Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 14
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedź
1.
A.
,
0 03 x = 9 ⇒ x = 300
2.
D.
Podwojony kwadrat to
2
2 a .
3.
A.
2 ( 5 + )
1
x =
⇒ x = 2
5 + 1
4.
C.
65% + 47% − 24% = 88% – procent uczniów uczących się angielskiego lub rosyjskiego, zatem Ŝadnego z tych języków nie uczy się 12% uczniów, 1
,
0 2 ⋅ 400 = 48 .
5.
A
W ( x)
2
= x ( x − )
1 − ( x − )
1 ⇒ W ( x) = ( 2
x − )
1 ( x − )
1 ⇒
⇒ W ( x) = ( x − )
1 ( x + )
1 ( x − )
1 ⇒ W ( x) = ( x − )
1 2 ( x + )
1
6.
C.
Skorzystaj z podstawowych własności logarytmów.
7.
B.
+
ax − cx = a + b ⇒ x( a − c) a
b
= a + b ⇒ x =
a − c
8.
B.
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnoŜenia i własności działań na potęgach.
9.
C.
D = R \ { }
3 ⇒ x = 3
− ∨ x = 3
10.
D.
2
y = x + 2 x − 24 ⇒ W = (− , 1 −25)
11.
C.
Rozwiązaniem nierówności jest przedział
,
0 11 , zatem są to liczby
,
2
,
3 ,
5 7, 11.
12.
D.
2
n − 9 < 0 ⇒ n ∈ (− 3
,
3 ) ∧ n ∈ N ⇒
+
n ∈ { ,
1 }
2
13.
A.
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie a = −2 i ilorazie q = 2 .
1
14.
D.
45
3
45
1
+1 = ⇒
= ⇒ n = 90
n
2
n
2
15.
D.
sin α = 5cosα ⇒ cos2 α + (5cosα )2
26
= 1 ⇒ cosα =
26
16.
A.
α + α + 40 = 180
⇒ α = 70
1
A.
Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest większa od długości trzeciego boku.
18.
D.
1
AC = 36 + 16 ⇒ AC = 2 13 ⇒ a = 26 ⇒ r =
26
2
19.
B.
2
x + ( y − 5)2 = 50 ⇒ S = ( 5
,
0 )
20.
D.
Środek cięŜkości trójkąta, to punkt przecięcia się środkowych.
21.
B.
n( n − 3) = n ⇒ n = 5
2
22.
D.
=
=
Ω = 3 ,
6 A = 4
23.
B.
Taki graniastosłup ma dwie podstawy po 6 wierzchołków, zatem jest sześciokątny. Ma więc sześć ścian bocznych i dwie podstawy.
Zadania otwarte
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania
punktów
24.
Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej: 1
1
a =
.
2
1
1
Wyznaczenie równania szukanej prostej: y =
, x − 2 .
2
25
Wykorzystanie warunku styczności okręgu i prostej oraz 1
wyznaczenie odległości punku S od prostej l : d ( S, l) = 4 = r .
Zapisanie równania szukanego okr
2
2
ęgu: ( x + 2) + ( y − 3) = 16 .
1
26.
Wyznaczenie skali podobieństwa: k = 2 i zapisanie zaleŜności 1
między obwodami: L = 2 L .
2
1
Wyznaczenie obwodów trójkątów: L = , 4 L = 8 .
1
1
2
27.
Przekształcenie układu do równania: − 2 2
2
x − y = 2 .
1
Wykazanie sprzeczności: lewa strona równania jest zawsze 1
niedodatnia, a prawa dodatnia.
2
x
3
1
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
=
,
2 − x
3
gdzie x – mniejsza odległość wierzchołków obu kwadratów.
Rozwiązanie równania: x = 3 −1.
1
29.
Wykorzystanie wzoru na tangens do przekształcenia 1
sinα
cosα
wyraŜenia: W =
+
sinα cosα .
cosα
sin α
Sprowadzenie do wspólnego mianownika wyraŜenia w 1
pierwszym nawiasie i wykorzystanie jedynki trygonometrycznej do obliczenia wartości wyraŜenia:
sin 2 α + cos2 α
W =
sin α cosα = 1.
sin α cosα
30.
Wprowadzenie oznaczeń:
1
x, y – odpowiednio cena hurtowa przewodnika i mapy,
,
0 2 x, 025 y – odpowiednio zysk z jednego przewodnika i jednej mapy.
20 x + 30 y = 1020
2 (po 1 punkcie
Zapisanie układu równań:
.
20 ⋅ ,
0 2 x + 30 ⋅ ,
0 25 y = 240
za kaŜde
równanie)
x = 15
1
Rozwiązanie układu równań:
.
y = 24
31.
Wyznaczenie wysokości trójkąta: h = d ( C, AB) = 3.
1
Wyznaczenie długości boku trójkąta: a = 2 3 .
1
3
3
1
Wprowadzenie oznaczeń: A = x, x + 1 ,
B = x , x
.
1
1 + 1
4
4
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 1
2
( x + )
2
3
1
+ x +1− 4 = 2 3 .
4
4 − 4 3
4 + 4 3
1
Rozwianie równania: x =
, x =
.
1
5
2
5
Zapisanie odpowiedzi:
1
3
4 + 4 3 8 + 3 3
A =
,
,
B =
,
.
5
5
5
5
32.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie 1
dokładnych oznaczeń oraz wyznaczenie krawędzi podstawy: a, h – odpowiednio krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa,
d – dłuŜsza przekątna rombu,
a = 4 3 .
Wyznaczenie dłuŜszej przekątnej rombu: d = 12 .
1
Wyznaczenie wysokości graniastosłupa: h = 12 3 .
1
Wyznaczenie pola podstawy graniastosłupa: P
.
1
p = 24
3
Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V = 864 .
1
4