Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
S , S - cena spot baryłki ropy odpowiednio obecna i w grudniu 2011
1
2
F , F - cena futures baryłki oleju odpowiednio obecna i w grudniu 2011
1
2
h – liczba kontraktów futures (szukana odpowiedź) minimalizujemy wariancję ekspozycji czyli: Y = 2000000 S − F − F ⋅ h ⋅
=
S + S − S ⋅
− F − F ⋅ h ⋅
2
( 2 1) 42000 2000000 1 ( 2 1) 2000000 ( 2 1) 42000
S jest stałe i S
,
2 − S 1 =
S
∆ F 2 − F 1 = F
∆
1
Minimalizujemy więc wariancję X = 2000000 ⋅ ∆ S − ∆ F ⋅ h ⋅ 42000
∆ S - zmiana ceny spot ropy a wiemy, że
∆ S
2
var
= 3
,
0 1 → var(∆ S )
2
2
2
2
= 3
,
0 1 S = 3
,
0 1 ⋅170
1
S
1
∆ F
Analogicznie:
2
var
= ,
0 23 → var(∆ F )
2
2
= ,
0 23 ⋅167 5
,
F
1
∆ F ∆ S
ρ
,
= ρ(∆ F, ∆ S ) = 8
,
0 9
F
S
1
1
cov(∆ F, ∆ S ) = ρ(∆ F, ∆ S )⋅ var(∆ F ) var(∆ S ) = 8
,
0 9 ⋅ ,
0 23 ⋅167 5
, ⋅ 3
,
0 1⋅170
var X = 20000002 var(∆ S ) + h 2 var(∆ F )⋅ 420002 − 4000000 ⋅ 42000 ⋅ h ⋅ cov(∆ F, ∆ S ) →
4000000 cov(∆ F, ∆ S )
2000000 cov(∆ F, ∆ S )
→ h
min =
2 var(∆ F )
=
⋅ 42000
42000 var( F )
=
∆
2000000 ⋅ 8
,
0 9 ⋅ ,
0 23 ⋅167 5
, ⋅ 3
,
0 1⋅170
=
≈ 58
,
0 232 ⋅167 5
, 2 ⋅ 42000
Zadanie 2
R – stopa zwrotu
R = R + β st
f
R
R - stopa wolna od ryzyka
f
st - risk premium
R
Dla I portfela: R = ,
0 055 + 8
,
0 5 ⋅ ,
0 031 = ,
0 08135 (nie uwzględniamy dodatkowej premii) Lub R =
0
,
0 55 + 8
,
0 5 ⋅ ( 0
,
0 31 + 0
,
0 0 )
3 =
0
,
0 839 (uwzględniamy dodatkową premię za ryzyko) Dla portfela II: R = ,
0 055 + ,
0 68 ⋅ ,
0 038 = ,
0 08084
Jak widać w obu przypadkach stopa zwrotu portfela I jest większa od stopy portfela II
p - prawdopodobieństwo wypłacalności w i-tym roku i
p = 1
,
0
1
p = 9
,
0 ⋅ 1
,
0 5
2
p = 9
,
0 ⋅ 8
,
0 5 ⋅ ,
0 25
3
p = 9
,
0 ⋅ 8
,
0 5 ⋅ ,
0 75 ⋅ 3
,
0 2
4
p = 1 − p − p − p − p p
-
rawdopodobienstwo z
e u
trzyma s
i
e wyplacal o
n sc d
o k
onca
5
1
2
3
4
3
,
0 ⋅150000
w =
1
,
1 055
,
0 065 ⋅150000
3
,
0 ⋅150000
w =
+
2
2
,
1 055
,
1 055
,
0 065 ⋅150000
,
0 065 ⋅150000
3
,
0 ⋅150000
w =
+
+
3
2
3
,
1 055
,
1 055
,
1 055
,
0 065 ⋅150000
,
0 065 ⋅150000
,
0 065 ⋅150000
3
,
0 ⋅150000
w =
+
+
+
4
2
3
4
,
1 055
0
,
1 55
,
1 055
,
1 055
1
1
1
1
150000
w = ,
0 065 ⋅150000
+
+
+
+
5
2
3
4
4
,
1 055
,
1 055
,
1 055
,
1 055
,
1 055
ODP = p w + p w + p w + p w + p w ≈ 93816
