1. Wyznaczyć punkt, w którym styczna do paraboli f ( x) = x 2 jest a) równolegÃla do prostej y = 4 x − 5, b) prostopadÃla do prostej 2 x − 6 y + 5 = 0.
2. Funkcja f ( x) = 5 −x 2 przyjmuje na końcach przedziaÃlu [-1,1] takie same wartości x 4
(sprawdzić). Wyznaczyć punkty, w których f 0( x) = 0 i odpowiedzieć na pytanie, dlaczego teza twierdzenia Rolla nie jest speÃlniona.
3. Napisać wzór Taylora dla funkcji:
√
π
y = 3 x, x 0 = − 1 , n = 4; y = tan x, x 0 = , n = 3 .
4
4. Napisać wzór Maclaurina n-tego rzedu dla funkcji:
,
(a) y = ex,
(b) y = cos x, (wsk. (cos x)( n) = cos( x + nπ )), 2
(c) y = ln(1 + x) , (wsk. (ln(1 + x))( n) = ( − 1) n− 1( n − 1)!
1
) .
(1+ x) n
a nastepnie obliczyć z dokÃladnościa do 0,001:
,
,
√
cos 1 / 2 ,
e,
ln 1 , 05 .
5. Wyznaczyć ekstrema i przedziaÃly monotoniczności danych funkcji: 1 − x + x 2
x
a) f ( x) =
,
b) f ( x) =
,
c) f ( x) = 2 x 2 − ln x, 1 + x + x 2
ln x
√
√
d) f ( x) = ln( x +
1 + x 2) ,
e) f ( x) = −x 2 x 2 + 2 , f ) f ( x) = x − ln(1 + x 2) .
6. Wyznaczyć punkty przegiecia, oraz zbadać wklesÃlość i wypukÃlość wykresów funk-
,
,
cji:
x 3
a) f ( x) =
,
b) f ( x) = ln(1 + x 2) , c) f ( x) = e sin x.
1 + x 2
7. Stosujac reguÃle de l’Hospitala obliczyć granice funkcji:
,
,
ln cos x
ex − 1
x − arctan x
xm
lim
,
lim
,
lim
,
lim
, m > 0
x→ 0
x
x→ 0 sin x
x→ 0
x 3
x→+ ∞ ex
a
µ
¶
1
x
1
lim x sin ,
lim x( e 1 x − 1) , lim x 2 ex 2 ,
lim
−
,
x→+ ∞
x
x→∞
x→ 0
x→ 1
x − 1
ln x
µ 1¶tan x
6
lim
,
lim x sin x,
lim x 1+2 ln x .
x→ 0+
x
x→ 0+
x→ 0+
1
8. Zbadać przebieg zmienności funkcji: x 3
f ( x) =
,
f ( x) = x − 2 arctan x, f ( x) = x 3 e−x, f ( x) = x − ln( x + 1) , 3 − x 2
2
√
√
q
q
f ( x) = x 2 3 6 x − 7 , f ( x) = ( x + 1) 3 x − 1 , f ( x) = 3 ( x + 1)2 − 3 ( x − 1)2 .
3
9. Wyznaczyć wartość najwieksza i najmniejsza funkcji:
,
,
,
(a) f ( x) = 2 sin x + sin 2 x, x ∈ [0 , 3 π] , 2
(b) f ( x) = x 2 ln x, x ∈ [1 , e] .
2