
¯
¯
3. ¯ cos α
sin α ¯
¯ − sin α cos α ¯;
¯
¯
¯
¯
4. ¯ 1 + i 2 + 3 i ¯
¯ 3 + i 1 − i ¯.
Twierdzenie 2 (reguªa Sarrusa) Dla wyznacznika trzeciego stopnia mamy
¯
¯
¯
¯
¯ a 11 a 12
a 13 ¯
¯
¯
¯ a 21 a 22
a 23 ¯ = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31
¯
.
a
¯
31
a 32 a 33
+ a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
Dowód. Z denicji wynika, »e
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a 11 a 12
a 13 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ a 22 a 23 ¯
¯ a 21
a 23 ¯
¯ a 21 a 21 ¯
¯ a 21 a 22
a 23 ¯ = a 11 · ¯
¯ − a 12 · ¯
¯ + a 31 · ¯
¯
¯
a
a
a
a
¯
32
a 33
31
a 33
31
a 31
31
a 32 a 33
= a 11( a 22 a 33 − a 23 a 32) − a 12( a 21 a 33 − a 23 a 31)
.
+ a 13( a 21 a 32 − a 22 a 31)
= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31
+ a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
2
Przykªad 4 Obliczy¢ wyznaczniki
¯
¯
¯
¯
¯ 4
1 − 3 ¯
1. ¯
¯
¯ 0
2
1 ¯;
¯ − 5 6
7 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 − 1 0 ¯
2. ¯
¯
¯ 1
1
1 ¯;
¯ 2
1
0 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 4 0
1 ¯
3. ¯
¯
¯ 2 0 − 3 ¯.
¯ 7 1
8 ¯
Twierdzenie 3 Wªasno±ci wyznaczników:
1. Je»eli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza (lub kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (lub innej kolumny) pomno»one przez staª¡ liczb¦ k, to warto±¢ wyznacznika nie ulegnie zmianie.
2. Je»eli w wyznaczniku wszystkie elementy jednego wiersza lub kolumny s¡
zerami, to warto±¢ wyznacznika wynosi zero.
3. Je»eli w wyznaczniku wyst¦puj¡ dwa wiersze lub dwie kolumny proporcjonalne (lub identyczne), to warto±¢ wyznacznika równa si¦ zero.
4. Je»eli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub pewnej kolumny) pom-no»ymy przez ten sam czynnik, to warto±¢ wyznacznika b¦dzie przez ten czynnik pomno»ona, czyli
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ka 11
a 12
. . .
a 1 n ¯
¯ a 11
a 12
. . .
a 1 n ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ka 21
a 22
. . .
a 2 n ¯
¯ a 21
a 22
. . .
a 2 n ¯
¯
¯ = k ¯
¯ .
¯
·
·
·
·
¯
¯
·
·
·
·
¯
¯ ka
¯
¯
¯
m 1
am 2 . . . amn
am 1 am 2 . . . amn
5. Je»eli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn w tym samym porz¡dku, to warto±¢ wyznacznika nie ulegnie zmianie.
6. Je»eli w wyznaczniku przestawimy mi¦dzy sob¡ dwa dowolne wiersze (lub dwie dowolne kolumny), to warto±¢ wyznacznika zmieni si¦ na przeciwn¡.
7. Je»eli w wyznaczniku wszystkie elementy znajduj¡ce si¦ nad (lub pod) gªówn¡
przek¡tn¡ s¡ róne zero, to warto±¢ wyznacznika równa si¦ iloczynowi wszys-tkich elementów na gªównej przek¡tnej.
Przykªad 5 Obliczy¢ warto±¢ wyznacznika:
¯
¯
¯
¯
¯ 1 2
0
− 1 ¯
¯
¯
¯ 0 3 − 1
0 ¯
¯
¯ .