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
Zadanie 4
X
1
Gdy X ≅ N (
2
,
w σ ) → Ee = ex
p w +
2
σ
2
Przy braku arbitrażu:
S (0)
0
− ,05
= e
ES )
1
(
0
− ,05
= e
A )
1
( E( 0,3
e Z ) = A )
1
(
0
− ,05 0,045
e
e
= A )
1
(
0
− ,005
e
b
o
3
,
0
Z ≅ N (
,
0
;
0
09)
0,005
0,005
0,3 Z
→ A )
1
(
= S(0) e
→ S )
1
(
= S(0) e
e
2
S )
1
(
2
0,01
0,6
S( )
0 e
e Z
ODP =
−0,05
−0,05
0,01
0,6 Z
−
E
e
E
e
e
E e
e
2
=
2
=
( ) 0,05 =
S( )
0
S ( )
0
= 6
,
0 Z ≅ N (
3
,
0
;
0
6)
0,01
0,5 0
⋅ ,36
0
− ,05
0 1
, 4
= e e
e
= e
Zadanie 5
st(AA) – stan, że na początku roku 2 rating A i na początku roku 3 rating A st(AB), st(BA), st(BB) – analogicznie
p
, p
, p , p
- odpowiednie prawdopodobieństwa
AA
AB
BA
BB
w , w , w , w
- odpowiednie wartości obligacji
AA
AB
BA
BB
p
AA =
,
0 7 2 = ,
0 49
p
AB =
7
,
0 ⋅ 3
,
0
= ,
0 21
BA =
3
,
0 ⋅ 1
,
0 =
0
,
0 3
p
BB =
3
,
0 ⋅ 9
,
0
= ,
0 27
w
AA =
9
,
0 ⋅ 50 + 9
,
0 2 ⋅ 50 + 9
,
0 3 ⋅1050
w
AB =
9
,
0 ⋅ 50 + 9
,
0 2 ⋅ 50 + 9
,
0 2 ⋅ 8
,
0 ⋅1050
w
BA =
9
,
0 ⋅ 50 + 9
,
0 ⋅ 8
,
0 ⋅ 50 + 9
,
0 ⋅ 8
,
0 ⋅ 9
,
0 ⋅1050
w
BB =
9
,
0 ⋅ 50 + 9
,
0 ⋅ 8
,
0 ⋅ 50 + 9
,
0 ⋅ 8
,
0 2 ⋅1050
ODP = p
w
p
w
p
w
p
w
AA ⋅
AA +
AB ⋅
AB +
BA ⋅
BA +
BB ⋅
BB ≈ 785 8
, 1
Zadanie 6
5
200
P′ = −
−
2
3
1
( + i)
1
( + i)
5
200
5
100
P i
( ) = ∫ −
−
2
3 + C =
+
+ C
1
( + i)
1
( + i)
1 + i
1
( + i 2
)
5
100
100
5
P( ,
0 0 )
3 = 103 8
, 3 =
+
+ C → C = 103 8
, 3 −
−
,
1 03
,
1 032
,
1 032
,
1 03
5
100
100
5
P( i) =
+
+103 8
, 3 −
−
1 + i
1
( + i)2
,
1 032
,
1 03
5
100
100
5
P( ,
0 03 )
5 =
+
+103 8
, 3 −
−
≈ 102 8
, 5
,
1 035
,
1 0352
,
1 032
,
1 03
Zadanie 7
x - udział obligacji A
A
n , n - długości obligacji A
B
N , N - nominały
A
B
1
v =
,
1 06
I. 9
,
0 161 = ,
0 0 (
nA
5 v + ... + v )
nA
+ ,
1 0 v
5
II. 9
,
0 161⋅ 1
,
9 68 = ,
0 0 (
2
nA
5 v + 2 v + ... + n v
+ ,
1 05 n v
A
)
nA
A
III. ,
1 0736 = ,
0 07(
nB
v + ... + v )
nB
+ ,107 v
IV .7,611⋅ ,
1 0736 = ,
0 07(
2
nB
v + 2 v + ... + n v
+ ,107 n v
B
)
nB
B
x
1 x
A
−
c
c
A =
i
-
losc o
bligacji A
; B =
A
i
-
losc o
bligacji B
N
N
A ⋅
9
,
0 161
B ⋅
0
,
1 736
L
7 5
, 79 =
, gdzie
M
L = c N
v
v
n
v
n
v
A
A [ ,
0 0 (
5 +
2
2
+ ... + ( A − ) nA−1
1
)+ ,10 (5 A − ) nA−1
1
]+
+ c N
v
v
n
v
n
v
B
B [ ,
0 07(
2
+ 2 + ... + ( B − ) n 1
1
B −
)+ ,107( B − ) n 1
1
B − ]
v
v
v
c N
v
v
v
A
A [ ,
0 0 (
n
1
5 + ...
