LISTA 5. ( na 2 ćwiczenia) Szeregi liczbowe i potęgowe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego seme-stru.
5.1. Obliczyć granice ciągów liczbowych o podanych wyrazach.
1
1
4 n+1
cos ( nπ)
(a) an = cos ,
(b) bn = sin ,
(c) cn =
,
(d) dn =
.
n
n
22 n + 3 n
2 n
a
5.2.
n
Dla podanych par ciągów liczbowych obliczyć granicę ilorazu
.
bn
(a) an = 2 n,
bn = 2 n + 3 n; (b) an = 3 n,
bn = 2 n + 3 n;
√
√
(c) an = n,
bn =
n 2 + 2 n + 3;
(d) an = n 2 , bn =
n 2 + 2 n + 3;
1
1
1
1
(e) an = sin2
,
bn =
;
(f) an = sin2
,
bn =
.
n
n
n
n 2
a
5.3.
n+1
Dla podanych par ciągów liczbowych obliczyć granicę ilorazu
.
an
n 2
1
42 n
(a) an =
,
(b) an = sin ,
(c) an = 2 n + 3 n, (d) an =
.
n 3 + 1
n
n 4
Część B. Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązywania.
5.1. Wyznaczyć sumy częściowe podanych szeregów i zbadać ich zbieżność.
∞ n − 1
∞
1
∞
1
(a) X
,
(b) X √
√ ,
(c) X
.
n!
n + 1 +
n
( n + 1)( n + 2) n=2
n=1
n=1
5.2. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych. Sformułować wykorzystywane kryteria.
∞ ln n
∞
n 2
∞
1
∞
1
(a) X
,
(b) X
,
(c) X
,
(d) X sin
,
n
n 3 + 1
n 2 + n + 2
n + 1
n=2
n=1
n=1
n=1
∞
2 n
∞
22 n
∞
53 n+1
∞ (2 n)!
(e) X
,
(f) X
,
(g) X
,
(h) X
,
2 n + 3 n
2 n + 3 n
( n + 1)!
( n!)2
n=1
n=3
n=0
n=0
∞
∞
1
∞ cos nπ
∞ ( − 3) n
(i) X n 2 e−n 2, (j) X(arcctg cos
) n,
(k) X
,
(l) X
.
n
2 n
n 3
n=1
n=2
n=1
n=1
5.3. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych. Czy są one zbieżne bezwzględnie?
∞
1
∞
1
∞
ln n
∞
n
(a) X( − 1) n+1 sin
,
(b) X( − 1) n cos
,
(c) X( − 1) n
,
(d) X( − 1) n+1
.
n + 1
n
n
n 2 + 2
n=1
n=1
n=2
n=1
5.4. Obliczyć przybliżoną sumę szeregu z błędem nie większym niż 0 , 01.
∞
1
∞
1
∞
1
(a) X( − 1) n+1
,
(b) X( − 1) n+1
,
(c) X( − 1) n+1
.
3 n + 1
2 n + 3
n!
n=1
n=1
n=1
5.5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego. W przykładach (e), (f) wykorzystać warunek zbieżności szeregu geometrycznego.
∞
xn
∞ ( x + 3) n
∞ 22 n+1
(a) X( − 1) n
,
(b) X
,
(c) X
,
n 2
n!
n 3 n
n=2
n=0
n=1
∞ n + 1
∞ (3 x + 2) n
∞
(d) X
(2 x + 1) n,
(e) X
,
(f) X 3 n( x + 1)2 n.
4 n+1
2 n+3
n=1
n=0
n=1
1
5.6. Wykorzystując szeregi Maclaurina funkcji ex, sin x, cos x,
, wyznaczyć szeregi Maclau-
1 − x
rina podanych funkcji. Podać przedziały zbieżności otrzymanych szeregów.
x
x
(a) f ( x) = xe− 2 x, (b) h( x) = cos( πx), (c) g( x) = sin cos
,
3
3
x
x
x 2
(d) f ( x) =
,
(e) f ( x) =
,
(f) f ( x) =
.
1 + 3 x
4 + x 2
x − 2
x
5.7. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje f ( x), f 0( x), R f ( t)d t. Podać przedziały zbieżności 0
otrzymanych szeregów.
1
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) = ex 2, (c) f ( x) = x sin x.
2 x − 1
5.8. Podać dziedzinę funkcji f i napisać jej wzór otrzymany przez zsumowanie szeregu.
∞ xn+1
∞
∞
( x − 1) n
(a) f ( x) = X
,
(b) f ( x) = X n · ( x + 3) n− 1, (c) f ( x) = X( − 1) n+1
.
n!
n
n=1
n=1
n=1
5.9. Obliczyć sumy szeregów liczbowych.
∞
n
∞
1
∞ 2 n + 1
∞
1
(a) X( − 1) n
,
(b) X
,
(c) X
,
(d) X
.
3 n
n · 2 n
4 n+1
( n + 2) · 5 n n=2
n=1
n=2
n=1
5.10. Obliczyć całki ze wskazaną dokładnością.
1
1
(a) R e−x 2d x,
δ = 0 , 001,
(b) R sin x 2d x,
δ = 0 , 0001 .
0
0
Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005, rozdział 2.
Jolanta Sulkowska