¯ 1 2
0
1 ¯
¯ 0 0 − 1
2 ¯
3
Niech b¦dzie dana macierz kwadratowa A stopnia n i niech i, k b¦dzie par¡
liczb naturalnych takich, »e i ≤ n i k ≤ n. Skre±laj¡c i-ty wiersz i k-t¡ kolumn¦, otrzymujemy podmacierz kwadratow¡ stopnia n − 1.
Denicja 3 Minorem stopnia n − 1 nazywamy wyznacznik z tej podmacierzy.
Minor ten oznaczamy Mik i mówimy, »e jest to minor odpowiadaj¡cy wyrazowi aik.
Denicja 4 Dopeªnieniem algebraicznym wyrazu aik w macierzy kwadratowej A nazywamy minor odpowiedaj¡cy wyrazowi aik pomno»ony przez ( − 1) i+ k. Dopeªnienie algebraiczne wyrazu aik oznaczamy Aik. Zatem Aik = ( − 1) i+ kMik.
4 0
1
Przykªad 6 Niech A = 2 0 − 3 .
7 1
8
¯
¯
¯ 0 1 ¯
A
¯
¯
21 = ( − 1)2+1 ¯ 1 8 ¯ = ( − 1)3(0 · 8 − 1 · 1) = 1 .
Twierdzenie 4 Niech b¦dzie dany wyznacznik stopnia n, gdzie n ≥ 2,
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
. . . a 1 k . . . a 1 n ¯
¯
¯
¯
·
·
·
·
·
¯
W = ¯
¯
¯ ai 1
. . .
aik
. . .
ain ¯
¯
¯
¯
·
·
·
·
·
¯
¯ a
¯
n 1
. . . ank . . . ann
i niech i, k b¦d¡ liczbami naturalnymi mniejszymi lub równymi n. Suma wyrazów i-tego wiersza pomno»onych przez dopeªnienia algebraiczne tych wyrazów oraz suma wyrazów i-tej kolumny pomno»ej przez dopeªnienia algebraiczne tych wyrazów s¡ dla i = 1 , 2 , . . . , n oraz dla k = 1 , 2 , . . . , n równe warto±ci danego wyznacznika:
n
X
W = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + . . . + ainAin =
aikAik,
k=1
n
X
W = a 1 kA 1 k + a 2 kA 2 k + . . . + ankAnk =
aikAik.
i=1
Przykªad 7 Obliczy¢
¯
¯
¯
¯
¯ 220 − 2 − 1 ¯
1. ¯
¯
¯ 330 − 3 − 5 ¯;
¯ 150
2
19 ¯
4
¯
¯
¯
¯ 1
1
− 2 4 ¯
¯
¯
2. ¯ 0
1
1
3 ¯
¯
¯ .
¯ 2 − 1
1
0 ¯
¯ 3
1
2
5 ¯
Rz¡d macierzy
Denicja 5 Mówimy, »e macierz
a 11
a 12
. . .
a 1 n
a
A =
21
a 22
. . .
a 2 n
. . .
. . .
. . .
. . .
am 1 am 2 . . . amn
jest rz¦du r, gdy istnieje cho¢ jeden ró»ny od zera minor stopnia r, a wszystkie minory stopnia wy»szego ni» r s¡ równe zero. Rz¡d macierzy b¦dziemy oznacza¢
rz( A).
Wniosek 1 Rz¡d macierzy A nie jest wi¦kszy od mniejszej z liczb m i n czyli rz( A) ≤ min {m, n}.
Twierdzenie 5 Rz¡d macierzy nie ulegnie zmianie, gdy
1. przestawimy wiesze (kolumny),
2. pomno»ymy wiersz lub kolumn¦ przez liczb¦ ró»n¡ od zera,
3. do jednego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumn¦),
4. opu±cimy wiersz (kolumn¦) o elementach proporcjonalnych do innego wiersza (kolumny)
Przykªad 8 Obliczy¢ rz¡d macierzy
1 2 3
4
5
0 1 2 − 1 3
A =
1 3 5
3
8 .