A −
+
)
n
1
+ ,
1 05 A− ]+ B B [ ,
0 07(
n
1
+ ...
B −
+
)
n
1
+ ,107 B− ]
II − I : 1
,
9 68 ⋅ 9
,
0 161 − 9
,
0 161 = ,
0 0 (
5 v 2 + 2 v 3 + ... + ( n 1 v
,
1 05 n
1 v
A −
) nA )+ ( A − ) nA →
9
,
0 161⋅ 1
,
8 68
→
= ,
0 0 (
2
5 v + 2 v + ... + ( n v
n
v
A −
) n 1
1
n
A −
)+ ,10 (5 A − ) 1
1
A −
v
IV − III
,
6 611⋅ ,
1 0736
Analogicznie:
:
= ,
0 07(
2
v + 2 v + ... + ( n
v
n
v
B −
) n 1
1
n
B −
)+ ,107( B − ) 1
1
B −
v
v
x
9
,
0 161⋅ 1
,
8 68
1 − x
,
6 611⋅ ,
1 0736
L
A
A
=
+
9
,
0 161
v
,
1 0736
v
9
,
0 161
z I:
= ,
0 0 (
n
1
5 1 + ...
n
A −
+ v
)
1
+ ,
1 05 A −
v
v
→ ,
0 0 (
5 v + ...
n
1
+
n
A −
v
)
1
A −
9
,
0 161
+ ,
1 05 v
=
− ,
0 05
v
,
1 0736
Z III:
= ,
0 07(
n
1
1 + ...
n
B −
+ v
)
1
+ ,107 B−
v
v
→ ,
0 07( v + ...
n
1
+
n
B −
v
)
1
B −
,
1 0736
+ ,
1 07 v
=
− ,
0 07
v
x
9
,
0 161
1
A
− x ,
1 0736
M =
− ,
0 05 +
A
− ,
0 07
9
,
0 161
v
,
1 0736
v
1
,
8 68 x
x
A ⋅ ,
1 06 + (1− A )⋅ ,
6 611⋅
7 5
, 79 =
,
1 06
,
1 06 x
x
x
A −
,
0 05
A + (1 −
A )
,
0 07
,
1 06 −
9
,
0 161
,
1 0736
0
,
0 5
0
,
0 7
0
,
0 7
5
,
7 79 0
,
1 6 −
− 0
,
1 6 −
x
A +
5
,
7 7
9
0
,
1 6 −
=
9
,
0 161
0
,
1 736
0
,
1 736
= ( 1,
8 68 ⋅ 0
,
1 6 − 0
,
1 6 ⋅ 6
,
6 1 )
1 x
A +
0
,
1 6 ⋅ 6
,
6 11
,
0 07
,
1 06 ⋅ ,
6 611 − 7 5
, 79 ,
1 06 −
,
1 0736
x
A =
,
0 07
,
0 05
7 5
, 79
−
− ,
1 06( 1
,
8 68 − ,
6 61 )
1
,
1 0736
9
,
0 161
xA
c N
x
A
A
9
,
0 161
,
1 0736
ODP =
=
=
A
≈ ,
0 6
c N
1 − xA
1
x
B
B
−
9
,
0 161
A
,
1 0736
Zadanie 8
,
0 065
Odsetki spłacone w I półroczu: OD ) 1
(
=
⋅ 400000 = 13000
2
6
,
0 065
Kredyt po roku K )
1
(
= 4000001+
12
K )
1
(
= Xa
360;0,065 /12
1
(
Kredyt po 120 ratach: K (2) = Xa
→ K(2) =
a
240;0,065 / 12
240;0,065 /12
a 360;0,065/12
Raty zapłacone w 2 okresie:
6
,
0 065
4000001 +
120 K )
1
(
12
,
0 065
OD(2) = 120 X =
X =
a
1
12
360;0,065 / 12
1 −
360
,
0 065
1+
12
K (2) = ( X +
1
)
A
+ ( X +
1
2 )
A
+ ... + ( X +
1
60 )
A
+
1 + i
1
( + 2
i)
1
( + 60
i)
1
2
1
60
1
,
0 065
+ ( X + 60 )
A
9
,
0 9 ⋅
+ ( X + 60 )
A
9
,
0 9
+ ... + ( X + 60 )
A
9
,
0 9
g
dzi
