Temat 1

Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę Karol Bator

GGiIŚ, II rok, niestac.

grupa 1

SPRAWOZDANIE

DANE FORMALNO-PRAWNE:

1. Zleceniodawca: Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Geozdezji Górniczej i Inżynieri Środowiska 2. Wykonawca: Karol Bator

3. Czas wykonania: 15.05.2011

4. Rodzaj pracy: Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę Dane dla N=104

Współrzędne na płaszczyźnie S1(xi,yi)

1 ( 2134.756,1354.809 ) [m]

2 ( 6119.535, 1703.432 ) [m]

3 ( 2695.117, 6422.938 ) [m]

Współrzędne na płaszczyźnie S2(Xi,Yi)

1 ( 3586.142, 4576.980 ) [m]

2 ( 7334.496, 5976.245 ) [m]

3 ( 2770.112, 9612.113 ) [m]

WYNIKI OBLICZEŃ:

1) Równania prostych parametrycznych dla u=const i v=const

–

dla u=const:

–

dla v=const:

Teoria: W odwzorowaniu afinicznym proste przechodzi w proste a linie parametryczne w linie parametryczne

2) Współczynniki Gaussa E, F, G

- dla powierzchni S1:

- dla powierzchni S2:

E1=1

E2=1,00064535

F1=0

F2=-0,000786336

G1=1

G2=1,000887919

Teoria: Na powierzchni oryginału linie parametryczne są do siebie prostopadłe (tworzą siatkę ortogonalną), natomiast na powierzchni obrazu linie parametryczne są do siebie prostopadłe.

3) Kąt miedzy liniami parametrycznymi

ΘS1= 90o00'00'

ΘS1= 90o02'42.07'

Teoria: Na powierzchni oryginału linie parametryczne są wzajemnie prostopadłe. Natomiast na powierzchni obrazu przecinają się pod kątem większym od 90°. Odwzorowanie nie jest więc wiernokątne, co pozwala obliczyć kierunki główne dla tego odwzorowania.

4) Skala odwzorowania

m1=1,00025529

m2=1,000775601

m3=1,000356541

Teoria: Elementarna skala zniekształceń to stosunek odpowiadających sobie elementarnych wielkości na powierzchni oryginału i na płaszczyźnie obrazu. Umożliwia obliczenie zniekształceń długości na podstawie skali długości.

5) Kierunki główne (I Tw. Tissota) k1=-1,16606511

k2=0,857585045

Teoria: W dowolnym regularnym odwzorowaniu, jeśli nie jest równokątne, istnieje jedna siatka ortogonalna na powierzchni oryginału, której obraz na drugiej powierzchni będzie również siatką ortogonalną – siatka krzywych głównych (I twierdzenie Tissota). Zgonie z punktem 3 rozpatrywane odwzorowanie nie jest równokątne, więc możliwe jest obliczenie kierunków głównych i wyznaczenie skal długości w kierunkach ekstremalnych, stanowiących parametry elipsy zniekształceń.

6) Skala w kierunkach głównych (I Tw. Tissota) a=1,00078083

b=0,9999855

Teoria: Obrazem elementarnych skal długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu jest elipsa, której półosie są równe elementarnym skalom długości w kierunkach głównych. Umożliwia to określenie wartości zniekształceń, skal w kierunkach lini parametrycznych.

7) Skala w kierunkach lini parametrycznych (zależność między skalami)

- dla u=const:

- dla v=const

mu=1,000443861

mv=1,000322623

Teoria: Skale nie są sobie równe więc odwzorowanie nie jest równokątne (w odwzorowaniu występują zniekształcenia kątowe). Skale długości w kierunkach lini parametrycznych umozliwiają obliczenie skali pól.

8) Zniekształcenia kątów

β1=45o00'41.00'

β2=44o59'19.00'

9) Kąt o maksymalnym zniekształceniu

ωmax=0o02'43.98'

Teoria: Występujące w odwzorowaniu zniekształcenia kątowe określane są przez największą różnicę wartości bezwzględnej między kątem na powierzchni obrazu a odpowiadającym mu kątem na powierzchni oryginału.