2 5 8
7
13
Odejmujemy od wiersza 3-go wiersz 1-szy i otrzymujemy macierz
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
0
1
2
− 1
3
0 1 2 − 1
3
1 − 1 3 − 2 5 − 3 3 − 4 8 − 5 = 0 1 2 − 1
3 .
2
5
8
7
13
2 5 8
7
13
Teraz od wiersza 4-tego wiersza odejmujemy 1-szy wiersz pomno»ony przez 2 i mamy
1
2
3
4
5
1 2 3
4
5
0
1
2
− 1
3
0 1 2 − 1 3
0
1
2
− 1
3
= 0 1 2 − 1 3 .
2 − 2 · 1 5 − 2 · 2 8 − 2 · 3 7 − 2 · 4 13 − 2 · 5
0 1 2 − 1 3
5
Zauwa»my, »e wiersze 2-gi, 3-ci i 4-ty s¡ identyczne, wi¦c
·
¸
1 2 3
4
5
rzA) = rz
.
0 1 2 − 1 3
Pomno»ymy teraz 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 2) i doda¢ do 2-giej, wi¦c
·
¸
·
¸
1 2 + ( − 2) · 1 3
4
5
1 0 3
4
5
rzA = rz
= rz
.
0 1 + ( − 2) · 0 2 − 1 3
0 1 2 − 1 3
I tak dalej pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez (-3) i otrzymujemy
·
¸
·
¸
1 0 3 + ( − 3) · 1
4
5
1 0 0
4
5
rzA = rz
= rz
.
0 1 2 + ( − 3) · 0 − 1 3
0 1 2 − 1 3
Teraz pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 4) i dodamy do czwartej
·
¸
·
¸
1 0 0
4 + ( − 4) · 1
5
1 0 0
0
5
rzA = rz
= rz
.
0 1 2 − 1 + ( − 4) · 0 3
0 1 2 − 1 3
W ko«cu pomno»ymy 1-sz¡ kolumn¦ przez ( − 5) i dodamy do 5-tej:
·
¸
·
¸
1 0 0
0
5 + ( − 5) · 1
1 0 0
0
0
rzA = rz
= rz
.
0 1 2 − 1 3 + ( − 5) · 0
0 1 2 − 1 3
Kolumny 3-cia, 4-ta i 5-ta s¡ proporcjonalne do 2-giej, wi¦c
·
¸
1 0
rzA = rz
.
0 1
Poniewa»
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 ¯
¯ 0 1 ¯ = 1 − 0 = 1 ,
wi¦c rz( A) = 2.
Przykªad 9 Obliczy¢ rz¡d macierzy
2 − 1 3 0
A = 4 − 2 6 0 .
5
0
1 2
Zauwa»my, »e 1-szy wiersz jest proporcjonalny do 2-go, wi¦c
·
¸
2 − 1 3 0
rzA = rz
.
5
0
1 2
Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez 0 , 5, wtedy
·
¸
·
¸
2 − 1 3 0 · 0 , 5
2 − 1 3 0
rzA = rz
= rz
.
5
0
1 2 · 0 , 5
5
0
1 1
6
Pomno»ymy 4-t¡ kolumn¦ przez ( − 5) i dodamy do 1-szej, sk¡d
·
¸
·
¸
2 + ( − 5) · 0 − 1 3 0
2 − 1 3 0
rzA = rz
= rz
.
5 + ( − 5) · 1
0
1 1
0
0
1 1
Teraz od 3-ciej kolumny odejmujemy 4-t¡, sk¡d
·
¸
·
¸
2 − 1 3 − 0 0
2 − 1 3 0
rzA = rz
= rz
.
0
0
1 − 1 1
0
0
0 1
Zauwa»my, »e kolumny 1-sza, 2-ga i 3-cia s¡ proporcjonalne, wi¦c
·
¸
2 0
rzA = rz
.
