Geometria analityczna
Powtórzenie
1. Dany jest odcinek o końcach A = (5, 3), B = ( 5,
− 2) . Wyznacz punkt dzielący ten odcinek w stosunku 2:5 licząc
od punktu A.
2. Napisz równanie okręgu o promieniu r = 40 stycznego do prostej y = 3 x − 5 w punkcie A = (1, − 2) .
3. Dla jakich wartości parametru m okrąg 2
2
x − 4 x + y = 0 ma dwa punkty wspólne z prostą y = mx − m ?
4. Wyznacz równanie okręgu o średnicy AB, jeśli A = ( 4,
−
)
1 , B = (5, − 3) .
5.
2
2
Dany jest okrąg o równaniu ( x − 2) + ( y − 4) = 16 . W ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny o jednym wierzchołku A = (6, 4) . Wyznacz pozostałe wierzchołki tego trójkąta.
⎛ +
+
⎞
6.
x
x
y
y
Wykaż, że środek odcinka o końcach A = ( x , y , B = x , ma współrzędne
1
2
1
2
S =
,
.
1
1 )
( 2 y 2 )
⎜
⎟
⎝
2
2
⎠
1
7. Wyznacz równanie stycznej do okręgu 2
2
x + y = 9 prostopadłej do prostej y =
x + 5 .
2
8. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli A = (0, − 8), B = (6, 0), C = (7, − ) 1 .
9. Dane są dwa wierzchołki trójkąta A = (4, − 5), B = (1, − ) 1 i jego pole P = 20. Wyznacz współrzędne wierzchołka
C wiedząc, że leży na prostej y = −2 x .
2
2
⎧⎪ x + y − 6 y ≤16
10. Naszkicuj w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ ⎨
.
2
2
⎪⎩ x + y − 6 y ≥ 0
Oblicz pole tej figury.
11. Oblicz długość cięciwy AB okręgu 2
2
x − 2 x + y + 4 y = 5 zawartej w prostej y = x −1.
12. Punkty A = (0, − 6), B = (2, − 5), C = ( 1
− , 4) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz czwarty
wierzchołek tego równoległoboku.
13. Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu y = mx ma jeden punkt wspólny z okręgiem 2
2
x + 6 x + y +1 = 0 ?
G
G
14. Jeśli α jest miarą kąta skierowanego pary wektorów niezerowych o współrzędnych u = [ a , i v = [ b ,
, to
1
2
b ]
1 a 2 ]
JJJG JJJG
1 1
2 2
cos
a b
a b
α
+
=
G G
. Korzystając z tego wzoru oblicz miarę kąta między wektorami AB, CD , jeśli u ⋅ v
A = ( 3, − 3), B = (− 3, 3), C = (− 3, 5), D = (2 3, 5) .
15. Na prostej l : y = x +1 znajdź punkt P odległy o 3 od prostej k : 3 x + 4 y − 2 = 0 .
G
16. Jeśli punkt P′ jest obrazem punktu P = ( x, y) w przesunięciu o wektor u = [ a, b] , to ma współrzędne P′ = ( x + a, y + b) . Korzystając z tych wzorów wykaż, że odcinek AB i jego obraz w przesunięciu o wektor G
u = [ a, b] mają równe długości.
17. Wyznacz równanie stycznej do okręgu 2
2
x − 8 x + y + 6 y = 0 nachylonej do osi OX pod kątem 135D .
⎧ y ≤ − 2 x + 4
⎪
18. Naszkicuj w układzie współrzędnych figurę f określoną układem ⎨
. Napisz równanie okręgu
⎪ y ≥ 2 x − 4
⎩
wpisanego w tę figurę.
19. Dane są punkty A = ( 2,
− 4), B = ( 6,
− 4) . Wyznacz taki punkt C = ( x, y) , gdzie x∈( 2;
− 2) leżący na paraboli o
równaniu
2
y = x , aby pole trójkąta ABC było największe.
Geometria analityczna
Powtórzenie
20. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (4, − 2), B = ( 2,
− 5) jeśli wiesz, że jego środek należy
do prostej y = x +1.
21. Dane są okręgi ( x − )2
2
4 + y = 9 i ( x − m)2
2
+ y = 4 . Dla jakich wartości parametru m te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny?
22. Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty A = (5, 4), B = ( 1
− , 2), C = (2, 0) , jest rozwartokątny.
Wyznacz taki punkt D aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.
23. Figura
+
−
≤ , a figura
+
−
≤ . Oblicz pole
1
F opisana jest nierównością x
( y )2
2
2
4
2
F – nierównością x
( y )2
2
4
4
części wspólnej tych figur.
24. Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do okręgu 2
2
x + 6 x + y + 4 y = 3 :
a) Względem punktu A = (0, 2) ,
b) Względem prostej y = 3
− x −1.
25. Wykaż, że równanie 2
2
x + y + ax + by + c = 0 określa okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy 2
2
a + b > 4 c .
