Klasa 3c

Geometria analityczna

Powtórzenie

1. Dany jest odcinek o końcach A = (5, 3), B = ( 5,

− 2) . Wyznacz punkt dzielący ten odcinek w stosunku 2:5 licząc

od punktu A.

2. Napisz równanie okręgu o promieniu r = 40 stycznego do prostej y = 3 x − 5 w punkcie A = (1, − 2) .

3. Dla jakich wartości parametru m okrąg 2

2

x − 4 x + y = 0 ma dwa punkty wspólne z prostą y = mx − m ?

4. Wyznacz równanie okręgu o średnicy AB, jeśli A = ( 4,

−

)

1 , B = (5, − 3) .

5.

2

2

Dany jest okrąg o równaniu ( x − 2) + ( y − 4) = 16 . W ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny o jednym wierzchołku A = (6, 4) . Wyznacz pozostałe wierzchołki tego trójkąta.

⎛ +

+

⎞

6.

x

x

y

y

Wykaż, że środek odcinka o końcach A = ( x , y , B = x , ma współrzędne

1

2

1

2

S =

,

.

1

1 )

( 2 y 2 )

⎜

⎟

⎝

2

2

⎠

1

7. Wyznacz równanie stycznej do okręgu 2

2

x + y = 9 prostopadłej do prostej y =

x + 5 .

2

8. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli A = (0, − 8), B = (6, 0), C = (7, − ) 1 .

9. Dane są dwa wierzchołki trójkąta A = (4, − 5), B = (1, − ) 1 i jego pole P = 20. Wyznacz współrzędne wierzchołka

C wiedząc, że leży na prostej y = −2 x .

2

2

⎧⎪ x + y − 6 y ≤16

10. Naszkicuj w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ ⎨

.

2

2

⎪⎩ x + y − 6 y ≥ 0

Oblicz pole tej figury.

11. Oblicz długość cięciwy AB okręgu 2

2

x − 2 x + y + 4 y = 5 zawartej w prostej y = x −1.

12. Punkty A = (0, − 6), B = (2, − 5), C = ( 1

− , 4) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz czwarty

wierzchołek tego równoległoboku.

13. Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu y = mx ma jeden punkt wspólny z okręgiem 2

2

x + 6 x + y +1 = 0 ?

G

G

14. Jeśli α jest miarą kąta skierowanego pary wektorów niezerowych o współrzędnych u = [ a , i v = [ b ,

, to

1

2

b ]

1 a 2 ]

JJJG JJJG

1 1

2 2

cos

a b

a b

α

+

=

G G

. Korzystając z tego wzoru oblicz miarę kąta między wektorami AB, CD , jeśli u ⋅ v

A = ( 3, − 3), B = (− 3, 3), C = (− 3, 5), D = (2 3, 5) .

15. Na prostej l : y = x +1 znajdź punkt P odległy o 3 od prostej k : 3 x + 4 y − 2 = 0 .

G

16. Jeśli punkt P′ jest obrazem punktu P = ( x, y) w przesunięciu o wektor u = [ a, b] , to ma współrzędne P′ = ( x + a, y + b) . Korzystając z tych wzorów wykaż, że odcinek AB i jego obraz w przesunięciu o wektor G

u = [ a, b] mają równe długości.

17. Wyznacz równanie stycznej do okręgu 2

2

x − 8 x + y + 6 y = 0 nachylonej do osi OX pod kątem 135D .

⎧ y ≤ − 2 x + 4

⎪

18. Naszkicuj w układzie współrzędnych figurę f określoną układem ⎨

. Napisz równanie okręgu

⎪ y ≥ 2 x − 4

⎩

wpisanego w tę figurę.

19. Dane są punkty A = ( 2,

− 4), B = ( 6,

− 4) . Wyznacz taki punkt C = ( x, y) , gdzie x∈( 2;

− 2) leżący na paraboli o

równaniu

2

y = x , aby pole trójkąta ABC było największe.

Klasa 3c

Geometria analityczna

Powtórzenie

20. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (4, − 2), B = ( 2,

− 5) jeśli wiesz, że jego środek należy

do prostej y = x +1.

21. Dane są okręgi ( x − )2

2

4 + y = 9 i ( x − m)2

2

+ y = 4 . Dla jakich wartości parametru m te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny?

22. Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty A = (5, 4), B = ( 1

− , 2), C = (2, 0) , jest rozwartokątny.

Wyznacz taki punkt D aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.

23. Figura

+

−

≤ , a figura

+

−

≤ . Oblicz pole

1

F opisana jest nierównością x

( y )2

2

2

4

2

F – nierównością x

( y )2

2

4

4

części wspólnej tych figur.

24. Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do okręgu 2

2

x + 6 x + y + 4 y = 3 :

a) Względem punktu A = (0, 2) ,

b) Względem prostej y = 3

− x −1.

25. Wykaż, że równanie 2

2

x + y + ax + by + c = 0 określa okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy 2

2

a + b > 4 c .