0 1
Skoro
¯
¯
¯
¯
¯ 2 0 ¯
¯ 0 1 ¯ = 2 ,
to rzA = 2.
Dziaªania na macierzach
Denicja 6 Macierz prostok¡tn¡ o m wierszach i n kolumnach nazywamy macierz¡
typu ( m, n).
Denicja 7 Macierze [ aik], [ bik] nazywamy równymi, gdy s¡ tego samego typu i odpowiednie elementy s¡ równe, tzn.
∀ i=1 , 2 ,...,m aik = bik.
k=1 , 2 ,...,n
Denicja 8 Sum¡ dwu macierzy [ aik], [ bik] tego samego typu, któr¡ oznacza¢
b¦dziemy [( a + b) ik], nazywamy macierz, której elementy obliczamy ze wzoru:
∀ i=1 , 2 ,...,m ( a + b) ik = aik + bik.
k=1 , 2 ,...,n
Przykªad 10 Niech
·
¸
·
¸
2 3
1
1 − 1
2
A =
; B =
.
3 4 − 2
3
1
− 1
Obliczy¢ sum¦ tych macierzy.
Denicja 9 Ró»nic¡ dwu macierzy [ aik], [ bik] tego samego typu, któr¡ oznacza¢
b¦dziemy ( a − b) ik, nazywamy macierz, której elementy obliczamy ze wzoru
∀ i=1 , 2 ,...,m ( a − b) ik = aik − bik.
k=1 , 2 ,...,n
7
·
¸
·
¸
2 3
1
1 − 1
2
A =
; B =
.
3 4 − 2
3
1
− 1
Obliczy¢ ró»nic¦ tych macierzy.
Denicja 10 Iloczyn macierzy [ aik] przez liczb¦ α nazywamy macierz [( αa) ik], której elementy obliczamy ze wzoru:
∀ i=1 , 2 ,...,m ( αa) ik = αaik.
k=1 , 2 ,...,n
Przykªad 12 Niech
·
¸
2 3
1
A =
3 4 − 2
i niech α = 2. Znale¹¢ macierz αA.
Denicja 11 Iloczynem macierzy [ aik] typu ( m, p) i [ bik] typu ( p, n) nazywamy macierz [ cik] typu ( m, n), gdzie
p
X
∀ i=1 , 2 ,...,m cik =
aijbjk.
k=1 , 2 ,...,n
j=1
Przykªad 13 Niech
2 − 3
4
2
1
A = 1
0
2 , B = − 1 4 .
3
5
− 1
0
2
Obliczy¢ iloczyn tych macierzy.
Macierz transponowana
Denicja 12 Macierz¡ transponowan¡ wzgl¦dem danej macierzy A, któr¡ oznaczamy symbolem A0 nazywamy macierz, która powstaje z A przez zamian¦
wierszy na kolumny w tym samym porz¡dku.
Przykªad 14 Niech
·
¸
2
1
2 − 3 4
A =
, B = − 1 4 .
1
0
2
0
2
Transponowa¢ macierze A i B.
Macierz odwrotna do macierzy A
Denicja 13 Macierz kwadratow¡ nazywamy nieosobliw¡, gdy jej wyznacznik jest ró»ny od zera.
8
Denicja 14 Macierz odwrotn¡ macierzy kwadratowej A, któr¡ oznaczamy symbolem A− 1, nazywamy tak¡ macierz, która speªnia równo±ci
AA− 1 = E, A− 1 A = E,
gdzie E oznacza macierz jednostkow¡.
Denicja 15 Macierz¡ doª¡czon¡ macierzy kwadratowej A, któr¡ b¦dziemy oznacza¢ AD, nazywamy macierz, która powstaje z macierzy A w nast¦puj¡cy sposób: najpierw ka»dy element aik zast¦pujemy jego dopeªnieniem algebraicznym Aik, a nast¦pnie otrzyman¡ macierz transponujemy.
