id5056531 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 4. Iloczyn wektorowy
Mówimy, ¿e wektory u u u
,
u
,
, v v ,v ,v , w w ,w ,w tworz¹ ukùad x
y
z
x
y
z
x
y
z
orientacja
o orientacji zgodnej z orientacj¹ ukùadu wspóùrzêdnych, jeœli ukùadu
u
u
u
x
y
z
v
v
v
0 .
x
y
z
w
w
w
x
y
z
W przypadku, gdy wyznacznik jest mniejszy od zera m ówimy, ¿e orientacja ukùadu
wektorów u , v , w jest przeciwna do orientacji ukùadu wspóùrzêdnych.
Jeœli wyznacznik zeruje siê, to wektory le¿¹ w jednej pùaszczyênie.
Z
u v
v
.
.
u
Y
X
Iloczynem wektorowym (oznaczanym u v ) dwóch wektorów u , v nazywamy iloczyn
wektor
wektorowy
w , który speùnia warunki:
1. w u , w v ,
2. w u v sin u v ,
3. orientacja wektorów u , v , w jest zgodna z orientacj¹ ukùadu wspóùrzêdnych.
Nale¿y pamiêtaã, ¿e iloczyn wektorowy jest wektorem.
Jeœli u u u
,
u
,
i v v ,v ,v , to iloczyn wektorowy mo¿emy wyliczyã ze x
y
z
x
y
z
wzoru
i
j
k
u v u
u
u
x
y
z
v
v
v
x
y
z
Przy obliczaniu powy¿szego wyznacznika wersowy i , j , k nale¿y traktowaã w obliczeniach tak jak liczby.
UWAGA.
Kolejno
œã wykonywania dziaùañ na wektorach:
1. iloczyn wektorowy u v
2. iloczyn skalarny u
v
..........................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczyã iloczyn wektorowy wektorów u , v jeœli: u 0 2
, , 2
, v 2 i 3 k 4 j .
Rozwi¹zanie
i
j
k
i
j
k
Zgodnie ze wzorem
u v u
u
u mamy u v 0
2
2 2
, 4
, 4 .
x
y
z
v
v
v
2
4
3
x
y
z
..........................................................................................
PRZYK£AD
Znaleêã dowolny wektor jednostkowy prostopadùy do wektorów u 1 2
, ,
0 ,
v 3 , 2
2
, .
Rozwi
¹zanie
Wektorem na pewno prostopad
ùym jednoczeœnie do dwóch wektorów jest ich
iloczyn wektorowy. Obliczamy wiêc wektor w u v ,
i
j
k
w 1
2
0 4
, 2
, 8
3
2
2
w
w
i jego d
y
w
x
z
ùugoœã w 2 21 . Wyznaczamy teraz ze wzoru
,
,
wektor
w
w
w
2
1
4
jednostkowy r
ównolegùy do wektora w , mamy wiêc
,
,
.
21
21
21
..........................................................................................
Wùasnoœci iloczynu wektorowego
Niech u , v , w bêd¹ dowolnymi wektorami, dowoln¹ liczb¹. Wtedy:
1. u v v u
2. u v w u w v
w ;
w
u v
w u w
v
3.
u v
u v u
v
4. u v 0 u
v
5. u u 0
6. u v P , gdzie P
pole równolegùoboku zbudowanego na wektorach u , v pole
równolegùoboku
Z
v
u v
P u v
u
Y
X
..........................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczyã pole trójk¹ta ABC jeœli
A 2 , 4 ,
3 , B 2 , 3 5
, , C0 , 3
2
, .
Rozwi¹zanie
Pole trójk¹ta ABC bêdzie równe poùowie pola równolegùoboku rozpiêtego na
wektorach AB, AC .
B
A
C
Najpierw wyznaczamy wektory AB 4 1
, 2
, , AC 2 1
,
,
1 , a nastêpnie ich iloczyn
i
j
k
wektorowy AB AC 4 1
2 3
, 8
, 2.
2
1
1
1
1
Mamy wiêc P
AB AC
77 .
2
2
..........................................................................................
PRZYK£AD
Dla jakiej wartoœci parametru m wektory u m, 2 ,
1 , v 2 , 4
2
, s¹ równolegùe?
Rozwi¹zanie
Poniewa¿ wektory s¹ równolegùe wtedy i tylko wtedy gdy ich iloczyn wektorowy jest
równy wektorowi zerowemu. Wyznaczamy iloczyn wektorowy wektorów u , v i przyrównujemy go do wektora zerowego.
i
j
k
u v m
2
1 0
, 2 m 2
, 4 m 4
2
4
2
2 m 2 0
u v 0 0 , 2 m 2 , 4
m 4 0 0
, 0
,
.
4 m 4
0
St¹d m 1 .
Dla m 1 wektory u , v s¹ równolegùe.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Obliczyã iloczyn wektorowy wektorów
u , v
oraz pole równolegùoboku
zbudowanego na tych wektorach jeœli: u p 2 q , v 3 q p , p 2 , q 3 ,
p q
.
6
Rozwi¹zanie
Obliczamy u v korzystaj¹c z wùasnoœci i iloczynu wektorowego
wù . 2 i 3
wù . 1 i 5
u v
p 2 q 3 q p
3 p q 6 q q p p 2 q p
3 p q 2 p q 5 p q
Czyli u v 5 p q .
Pole równolegùoboku P
u v 5
p q zgodnie z warunkiem 2 definicji iloczynu
1
wektorowego mamy P 5 p q sin
5 2 3
15 .
6
2
............................................................................................
PRZYK£AD
Znaleêã cosinus k¹ta miedzy wektorami a i b , gdy a k 3 j 2 i ;
b i 2 k j
2 j k 2 i .
Rozwi¹zanie
Najpierw wyznaczamy wektor b
i
j
k
b 1
1
2 3 3
, 0
,
2
2
1
Potem dùugoœci wektorów a 14 , b 18 i iloczyn skalarny miêdzy wektorami
a i b
a
b 6 9 15
Teraz mo¿emy ju¿ wyznaczyã kosinus k¹ta miêdzy wektorami a i b
a b
15
5 21
cos
.
14 18
28
a b
............................................................................................
PRZYK£AD
Wyznaczyã dùugoœã dowolnej wysokoœci równolegùoboku rozpiêtego na wektorach
a i b jeœli: a p q , b p q , p 2 , q 3 , o
p q
60
.
Rozwi¹zanie
Pole równolegùoboku rozpiêtego na wektorach a i b mo¿emy wyliczyã z dwóch
wzorów P a b i P h a .
ównuj¹c je mo¿emy wyznaczyã wysokoœã h
b
h
a b
a
a b h a h
a
Korzystaj¹c z wùasnoœci iloczynu wektorowego wyznaczymy a b mamy
wù . 2 i 3
wù . 1 i 5
a b
p q
p q
p p p q q p q q
2 p
q ,
a nastêpnie
def i
. loczynu
a b 2 p q
2 p q sin
6 3
3
2
Z wùasnoœci iloczynu skalarnego a
wyliczymy d
a a
ùugoœã wektora a .
2
wù 4
i def i
. loczynu
a a p q p q p p 2 p q q q
p
2 p q cos
3
4 6 9 7
2
6 3
6 21
St¹d a 7 a 7 . Ostatecznie h
.
7
7
............................................................................................