10) Zniekształcenia pól

f=1,00029681

zp=0,000766318

Teoria: Ze względu na to, iż f ≠ 1, odwzorowanie nie jest wiernopolowe.

OBLICZENIA:

Współrzędne na płaszczyźnie S1

Indywidualne zmienne modyfikujące

x

2134,765

y

1354,809

1

1

N

104

x

6119,535

y

1703,432

2

2

dY

N 0,005

dX

N 0,005

3

2

x

2695,117

y

6422,938

3

3

dY

N 0,005

dX

N 0,005

2

3

Współrzędne na płaszczyźnie S2

X

3586,142

Y

4576,980

1

1

X

7333,976 dX

Y

5976,765 dY

2

2

2

2

X

2770,632 dX

Y

9611,593 dY

3

3

3

3

Wzór odwzorowania punktów z płaszczyzny S1 na płaszczyznę S2

x

u

X

a

a

x

a

y

1

2

3

y

v

Y

b

b

x

b

y

1

2

3

OBLICZENIE WSPÓŁCZYNNIKÓW W ODWZOROWANIU AFINICZNYM

x

y

1

X

Y

1

1

1

1

x

y

A

1

X

Y

2

2

LA

2

LB

2

x

y

1

X

Y

3

3

3

3

1

1

a

A

LA

b

A

LB

1890,60570951

2701,371293423

a

0,96408254

b

0,266814927

0,267604787

0,963989417

Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla u=const oraz v=const X

a

a

u

a

v

X

a

a

u

a

v

1

2

3

1

2

3

S

S

2

Y

b

b

u

b

v

2

Y

b

b

u

b

v

1

2

3

1

2

3

u=const

v=const

k

a

a

u

1

1

2

k'

a

a

v

1

1

3

k

b

b

u

2

1

2

k'

b

b

v

2

1

3

X

k

a

v

1

3

X

k'

a

u

S

1

2

2

Y

k

b

v

S

2

3

2

Y

k'

b

u

2

2

X

k

X

k'

1

1

v

v

a

a

3

2

X

k 1

X

k'

Y

k

b

1

2

3

a

Y

k'

b

3

2

2

a 2

b

b

k

3

3

1

b

b

k'

Y

X

k

2

2

1

a

2

a

Y

X

k'

3

3

a

2

a

2

2

Postać parametryczna prostej dla u=const Postać parametryczna prostej dla v=const b

b

3

3

b

b

Y

X

k

k

2

2

a

2

a

1

Y

X

k

k

3

3

a

2

a

1

2

2

b 3

b

3,602287648

2

a

0,276755274

3

a 2

Równania linii stałych parametrów u i v na powierzchni S2

b

b

3

2

f1 x

x

f2 x

x

a

a

3

2

12

y

f2

8

f1

4

0

x

-4

-8

-8

0

8

-12

f1 x

f2 x

2. Wyznaczenie I formy kwadratowej oraz współczynników Gaussa 2

2

2

dS

E du

2 F du dv

G dv

Definicja funkcji parametrów u, v:

