Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

1/7

Zadanie 31

a) Dobrać impedancję Zo dwójnika D obciążającego obwód z poniższego rysunku tak, by wydzieliła się na tym dwójniku maksymalna moc czynna. Obliczyć tę moc. Zaproponować strukturę i wartości elementów dwójnika D.

R 2=50 Ω

R 3=1 kΩ

R 1=50 Ω

C 1=20µF

u 1( t)

gmu 1( t)

e( t) [V]

gm=1 mS

C 2=1µF

e( t) = 10 cos(103 t)

b) Przestrojono źródło napięcia na pulsację dwukrotnie większą. Czy nadal na wcześniej za-proponowanym dwójniku D wydziela się maksymalna moc czynna?

c) Zaproponować takie obciążenie obwodu, by niezależnie od pulsacji generatora wydzielała się na tym obciążeniu maksymalna moc czynna. Czy takie rozwiązanie jest możliwe?

Rozwiązanie

a) Najpierw wyznaczymy zastępcze wskazowe źródło Thevenina { ET, ZT} dla części obwodu na lewo od dwójnika D, bowiem - ze względu na warunek maksimum mocy czyn-nej - poszukiwana impedancja dwójnika D winna wynosić Z

*

o= ZT .

Obliczamy kolejno:

- impedancję równoległego połączenia kondensatora C 1 z opornikiem R 2, 1

R 2

ω

j C

R

50

50

1

2

Z

=

=

=

=

[Ω],

1

C || 2

R

3

−6

1

1 + ω

j C R

1 + j ⋅10 ⋅ 20 ⋅10 50

1 + j

1

2

+ R 2

ω

j C 1

- impedancję równoległego połączenia kondensatora C 2 z opornikiem R 3, 1

R 3

3

3

ω

j C

R

10

10

2

3

Z

=

=

=

=

[Ω] ,

C 2 || 3

R

3

6

−

3

1

1 + ω

j C R

1 + j ⋅10 ⋅10 ⋅10

1 + j

2

3

+ R 3

ω

j C 2

- wskaz U 1 napięcia sterującego u 1( t), 50

ZC R

1 + j

10

1 || 2

U = E

= 10

=

[V] ,

1

R + Z

50

2 + j

1

1

C || 2

R

50 + 1+ j

- SEM ET zastępczego wskazowego źródła Thevenina, czyli wskazowe napięcie rozwarcia Ur, 3

−

1

10

10

3

E = U = g U Z

= 10 ⋅10

⋅

=

[V] ,

T

r

m

1

2

C || 3

R

2 + j 1 + j

(1+ j)(2 + j)

- wskazowy prąd zwarcia Ir,

−

1

3

I = g ⋅ U = 10 ⋅10

[A] ,

z

m

1

2 + j

- impedancję ZT zastępczego wskazowego źródła Thevenina, 3

U

g U Z

m

1

C

R

10

r

2 || 3

Z =

=

= Z

=

[Ω] .

T

2

C || 3

R

I

g U

1 + j

z

m

1

Zatem

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

2/7

3

10

*

Z = Z =

[Ω] .

o

T

1 − j

Moc czynną Pc,o wydzieloną na dwójniku, na którym występuje napięcie o wskazie Uo i przez który płynie prąd o ZT

wskazie I

Z

o wyznaczymy korzystając z zależności:

o

P

= Re P ,

Uo

c, o

z, o

gdzie

ET

Io

1

*

P

= U ⋅ I .

z, o

2

o

o

Mamy

10

E

(1+ j)(2 + j)

−

1

T

3

I =

=

= 10 ⋅10

[A] ,

o

3

3

Z + Z

10

10

+ j

+ j

T

o

(1

)(2

)

+

1 + j

1 − j

3

−

1

10

1

3

U = I Z = 10 ⋅10

=5

[V] ,

o

o

o

(1+ j)(2 + j) 1− j

2 + j

*

−2

1





−

1

−

1

10

1

*

1

2

5

2

P

= U ⋅ I = ⋅ 5

⋅ 10

 = ⋅10

=

,

z, o

2

o

o

2





2 + j 

(1+ j)(2 + j)

2

(2 + )

j (1 − )

j (2 − )



j

2 2 −45

2

−

2

−

2



10



10

10−

2

3

P

= Re P

= Re

 =

cos(45 ) =

= 2,5 ⋅10− [W] .

c, o

z , o

 2 2 4

− 5 

2 2

2 2 2

Zatem moc wydzielona na dopasowanym obciążeniu wynosi 2,5 mW.

Pozostaje jeszcze do zaproponowania struktura impedancji Zo. Jak pamiętamy 3

10

Z =

[Ω] ,

o

1 − j

co możemy przepisać w postaci

0,5H

3

Z = 500+ 5

j 00 = 500 + 1

j 0 ⋅ 0,5 [Ω]

o

||

||

ω

L

0,5kΩ

i zrealizować jako szeregowe połączenie opornika 0,5kΩ i indukcyjności 0,5H.

Taki dwójnik przedstawiono obok.

b) W poprzednim podpunkcie wyprowadziliśmy zależność Z = Z

.

