Egzamin z Algebry, 16 VI 2007 godz.12.00

1. Podać definicję pierwiastka algebraicznego z liczby zepolonej i wzór na wyznaczanie tego pierwiastka. Rozwiązać równanie:

z 4 − (9 + i) z 2 + 9 i = 0

Rozwiązanie:

Podstawiamy:

t = z 2

t 2 − (9 + i) t + 9 i = 0

∆ = ( −(9 + i))2 − 4(9 i) = 81 + 18 i − 1 − 36 i = 81 − 18 i − 1 = (9 − i)2

√∆ = 9 − i

9 + i − 9 + i

t 1 =

= i

2

9 + i + 9 − i

t 2 =

= 9

2

Rozwiązujemy pierwsze równanie:

x 2 = i

Zapisujemy i w postaci trygonometrycznej: i = 1(cos( π ) + i sin( π )) 2

2

√

√

x

2

2

1 = cos( π ) + i sin( π ) =

+ i

4

4

2

2

√

√

x

2

2

2 = cos( 5 π ) + i sin(5 π ) = −

− i

4

4

2

2

Rozwiązujemy drugie równanie:

x 2 = 9

x 3 = 3

x 4 = − 3

2. Podeć definicję wyznacznika i rowziązać równanie: 1 − 2

3 0

2

1

3 2

= 0

1

1 − 2 1

3

x

1 3

Rozwiązanie:

Odejmujemy od kolumny pierwszej kolumnę czwartą, a następnie stosujemy rozwinięcie Laplace’a:

1 − 2

3 0

1 − 2

3 0

1

3 2

2

1

3 2

0

1

3 2

=

= 1 − 2 1 = − 6 + 3 x + 2 + 4 x − 1 − 9 =

1

1 − 2 1

0

1 − 2 1

x

1 3

3

x

1 3

0

x

1 3

7 x − 14

Rozwiązujemy równanie:

7 x − 14 = 0

x = 2

3. Podać definicję macierzy odwrotnej i algorytm jej wyznaczania. Rozwiąż metodą macierzową układ równań:







x − y + 2 z =

4

y − 2 z = − 3



 2 x + 3 y + z =

0

Rozwiązanie:

Macierz współczynników:





1 − 1

2

A = 



 0

1 − 2 

2

3

1

Macierz wyrazów wolnych:





4

B = 



 − 3 

0

Rozwiązanie metodą macierzową: X = A− 1 B

1 − 1

2

|A| =

0

1 − 2 = 1 + 4 − 4 + 6 = 7

2

3

1

Wyznacznik jest różny od 0, a więc istnieje macierz odwrotna A− 1





1

0 2

AT = 



 − 1

1 3 

2 − 2 1





7

7 0

( AT ) D = 



 − 4 − 3 2 

− 2 − 5 1





1

1 0

( AT ) D

A− 1 =

= 



 − 4

− 3 2 

|A|

7

7

7

− 2 − 5 1

7

7

7

Odpowiedź: 



1

X = A− 1 B = 



 − 1 

1

4. Podać definicję iloczynu wektorowego. Wyznacz wektor prostopadły do wektorów −

→

a =

−

→

[ − 1 , 2 , 2] , b = [0 , 3 , − 4] i określ jego cosinusy kierunkowe: Rozwiązanie:

−

→

Wektor −

→

c prostopadły do wektorów −

→

a i b można znaleźć za pomocą iloczynu wektorowego:

−

→

−

→

c = −

→

a × b = [ − 14 , − 4 , − 3]

Jego cosinusy kierunkowe są równe:

b

− 14

cos α

x

x = −

→ = √

| b |

221

b

− 4

cos α

y

y = −

→ = √

| b |

221

b

− 3

cos α

z

z = −

→ = √

| b |

221

5. Podać własność ogniskową paraboli. Przez punkt P (5 , − 7) poprowadź styczną do paraboli y 2 = 8 x

Rozwiązanie:

Prosta styczna przechodząca przez punkt P ma równanie: y + 7 = k( x − 5)

y = kx − 5 k − 7

Szukamy punktów przecięcia z parabolą. Prosta styczna ma tylko jeden punkt przecię-

cia:

( kx − 5 k − 7)2 = 8 x

k 2 x 2 − 2 k(5 k + 7) x + (5 k + 7)2 = 8 x k 2 x 2 + ( − 10 k 2 − 14 k − 8) x + (5 k + 7)2 = 0

Jeden punkt przecięcia jest gdy ∆ = 0

∆ = ( − 10 k 2 − 14 k − 8)2 − 4 k 2(5 k + 7)2 = 0

( − 10 k 2 − 14 k − 8)2 = (10 k 2 + 14 k)2

Czyli

− 10 k 2 − 14 k − 8 = 10 k 2 + 14 k lub

− 10 k 2 − 14 k − 8 = − 10 k 2 − 14 k Pierwsze równanie:

20 k 2 + 28 k + 8 = 0

5 k 2 + 7 k + 2 = 0

∆ = 9

k 1 = 15

k 2 = − 85

Drugie równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: Są dwie proste styczne:

y 1 = 1( x − 5) − 7

5

y 2 = − 8( x − 5) − 7

5

6. Dane są proste:

(

(

2 x + y + z + 1 = 0

x + z − 1 = 0

l 1 :

, l

2 x − z + 1 = 0

2 :

y + 2 z − 2 = 0

a) Wyznaczyć odległość tych prostych

b) Poprowadzić płaszczyznę przechodzącą przez l 1 i równoległą do l 2

Rozwiązanie:

Przekształcamy równania prostych do postaci parametrycznej:





 x = t

l 1 :

y = − 4 t − 2



 z = 2 t + 1





 x = −t + 1

l 2 :

y = − 2 t + 2



 z = t

Znajdujemy stąd wektory kierunkowe prostych:

−

→

v 1 = [1 , − 4 , 2]

−

→

v 2 = [ − 1 , − 2 , 1]

Oraz po jednym punkcie z każdej prostej:

P 1 = (0 , − 2 , 1)

P 2 = (1 , 2 , 0)

Wektor

−−→

P 1 P 2 = [1 , 4 , − 1]

Odległość między prostymi jest równa:

−−→

|( −

→

v

P

d =

1 × −

→

v 2) · 1 P 2 |

|−

→

v 1 × −

→

v 2 |

−

→

v 1 × −

→

v 2 = [0 , − 3 , − 6]

Czyli

| 2 |

2

d = √

= √

45

3 5

Płaszczyzna przechodząca przez prostą l 1 ma równanie: α(2 x + y + z + 1) + β(2 x − z + 1) = 0

Czyli

(2 α + 2 β) x + αy + ( α − β) z + α + β = 0

Płaszczyzna ta ma być równoległa do prostej l 2, czyli jej wektor prostopadły ma być prostopadły do v 2

[2 α + 2 β, α, α − β] · [ − 1 , − 2 , 1] = 0

− 3 α − 3 β = 0

Przyjmujemy dowolną niezerową wartość np. α = 1. Wtedy β = − 1 i rówanie szukanej płasczyzny:

y + 2 z = 0