e i =
1
( + i)61
1
( + i)62
1
( + i)120
12
60
9
,
0 9
1 −
9
,
0 9
1+
K (2) = Xa
+ (
A Ia)
i
+
+ 60
60 i
;
60;
61
( X
A)
i
1
( + i)
9
,
0 9
1 − 1+ i
1
4
4
4
2
4
4
4
3
B
K (2) − Xa
− BX
→ A
60;0,065 /12
=
( Ia)
+ 60 B
60;0,065 /12
1 + 60
1 − 9
,
0 960
OD )
3
(
= 60 X +
⋅ 60 A + ( X + 60 )
A
9
,
0 9
2
1 − 9
,
0 9
OD(4) = ,
0 015 ⋅ 400000 = 6000
ODP = OD )
1
( + OD(2) + OD )
3
(
+ OD(4) − 400000 ≈ 411000
Zadanie 9
K(i) – pozostały kredyt w i
1
v =
,
1 05
K 1
( 4) = ( R + 14 X ) v + ( R +
2
15 X ) v + ... + ( R +
6
19 X ) v +
7
8
16
+ ( R +18 X ) v + ( R +17 X ) v + ... + ( R + 9 X ) v 2
5
6
7
15
K 1
(
)
5 = ( R + 15 X ) v + ( R + 16 X ) v + ... + ( R + 19 X ) v + ( R + 18 X ) v + ( R + 17 X ) v + ... + ( R + 9 X ) v R + 14 X − ( K 1
( 4) − K 1
(
)
5 )
K 1
( 4) − K 1
(
)
5
ODP =
= 1−
R + 14 X
R + 14 X
2
5
6
7
15
16
K 1
( 4) − K 1
( )
5 = − Xv − Xv − ... − Xv + Xv + Xv + ... + Xv + ( R + 9 X ) v 1 − v 10
6
16
1 − 5
Xv
+ ( R + 9 X ) v −
v
Xv
1 − v
1 −
ODP = 1 −
v =
R + 14 X
16
6
v − v − v + v
R
16
2 6
16
v − v −
+
+
v
9 v
+ (1 ,
6 7 + 9) 16
v
1 − v
X
1 −
= 1−
= 1−
v
≈ 56%
R
1 ,
6 7 + 14
+14
X
Zadanie 10
∞
ODP = ∑
1
2 n
v
n
n=0 ( n + )
1 ( n +
3
)
2
1
A
B
( n + 2) A + B( n + ) 1
( A + B) n + 2 A +
=
+
=
=
B
( n + )
1 ( n + 2)
n + 1
n + 2
( n + )
1 ( n + 2)
( n + )
1 ( n + 2)
A + B = 0
A = 1
1
1
1
→
→
=
−
2 A + B = 1
B = −1
( n + )
1 ( n + 2)
n + 1
n + 2
2
v
OZNACZENIE : x =
3
∞
ODP = ∑ 1
1
n
1
1 1
1 1
−
x = 1− + − x + − 2
x + .... =
n
n
n=
1
2
2
2
3
3
4
0
+
+
1
1
1
2
1
1
= + x + x + ... − x +
2
x + ... =
2
2
3
3
4
1
1 1 2
1
3
1 1 3
1
= +
x +
x + ... −
x +
4
x + ... =
2
x 2
3
2
x 3
4
1
1 ∞ 1
k
1 ∞ 1 k
1
= + ∑ x − x −
x
x
x
2 ∑
−
2 −
2
x
k
x
k
k =
k
2
1
=1
∞
f ( x = ∑ 1
)
k
x
k
k =1
∞
f ′( x) = ∑ k−
1
1
1
x
=
→ f ( x) = ∫
= −ln 1
( − x) + C a
l
e f (0) = 0 → C = 0
x
x
k =
1
1
1
−
−
∞
f ( x = ∑ 1
)
k
x = − ln 1
( − x)
k
k =1
1
1
1
1
1
ODP =
− ln 1
( − x) −1 +
ln 1
( − x) +
+ =
2
x
x 2
2
x
1
= (
2
v
1 − ln 1
( − x )
1
) +
ln 1
( − x
) g
dzi
e x =
2
x
x
3
ODP ≈ 5
,
0 6