a

f u ; v

a

u

a

v

2

1

3

b

g u ; v

b

u

b

v

2

1

3

Powierzchnia S1

Powierzchnia S2

2

2

2

2

2

2

dS

E

du

2 F

du dv

G

dv

dS

E

du

2 F

du dv

G

dv

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

E

1

E

a

b

E

1,00064535

1

2

2

2

2

F

0

F

a

a

b

b

F

0,000786336

1

2

2

3

2

3

2

G

1

2

2

G

1,000887919

1

G

a

b

2

2

3

3

3. Obliczenie kąta pomiędzy liniami parametrycznymi.

F 1

180

Θ

arccos

Θ

1,570796327

rad

Θ

90 stopni

S1

E

G

S1

S1

π

1

1

F 2

Θ

arccos

Θ

1,571582061

rad

180

S2

E

G

S2

Θ

90,045019239 stopni

2

2

S2

π

SKALA ODWZOROWANIA

Współrzędne płaszczyzny S1 (xi,yi) i S2 (Xi, Yi) x

2134,765

y

1354,809

X

3586,142

Y

4576,98

1

1

1

1

x

6119,535

y

1703,432

X

7334,496

Y

5976,245

2

2

2

2

x

2695,117

y

6422,938

X

2770,112

Y

9612,113

3

3

3

3

Obliczenie długości na powierzchniach S1 i S2

2

2

2

2

d

x

x

y

y

d

X

X

Y

Y

112

2

1

2

1

212

2

1

2

1

2

2

2

2

d

x

x

y

y

d

X

X

Y

Y

123

3

2

3

2

223

3

2

3

2

2

2

2

2

d

x

x

y

y

d

X

X

Y

Y

131

1

3

1

3

231

1

3

1

3

Obliczenie kierunków dla boków trójkąta bok (i-i)

k

d1ii

d2ii

y

y

2

1

1-2

k

k

0,087488864

d

3999,991243619d

4001,012403073

12

x

x

12

112

212

2

1

y

y

2-3

3

2

k

k

1,378192148 d

5830,984095567d

5835,506611502

23

x

x

23

123

223

3

2

y

y

3-1

1

3

k

k

9,044545214

d

5099,012249892d

5100,83025483

13

x

x

13

131

231

1

3

Skala odwzorowań:

na podstawie wzoru na skalę dla kierunków w trójkącie 2

E

2 F

k

G

k

2

2

12

2

12

m

m

1,00025529

1

2

1

1

k 12

2

E

2 F

k

G

k

2

2

23

2

23

m

m

1,000775601

2

2

2

1

k 23

2

E

2 F

k

G

k

2

2

13

2

13

m

m

1,000356541

3

2

3

1

k 13

kontrola

d 212

m'

m'

1,00025529

1

d

1

112

d 223

m'

m'

1,000775601

2

d

2

123

d 231

m'

m'

1,000356541

3

d

3

131

Kierunki główne odwzorowania:

2

2

G

E

G

E

4 F

2

2

2

2

2

k

k

1,16606511

1

2 F

1

2

2

2

G

E

G

E

4 F

2

2

2

2

2

k

k

0,857585045

2

2 F

2

2

kontrola

warunek poprawności: ki*kj=1

k

k

1

1

2

Skale w kierunkach linii parametrycznych: dla u=const (du=0)

G 2

m

m

1,000443861

u

G

u

1

wielkość zniekształcenia:

z

m

1

du

u

5

cm

z

0,000443861

z

10

44,386081395

du

du

km

dla v=const (dv=0)

E 2

m

m

1,000322623

v

E

v

1

wielkość zniekształcenia:

z

m

1

dv

v

5

cm

z

0,000322623

z

10

32,262275083

dv

dv

km

Skale i zniekształcenia długości w kierunkach głównych: 2

E

2 F

k

G

k

2

2

1

2

1

a

2

a

1,00078083

1

k 1

2

E

2 F

k

G

k

2

2

2

2

2

b

b

0,9999855

2

1

k 2

wielkość zniekształcenia:

z

a

1

z

0,00078083

da

da

z

b

1

z

0,0000145

db

db

Kąt o maksymalnym zniekształceniu:

a

b

180

ω

2 arcsin

ω

0,000795025 rad

ω

0,045551599 stopni

a

b

π

kontrola:

a

β

arctg

180

1

b

β

0,78559692 rad

β

45,0113879 stopni

1

1

π

b

180

β

arctg

β

0,785199407 rad

β

44,9886121 stopni

2

a

2

2

π

180

ω

2 β

β

ω

0,000795025 rad

ω

0,045551599 stopni

max

1

2

max

max

π

Skala i zniekształcenia pola:

skala

f

a b

f

1,000766318

zniekształcenie

z

f

1

z

0,000766318

p

p

kontrola

f'

a

b

a

b

f'

1,000766318

1

2

2

2