Aby obliczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy kwadratowej A nale»y: (1) obliczy¢ wyznacznik macierzy A (je±li det A 6= 0, to mo»emy obliczy¢
macierz odwrotn¡ do macierzy A);
(2) wyznaczy¢ macierz dopeªnie« algebraicznych AD;
(3) obliczamy tworzymy macierz odwrotn¡ A− 1, korzystaj¡c ze wzoru AD
A− 1 =
.
det A
Przykªad 15 Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy
2 7 3
A = 3 9 4 .
1 5 3
Najpierw obliczymy warto±¢ wyznacznika det A:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2 7 3 ¯
¯ 2 − 3 − 3 ¯
¯
¯
det
− 3 − 3
A = ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3 9 4 ¯ = ¯ 3 − 6 − 5 ¯ = ¯
¯ = − 3 .
¯
− 6 − 5
1 5 3 ¯
¯ 1
0
0 ¯
Poniewa» det A 6= 0, wi¦c macierz A jest nieosobliwa, a zatem mo»emy wyznaczy¢ macierz do niej odwrotn¡. Wyznaczymy teraz macierz doª¡czon¡.
1. Najpierw wyznaczymy macierz minorów: [ Mik], gdzie Mik jest minorem, który powstaje ze skre±lenia i-tego wiersza i k-tej kolumny. Zatem
¯
¯
¯ 9 4 ¯
• M
¯
¯
11 = ¯ 5 3 ¯ = 7;
¯
¯
¯ 3 4 ¯
• M
¯
¯
12 = ¯ 1 3 ¯ = 5;
¯
¯
¯ 3 9 ¯
• M
¯
¯
13 = ¯ 1 5 ¯ = 6;
9
¯
¯ 7 3 ¯
• M
¯
¯
21 = ¯ 5 3 ¯ = 6;
¯
¯
¯ 2 3 ¯
• M
¯
¯
22 = ¯ 1 3 ¯ = 3;
¯
¯
¯ 2 7 ¯
• M
¯
¯
23 = ¯ 1 5 ¯ = 3;
¯
¯
¯ 7 3 ¯
• M
¯
¯
31 = ¯ 9 4 ¯ = 1;
¯
¯
¯ 2 3 ¯
• M
¯
¯
32 = ¯ 3 4 ¯ = − 1;
¯
¯
¯ 2 7 ¯
• M
¯
¯
33 = ¯ 3 9 ¯ = − 3.
Wobec tego
7
5
6
[ M
ik] =
6
3
3
.
1 − 1 − 3
2. Tworzymy macierz dopeªnie« algebraicznych mno»¡c wszystkie elementy macierz ( Mik) przez ( − 1) i+ k, zatem
7
− 5
6
[ A
ik] =
− 6
3
− 3
.
1
1
− 3
3. Tworzymy macierz doª¡czon¡ AD macierzy A :
7
− 6
1
AD = − 5
3
1 .
6
− 3 − 3
4. Tworzymy macierz odwrotn¡ ze wzoru A− 1 = AD
det , wi¦c
A
7
− 6
1
− 7
2
− 1
1
3
3
A− 1 =
− 5
3
1 = 5
− 1 − 1 .
− 3
3
3
6
− 3 − 3
− 2
1
1
Uwaga 1 Je±li A ∈ M 2( K) jest macierz¡ nieosobliw¡, to macierz odwrotn¡
A− 1 mo»na wyznaczy¢ rozwi¡zuj¡c odpowiedni ukªad równa«.
Przykªad 16 Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ do macierzy A danej wzorem:
·
¸
1 2
.
3 4
10
¯
¯
¯ 1 2 ¯
det A = ¯
¯
¯ 3 4 ¯ = 4 − 6 = − 2 ,
wi¦c A jest macierz¡ nieosobliw¡.
