Opracował: dr inż. Mariusz Leus T: Równania różniczkowe linii ugięcia belki – metoda Clebscha Zadanie 1.
Dla belki podpartej i obciążonej jak na rys. wyznaczyć ugięcie w punkcie C i kąt obrotu w punkcie D.
Dane: a, q, M = qa 2, P = 2 qa, EJ = const Szukane: y
; Θ
D = ?
C = ?
1. Równania równowagi
1
1) ∑ M = 0 ;
2
qa + M − R
;
B ⋅ 2 a + P ⋅ 3 a = 0
A
2
1
15
3
2
2
qa + qa − R
;
2
R ⋅ 2 a =
qa ; R = 3
qa
B ⋅ 2 a + 2 qa ⋅ 3 a = 0
2
B
2
B
4
3
2) ∑ M = 0 ;
2
− qa + M + R
;
A ⋅ 2 a + P ⋅ a = 0
B
2
3
3
3
2
2
− qa + qa + R
;
2
R ⋅ 2 a = −
qa ; R = −
qa
A ⋅ 2 a + 2 qa ⋅ a = 0
2
A
2
A
4
Sprawdzenie:
3
3
∑ F = R
A + RB − qa − P = −
qa + 3
qa − qa − 2 qa = 0
y
4
4
2. Momenty gnące w poszczególnych przedziałach 1) Przedział I: 0 ≤ x 1 ≤ a
2
q ⋅ x
M
=
⋅
−
g ( x )
1
R
x
A
1
1
2
2) Przedział II: a ≤ x ≤ a 2
2
2
q ⋅ x
q x − a
2
( 2 )2
M
=
⋅
−
+
+
−
g (
R
x
M x
a
x
A
2 )
2
(
)0
2
2
2
3) Przedział III: a
2 ≤ x ≤ a
3
3
q ⋅ x 2
q
−
3
( x a
3
)2
M
0
=
⋅
−
+
+
−
+
− 2
g ( x 3 )
R
x
M
A
3
( x a
3
) RB( x
a
3
)
2
2
- 1 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus 3. Równania różniczkowe dla poszczególnych przedziałów Przedział I:
2
2
d y
q ⋅ x
1)
1
1
⋅ EJ = − R ⋅ x +
2
A
1
dx
2
1
2
dy
x
q
1
1
⋅ x 3
2)
⋅ EJ = − R ⋅
+
1 + C
dx
A
2
6
1
x 3
q
1
⋅ x 4
3) y
1 ⋅ EJ =
R
−
⋅
+
1
+ C ⋅ x 1 + D
A
6
24
Przedział II:
2
2
d y
q ⋅ x
q x − a
2
2
( 2 )2
4)
⋅ EJ = − R ⋅ x +
−
− M x − a
2
A
2
(
)0
2
dx
2
2
2
dy
x 2
q
2
2
⋅ x 3 q
2
( x 2 − a)3
5)
⋅ EJ = R
−
⋅
+
−
− M
2 −
+
A
( x a) C
dx
2
6
6
2
x 3
q
2
⋅ x 4 q
2
( x − a)4
2
( x 2 − a)2
6) y
2 ⋅ EJ =
R
−
⋅
+
−
− M
+ C ⋅ x 2 + D
A
6
24
24
2
Przedział II:
d 2 y
q ⋅ x 2
q
−
3
3
( x a
3
)2
7)
⋅ EJ = R
−
⋅ x +
−
− M
0
−
−
− 2
2
A
3
( x a
3
) RB( x
a
3
)
dx
2
2
3
dy
x 2
q
3
3
⋅ x 3 q
3
( x 3 − a)3
x 3 − a
2 2
8)
⋅ EJ = R
−
⋅
+
−
− M
3 −
−
+
A
( x a)
(
)
R
C
dx
B
2
6
6
2
3
x 3
q
2
3
⋅ x 4 q
3
( x − a)4
3
( x − a)2
3
( x 3 − a)3
9) y
3 ⋅ EJ = − R
⋅
+
−
− M
− R
+ C ⋅ x 3 + D
A
B
6
24
24
2
6
4. Wyznaczenie stałych całkowania dla x1 = 0 → y1 = 0 z równania nr 3 otrzymujemy: D = 0
dla x2 = 2 a → y2 = 0 z równania nr 6 otrzymujemy
3
(2 a)3
q(2 a)4
q(2 a − a)4
a − a
2 (2
)2
0 = − −
qa ⋅
+
−
− qa
+ C ⋅ 2 a + 0
4
6
24
24
2
24
4
16
4
1
4
1
0 =
qa +
qa −
qa −
qa 4 + C ⋅ a 2
24
24
24
2
27
4
C ⋅ 2 a = −
qa
24
9
3
C = −
qa
16
5. Wyznaczenie ugięcia w punkcie C ( yC) dla x
=
1 = a → z równania nr 3 otrzymujemy y y
C
1
x 3
q
1
⋅ x 4
y ⋅ EJ = R
−
⋅
+
1
+ C ⋅ x 1 + D
C
A
6
24
3
3
4
a
q ⋅ a
9
3
yC ⋅ EJ =
− − qa ⋅
+
+ −
qa ⋅ a + 0
4
6
24
16
3
1
9
4
4
4
y ⋅ EJ =
qa +
qa −
qa
C
24
24
16
- 2 -
Opracował: dr inż. Mariusz Leus 6
2
27
4
4
4
y ⋅ EJ =
qa +
qa −
qa
C
48
48
48
1 q
9 a 4
y = −
C
4 E
8 J
6. Wyznaczenie kąta obrotu w punkcie D ( Θ ) D
dy
dla x
3
Θ =
3 = 3 a → z równania nr 8 otrzymujemy D
dx 3
x 2
q
3
⋅ x 3 q
3
( x − a)3
3
3 −
2
Θ ⋅
2
EJ = R
−
⋅
+
−
− M
3 −
−
+
D
A
( x a)
( x
a)
R
C
C
2
6
6
2
3
(3 a)2
q ⋅ (3 a)3
q(3 a − a)3
−
Θ ⋅ EJ =
− − qa ⋅
+
−
− qa ⋅
− −
⋅
−
D
(
a
a
3 a
a)
3
(3 2 )2 9
2
3
3
qa
qa
4
2
6
6
4
2
16
27
27
8
15
9
3
3
3
2
3
3
Θ ⋅ EJ =
qa +
qa −
qa − 2 qa −
qa −
qa
D
8
6
6
8
16
162
216
64
90
27
3
3
3
2
3
3
Θ ⋅ EJ =
qa +
qa −
qa − 2 qa −
qa −
qa
D
48
48
48
48
48
10 q
1 a 3
Θ =
D
4 E
8 J
- 3 -