Skończenie wymiarowe przestrzenie dwuliniowe (U; ) i (V ; ) nad takim samym cia÷
em K s ¾
a izometryczne wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾
a bazy przestrzeni U i V , wzgl ¾
edem których macierze
przestrzeni (U; ) i (V ; ) s ¾
a równe.
Dowód:
1. Za÷
ó·
zmy, ·
ze i : (U; ) = (V ; ). Niech dim U = n 2 N, X = (u1; : : : ; un) b ¾
edzie dowolnym reperem przestrzeni U oraz niech
A = (U; ) w reperze X :
Wówczas i (X ) = (i (u1); : : : ; i(un)) jest reperem przestrzeni V oraz
[ (i (up); i(uq))]
= [ (u
= A:
(p;q)
p ; uq )](p;q)
Zatem macierze przestrzeni (U; ) i (V ; ) odpowiednio wzgl ¾
edem
reperów X oraz i (X ) s ¾
a równe.
2. Niech (u1; : : : ; un) 2 F(U), (v1; : : : ; vn) 2 F(V ) s ¾
a reperami,
wzgl ¾
edem których macierze odpowiednio przestrzeni (U; ) oraz (V ; ) s ¾
a równe. Zatem
(up; uq) = (vp; vq)
dla dowolnych p; q = 1; : : : ; n.
Niech i : U ! V b ¾
edzie jedynym izomor…zmem przestrzeni liniowych, takim ·
ze i (up) = vp dla ka·
zdego p = 1; : : : ; n. Wówczas P
P
dla dowolnych x =
n
xp u
n
y q u
p=1
p ; y =
q=1
q 2 U zachodz ¾
a
równości
n
P n
P
(x; y ) =
xp y q (up; uq)
p=1 q=1
n
P n
P
=
xp y q (vp; vq)
p=1 q=1
n
P
n
P
=
(
xp vp;
y q vq)
p=1
q=1
=
(i (x); i (y )):
Zatem i jest izometri ¾
a przestrzeni (U; ) i (V ; ).
Niech (U; ) i (V ; ) b ¾
ed ¾
a skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad takim samym cia÷
em K oraz niech A i B b ¾
ed ¾
a
macierzami odpowiednio przestrzeni (U; ) i (V ; ) wzgl ¾
edem
jakichkolwiek ich baz. Wówczas (U; ) i (V ; ) s ¾
a izometryczne
wtedy i tylko wtedy, gdy macierze A i B s ¾
a kongruentne.
Dowód:
Niech dim V = n 2 N, (u1; : : : ; un) 2 F(U), (v1; : : : ; vn) 2 F(V ).
Niech
(U; ) = A w reperze (u1; : : : ; un) ; (V ; ) = B w reperze (v1; : : : ; vn) :
Za÷
ó·
zmy, ·
ze i : (U; ) = (V ; ). Wtedy (i(u1); : : : ; i(un)) jest reperem przestrzeni V oraz
[ (i (up); i(uq))]
= [ (u
= A:
(p;q)
p ; uq )](p;q)
Zatem (V ; ) = A w reperze (i(u1); : : : ; i(un)). Niech P b ¾
edzie
macierz ¾
a przejścia od repera (i (u1); : : : ; i(un)) do repera (v1; : : : ; vn). Wówczas B = PT AP, a tym samym macierze A i B
s ¾
a kongruentne.
Za÷
ó·
zmy teraz, ·
ze macierze A i B s ¾
a kongruentne. Zatem
B = PT AP, gdzie P 2 GL(n; K ) jest pewn ¾
a macierz ¾
a nieosobliw ¾
a.
Niech (u01; : : : ; u0n) b ¾
edzie reperem V , który otrzymuje si ¾
e
z (u1; : : : ; un) za pomoc ¾
a macierzy przejścia. Wówczas
(u0p; u0q) = PT AP = B:
Zatem (U; ) i (V ; ) maj ¾
a wzgl ¾
edem odpowiednio wybranych baz
przestrzeni U i V t ¾
e sam ¾
a macierz B. Z ostatniego twierdzenia wynika st ¾
ad, ·
ze (U; ) = (V ; ).