I sposób Wyznaczamy macierz dopeªnie« algeraicznych:
• A 11 = ( − 1)1+1 | 4 | = 4;
• A 12 = ( − 1)1+2 | 3 | = − 3;
• A 21 = ( − 1)2+1 | 2 | = − 2;
• A 22 = ( − 1)2+2 | 1 | = 1.
Wobec tego
·
¸
4
− 3
[ Aik] =
− 2
1 .
Wyznaczamy macierz doª¡czon¡:
·
¸
4
− 2
AD =
− 3
1 .
Wyznaczamy macierz odwrotn¡:
·
¸
·
¸
1
1
4
− 2
2
1
A− 1 =
AD =
=
det A
− 2
− 3
1
3 / 2 − 1 / 2 .
II sposób Macierze A− 1 i A musz¡ speªnia¢ nas¦puj¡cy warunek: AA− 1 = E.
Zatem je±li
·
¸
a b
A− 1 =
,
c d
to
·
¸ ·
¸
·
¸
4
− 2
a b
1 0
=
,
− 3
1
c d
0 1
sk¡d
·
¸
·
¸
a + 2 c
b + 2 d
1 0
=
.
3 a + 4 c 3 b + 4 d
0 1
Wobec tego otrzymujemy nast¦puj¡cy ukªad równa«:
a + 2 c = 1
b + 2 d = 0 .
3 a + 4 c = 0
3 b + 4 d = 1
11
a = − 2
b = 1
.
c = 3
2
d = − 12
Zatem
·
¸
− 2
1
A− 1 =
.
3 / 2 − 1 / 2
12
Denicja 16 Niech A b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n, tzn. macierz A ma n wierszy i n kolumn. ladem macierzy A, który b¦dziemy oznacza¢ Tr A, nazywamy wyra»enie:
n
X
Tr A =
aii.
i=1
Przykªad 17 Niech
3 2 5
A = 1 3 2 .
0 1 4
Wyliczy¢ ±lad macierzy A.
Macierze idempotentne
Denicja 17 Macierz A nazywamy idempotentn¡ je±li
A · A = A.
·
¸
Niech
a b
A =
. Wyznaczymy warto±ci a, b, c i d takie, »e c d
·
¸ ·
¸
·
¸
a b
a b
a b
·
=
.
c d
c d
c d
Po wykonaniu mno»enia otrzymujemy:
"
#
"
#
a 2 + bc ab + bd
a
b
=
.
ac + cd cb + d 2
c d
Wobec tego trzeba rozwi¡za¢ ukªad równa«:
a 2 + bc = a
ab + bd = b
ac + cd = c
cb + d 2 = d
Najpierw rozpatrzymy drugie równanie:
ab + bd = b,
sk¡d
b( a + d − 1) = 0 ,
zatem b = 0 lub a + d = 1. Rozwa»ymy dwa przypadki: 13
(1) b = 0. Podstawimy b = 0 do ukªadu równa«, wtedy
a 2 = a
ac + cd = c
d 2 = d
Z pierwszego równania wynika, »e a = 0 lub a = 1. A z czwartego równania wynika, »e d = 0 lub d = 1. Rozwa»my cztery przypadki:
• a = d = 0. Wtedy c = 0. Sprawdzmy
·
¸ ·
¸
·
¸
0 0
0 0
0 0
·
=
.
0 0
0 0
0 0
• a = d = 1. Wówczas c = 1 c + 1 c, sk¡d c = 0, sprawd¹my:
·
¸ ·
¸
·
¸
·
¸
1 0
1 0
1 + 0 0 + 0
1 0
·
=
=
.
0 1
0 1
0 + 0 0 + 1
0 1
• a = 0 i d = 1. Zatem c = c, sk¡d wynika, »e c mo»e by¢ dowoln¡
liczb¡ rzeczywist¡. Sprawdzimy
·
¸ ·
¸
·
¸
0 0
0 0
0 0
·
=
.
c 1
c 1
c 1
• a = 1 i d = 0. St¡d c = c, wi¦c c jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡.