JG

G

G

G

G

26. Dla jakich wartości parametru k długość wektora w = ka + 2 b jest równa 2, jeśli a = 2, b = 1 oraz kąt między G

G

2π

wektorami a i b jest równy

?

3

G

G

G

G

27. Dwa wektory u i v mają długości u = 4, v = 2 , a kąt między nimi ma miarę 60D . Oblicz długość wektora JG

G

G

w = 2 u + 3 v .

1

28. Dla jakich wartości parametru α odległość punktu P = (1, 2) od prostej y = x + sinα jest równa

?

2

29. W układzie współrzędnych dane są punkty A = ( 9,

− − 2) oraz B = (4, 2) . Wyznacz współrzędne punktu C

leżącego na osi OY tak, że kąt ACB jest kątem prostym.

30. W trójkącie ABC znane są współrzędne wierzchołków A = (1, − ) 1 , B = (5, 7) oraz punktu przecięcia jego

środkowych S = (2, 4) . Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

31. Spośród trójkątów o wierzchołkach A = ( m − 2, m − 2), B = ( m + 6, ) 1 , C = (9, m + 4) wybierz ten, w którym

4

cosinus kąta wewnętrznego przy wierzchołku A wynosi , a długość okręgu na nim opisanego jest równa 10π .

5

Napisz równanie okręgu wpisanego w wybrany trójkąt.

32. Odcinek o końcach A = (3, 2), B = (2, − )

1 jest mniejszą podstawą trapezu. Większa podstawa tego trapezu jest

dwa razy dłuższa od mniejszej, a jej środkiem jest punkt M = (1, ) 1 . Oblicz współrzędne pozostałych

wierzchołków trapezu.

33.

2

2

Dane są okręgi 2

2

x + y − 4 x + 6 y +12 = 0 oraz ( x + 2) + ( y − 5) = 10 . Napisz równanie symetralnej odcinka łączącego środki tych okręgów.

⎧

sin

⎫

34.

x

Dane są zbiory A = ⎨ x ∈ R :

> 0 ∧ x∈ π

− ; π ⎬ , B = {

x

x 1

+

x+2

x ∈ R : 2 + 2

+ 2

< 5 }

6 ,

⎩

x

⎭

B = { x∈ R

(

2

: log 10 − 3 x − x ) ≤ }

1 . Wyznacz zbiór A ∩ B ∩ C .

2

x − 2 x + 5

35. Dane są zbiory A i B. Wyznacz zbiór B − A , jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji f ( x) =

+ log( x + )

1 ,

2 − x

a zbiór = { ∈ R: 2log(2 x − 2) ≤ log(2 x

B

x

+10) + log }

2 .

Klasa 3c

Geometria analityczna

Powtórzenie

36. Dane są punkty A = (4, 5), B = ( 4,

− − )

1 i prosta k o równaniu x − 3 y − 9 = 0 .

a) Na prostej k znajdź punkt C jednakowo oddalony od punktów A i B.

b) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A i nachylonej do osi OX pod kątem dwa razy większym niż prosta k.

37. Dany jest punkt A = ( 1,

− 2) .

a) Znajdź równanie tej prostej, na której osie układu współrzędnych ograniczają odcinek o środku w punkcie A.

b) Znajdź równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt A, że odległość początku układu współrzędnych od tej prostej wynosi 1.

38. Punkt S = (2, − )

1 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wierzchołek A ma współrzędne ( 3,

− − )

1 , a

bok BC jest zawarty w prostej x + 7 y − 20 = 0 . Oblicz: a) Współrzędne wierzchołków B i C.

b) Pole trójkąta ABC.

39. Punkt A = (7, 3) jest wierzchołkiem, zaś punkt S = (3, 2) środkiem symetrii kwadratu ABCD. Wyznacz pozostałe wierzchołki kwadratu ABCD i napisz równanie okręgu wpisanego w ten kwadrat.

40. W prostej o równaniu 2 x + y − 6 = 0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu 2

2

x + y − 2 y − 4 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

41. Punkty przecięcia paraboli

2

y = x − 2 x − 8 z prost ą 2 x + y −1 = 0 są końcami przekątnej rombu, którego pole jest równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.

42. Punkt S = (0, 0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego JJJG

JJJG

równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że AB = [4, ]

3 i BC = [6, 2] .

43. Punkty A = (0, − 5), B = (4, 3), C = ( 1

− , 3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB

i CD. Wyznacz wierzchołek D i pole trapezu.

2

2

2

⎧⎪ x + y + 2 x = m −1

44. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m układ równań ⎨

ma dokładnie jedno

2

2

2

⎪⎩ x + y − 4 x − 8 y = m + 2 m −19

rozwiązanie.

45. Dla jakich wartości parametru p pierwiastki równania 2

2

x − 2 2 x + p + 1 = 0 są współrzędnymi punktów

należących do koła o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 5 ?