JG
G
G
G
G
26. Dla jakich wartości parametru k długość wektora w = ka + 2 b jest równa 2, jeśli a = 2, b = 1 oraz kąt między G
G
2π
wektorami a i b jest równy
?
3
G
G
G
G
27. Dwa wektory u i v mają długości u = 4, v = 2 , a kąt między nimi ma miarę 60D . Oblicz długość wektora JG
G
G
w = 2 u + 3 v .
1
28. Dla jakich wartości parametru α odległość punktu P = (1, 2) od prostej y = x + sinα jest równa
?
2
29. W układzie współrzędnych dane są punkty A = ( 9,
− − 2) oraz B = (4, 2) . Wyznacz współrzędne punktu C
leżącego na osi OY tak, że kąt ACB jest kątem prostym.
30. W trójkącie ABC znane są współrzędne wierzchołków A = (1, − ) 1 , B = (5, 7) oraz punktu przecięcia jego
środkowych S = (2, 4) . Wyznacz współrzędne wierzchołka C.
31. Spośród trójkątów o wierzchołkach A = ( m − 2, m − 2), B = ( m + 6, ) 1 , C = (9, m + 4) wybierz ten, w którym
4
cosinus kąta wewnętrznego przy wierzchołku A wynosi , a długość okręgu na nim opisanego jest równa 10π .
5
Napisz równanie okręgu wpisanego w wybrany trójkąt.
32. Odcinek o końcach A = (3, 2), B = (2, − )
1 jest mniejszą podstawą trapezu. Większa podstawa tego trapezu jest
dwa razy dłuższa od mniejszej, a jej środkiem jest punkt M = (1, ) 1 . Oblicz współrzędne pozostałych
wierzchołków trapezu.
33.
2
2
Dane są okręgi 2
2
x + y − 4 x + 6 y +12 = 0 oraz ( x + 2) + ( y − 5) = 10 . Napisz równanie symetralnej odcinka łączącego środki tych okręgów.
⎧
sin
⎫
34.
x
Dane są zbiory A = ⎨ x ∈ R :
> 0 ∧ x∈ π
− ; π ⎬ , B = {
x
x 1
+
x+2
x ∈ R : 2 + 2
+ 2
< 5 }
6 ,
⎩
x
⎭
B = { x∈ R
(
2
: log 10 − 3 x − x ) ≤ }
1 . Wyznacz zbiór A ∩ B ∩ C .
2
x − 2 x + 5
35. Dane są zbiory A i B. Wyznacz zbiór B − A , jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji f ( x) =
+ log( x + )
1 ,
2 − x
a zbiór = { ∈ R: 2log(2 x − 2) ≤ log(2 x
B
x
+10) + log }
2 .
Geometria analityczna
Powtórzenie
36. Dane są punkty A = (4, 5), B = ( 4,
− − )
1 i prosta k o równaniu x − 3 y − 9 = 0 .
a) Na prostej k znajdź punkt C jednakowo oddalony od punktów A i B.
b) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A i nachylonej do osi OX pod kątem dwa razy większym niż prosta k.
37. Dany jest punkt A = ( 1,
− 2) .
a) Znajdź równanie tej prostej, na której osie układu współrzędnych ograniczają odcinek o środku w punkcie A.
b) Znajdź równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt A, że odległość początku układu współrzędnych od tej prostej wynosi 1.
38. Punkt S = (2, − )
1 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wierzchołek A ma współrzędne ( 3,
− − )
1 , a
bok BC jest zawarty w prostej x + 7 y − 20 = 0 . Oblicz: a) Współrzędne wierzchołków B i C.
b) Pole trójkąta ABC.
39. Punkt A = (7, 3) jest wierzchołkiem, zaś punkt S = (3, 2) środkiem symetrii kwadratu ABCD. Wyznacz pozostałe wierzchołki kwadratu ABCD i napisz równanie okręgu wpisanego w ten kwadrat.
40. W prostej o równaniu 2 x + y − 6 = 0 zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu 2
2
x + y − 2 y − 4 = 0 . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.
41. Punkty przecięcia paraboli
2
y = x − 2 x − 8 z prost ą 2 x + y −1 = 0 są końcami przekątnej rombu, którego pole jest równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.
42. Punkt S = (0, 0) jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego JJJG
JJJG
równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że AB = [4, ]
3 i BC = [6, 2] .
43. Punkty A = (0, − 5), B = (4, 3), C = ( 1
− , 3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB
i CD. Wyznacz wierzchołek D i pole trapezu.
2
2
2
⎧⎪ x + y + 2 x = m −1
44. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m układ równań ⎨
ma dokładnie jedno
2
2
2
⎪⎩ x + y − 4 x − 8 y = m + 2 m −19
rozwiązanie.
45. Dla jakich wartości parametru p pierwiastki równania 2
2
x − 2 2 x + p + 1 = 0 są współrzędnymi punktów
należących do koła o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 5 ?