Zatem
·
¸ ·
¸
·
¸
1 0
1 0
1 0
·
=
.
c 0
c 0
c 0
(2) a + d = 1. Zaªó»my, »e b 6= 0. St¡d wynika, »e a = 1 − d. Zatem
(1 − d)2 + bc = 1 − d
(1 − d) c + cd = c
.
bc + d 2 = d
St¡d wynika, »e
1 − 2 d + d 2 + bc = 1 − d
c − dc + cd = c
,
bc + d 2 = d
sk¡d
bc = d − d 2
c = c
,
bc = d − d 2
14
( bc = d − d 2
.
c jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡
Wobec tego
a = 1 − d
b jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡ ró»n¡ od zera
.
c = d−d 2
b
d jest dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡
Zatem
·
¸
1 − d b
A =
.
d−d 2
d
b
Sprawdzmy
"
# "
#
"
#
1 − d b
1 − d b
(1 − d)2 + d − d 2
(1 − d) b + bd
A · A =
·
=
d−d 2
d
d−d 2
d
( d−d 2)(1 −d) + ( d−d 2) d
d − d 2 + d 2
b
b
"
#
b
b
.
1 − d b
=
= A
d−d 2
d
b
Przykªad 18 Niech b = 5 i d = 3. Wtedy a = 1 − d = 1 − 3 = − 2 oraz c = d−d 2 = 3 − 9 = − 6 , wi¦c
b
5
5
·
¸
− 2
5
A =
− 6
3
5
jest macierz¡ idempotentn¡.
Istotnie,
·
¸ ·
¸
·
¸
·
¸
− 2
5
− 2
5
4 − 6
− 10 + 15
− 2
5
A · A =
·
=
=
.
− 6
3
− 6
3
12 − 18
− 6 + 9
− 6
3
5
5
5
5
5
Przykªad 19 Czy macierze
1 0 0
1 0 1
1 0 0
A = 0 1 0 , B = 0 1 0 i C = 5 0 2
0 0 1
1 0 1
0 0 1
s¡ idempotentne?
15
Denicja 18 Macierz kwadratow¡ A nazywamy ortogonaln¡, gdy macierz transponowana jest jednocze±nie odwrotn¡ wzgl¦dem niej, tzn.
AA0 = A0A = E.
Twierdzenie 6 Macierz A = ( aik) jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy ½ 0 gdy i 6= j;
ai 1 aj 1 + ai 2 aj 2 + . . . ainajn =
1
gdy i = j.
Wniosek 2 Macierz A = [ aik] stopnia 2 jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy
a 211 + a 212 = 1
a 2
21 + a 222 = 1
a 11 a 21 + a 12 a 22 = 0 .
Przykªad 20 Zbada¢, czy dane macierze s¡ ortogonalne:
"
√
#
1
3
1. A =
2
√
2
,
− 3
1
2
2
"
#
1
√
− 1
√
2. A =
2
2
.
− 1
√
1
√
2
2
Wniosek 3 Macierz A = [ aik] stopnia 3 jest ortogonalna, wtedy i tylko wtedy gdy
a 2
11 + a 212 + a 213 = 1
a 2
21 + a 222 + a 223 = 1
a 231 + a 232 + a 233 = 1
a
11 a 21 + a 12 a 22 + a 13 a 23 = 0
a
11 a 31 + a 12 a 32 + a 13 a 33 = 0
a 21 a 31 + a 22 a 32 + a 23 a 23 = 0 .
Przykªad 21 Pokaza¢, »e przy ustalonym x ∈ IR macierze
cos x
sin x
0
cos x 0 − sin x
A = − sin x cos x 0 i B =
0
1
0
0
0
1
sin x
0
cos x
s¡ ortogonalne.
Przykªad 22 Dla jakiej warto±ci parametru t nast¦puj¡ce macierze s¡ ortogonalne:
·
¸
·
¸
t
2
2 t − 1
A =
i B =
.
1 3 t
1
t
16