T

C || R

2

3

Ponadto wiemy, że impedancja dopasowująca Z

*

o spełnia warunek Zo= ZT , zatem 3

3

3

3

R

10

10

10

10

*

3

Z = Z

=

=

=

=

+j2 ⋅

[Ω] .

o

2

C || 3

R

3

6

−

3

1 − ω

j C R

1 + j ⋅ 2 ⋅10 ⋅10 ⋅10

1 − 2j

5

5

2

3

Ostatni wynik daje się też przepisać w postaci:

3

3

10

10

3

Z =

+j2 ⋅

= 200 + j2 ⋅10 ⋅ 0, 2 [Ω] .

o

5

5

||

||

ω

L

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

3/7

Oznacza to, że dopasowanym, na tej pulsacji, dwójnikiem jest szeregowe połączenie opornika 0,2kΩ i indukcyjności 0,4H. Na takim dwójniku wydziela się teraz maksymalna moc. Zatem odpowiedź na pytanie podpunktu b) jest negatywna.

c) Rozpatrzmy na początku, jaką impedancję Zi wi-dzimy na zaciskach wejściowych struktury pokazanej

na rysunku z prawej. Mamy:

I 1

µ U 1

Zo

U − U = U

µ

i I Z = U ,

1

2

1

1

o

2

U 1

U 2

skąd (dla µ=2)

µ=2

U 2

U

− µ

Z

1

1

o

Z =

=

=

= − Z .

i

U

o

2

I

1 − µ

1

Zo

Zatem w szczególności, gdyby Zo było indukcyjnością induktora o dodatniej indukcyjno-

ści L, z zacisków wejściowych widzielibyśmy indukcyjność o takiej samej (co do modułu) indukcyjności, ale ujemnej. Podobnie byłoby dla kondensatora.

Rozważmy z kolei dowolny liniowy dwójnik złożony z elementów rezystywnych oraz cewek i kondensatorów. Niech impedancja tego dwójnika wynosi Z. Jeżeli zastąpimy w tym dwójniku wszystkie kondensatory i induktory kondensatorami i induktorami o parametrach o przeciwnych znakach (np. Lk -Lk, Cl -Cl), to uzyskany dwójnik będzie miał indukcyjność Z*.

Zatem odpowiedź na pytanie punktu c) jest twierdząca. Można, przynajmniej teoretycz-nie1, jako obciążenie dopasowujące zaproponować dwójnik powstały z dwójnika C 2|| R 3, po-przez zastąpienie C 2 pojemno-

ścią - C 2 zrealizowaną w struktu-

rze jak na rysunku powyżej.

µ u 1

Ostatecznie obciążenie to przy-

*

Z ( ω

j ) = Z

( ω

j )

o

C 2

2

C || 3

R

u

brałoby postać jak na najbliż-

1

R 3

µ=2

szym rysunku.

1 Takie postępowanie, choćby ze względu na pominięte tu aspekty realizacyjne oraz ograniczony zakres często-tliwości, dla których fizycznemu elementowi odpowiada jego model teorioobwodowy, jest jednak niepraktyczne.

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

4/7

Zadanie 32

Wyznacz prąd i( t) w stanie ustalonym. Przyjmij następujące dane:



π 

7

e( t) = 10 cos 10 t +

 [V] ,

R



4 

E = 5 [V] , J = 2 [mA] , R = 5 [kΩ] , e( t)

i( t)

C = 10 [nF] , L = 1 [mH]

J

L

Odp.

E

7

C

i( t ) = −1 mA + 2, 002 cos(10 t + 0, 250637π ) µA Rozwiązanie

Najłatwiej zadanie rozwiązać wykorzystując metodę superpozycji.

1. Skutek od działania tylko źródła J.

R

iJ =0

J

2. Skutek od działania źródła E.

i

J

R

iE

E

5

−3

i = −

= −

= 1

− 0 [A]

E

3

R

5 ⋅10

E

3. Skutek od działania źródła e( t) ( metoda wskazowa ).

π

j 4

π

7

10e

10 cos(10 t +

) [V]

4

3

5kΩ

5 ⋅10

10 nF

1

− 0 j

4

1mH

j10

ˆ Ie

i ( t)

e

Badany obwód i jego schemat zastę pczy dla amplitud zespolonych

Z dzielnika prądu:

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

5/7

π

1

j

−

4

π

9

j1 , 0 0 2 5 5

1 0 e

5 ⋅ 1 0

− 6

4

I e = −

⋅

≅ 2 , 0 0 2 ⋅ 1 0

⋅ e

[ A ]

4

j1 0

1

1

1

+

−

4

3

j1 0

5 ⋅ 1 0

1 0 j

4. Ostateczny wynik otrzymujemy przez zsumowanie wartości natężenia z każdego z podpunktów:

7

i( t) ≈ 1

− mA + 2,002cos(10 t + 0, 250637π )µA

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

6/7

Zadanie 33

Znaleźć impedancję zespoloną Z obwodu:

Z

3Ω

j4Ω

Rozwiązanie:

Dla przedstawionego układu impedancja zespolona obwodu wynosi: jω LR

j ⋅ 4 ⋅ 3

48 + 36 j

Z =

=

=

R + jω L

3 + j ⋅ 4

25

Gdybyśmy nie dysponowali konkretnymi danymi ogólnie impedancję zastępczą Z(ω) można wyznaczyć w następujący sposób:

jω LR

Z (ω ) =

R + jω L

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]

Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa

Analiza wskazowa 31-34

© C. Stefański

4_Zadania31_34.doc

7/7

Zadanie 34

Znaleźć impedancję zespoloną Z obwodu:

Z

2Ω

j1Ω

- j2Ω

Rozwiązanie

Dla przedstawionego układu impedancja zespolona obwodu wynosi: jω RL

j ⋅1⋅ 2

2

12

Z =

=

=

+

[jΩ]

R + jω L + jω C ⋅ jω RL

2 + j ⋅1 − j ⋅ 2 ⋅ j ⋅1⋅ 2

37

37

Gdybyśmy nie dysponowali konkretnymi danymi ogólnie impedancję zastępczą Z można wyznaczyć z następującej zależności:

1

1

1

=

+

+ jω C

Z

R

jω L

Zauważ one błę dy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres [e-mail]