Ekstremum funkcji

∂f

∂f

(x0, y0) = 0,

(x0, y0) = 0

∂x

∂y

∂2f

(x0, y0)

∂2f (x0, y0)

∂x2

∂x∂y

> 0

∂2 f (x

(x

∂x∂y

0, y0)

∂2f

∂y2

0, y0)

∂2f (x0, y0) > 0 − minimum lokalne

∂x2

∂2f (x0, y0) < 0 − maksimum lokalne

∂x2

Sferyczne

˚

˚

f (x, y, z)dxdydz =

f (r cos φ cos ψ, r sin φ cos ψ, r sin ψ)r2cosψ drdφdψ

U

Ω

Biegunowe

¨

¨

f (x, y)dxdy =

f (r cos φ, r sin φ)r dφdr D

∆

Walcowe˚

˚

f (x, y, z)dxdydz =

f (r cos φ, r sin φ, h)r dφdrdh D

∆

Pole płata

¨ s

∂f 2

∂f 2

|Σ| =

1 +

+

dP

D

∂x

∂y

Masa obszaru

¨

˚

M =

σ(x, y)dxdy

M =

γ(x, y, z)dxdydz

D

U

σ(x, y), γ(x, y, z) - funkcje gęstości Srodek masy

˜

˜

xσ(x, y)dP

yσ(x, y)dP

x

D

D

c =

yc =

M

M

Momenty bezwładności

Ïx =

y2σ(x, y)dP

D

Ïy =

x2σ(x, y)dP

D

ÏO =

(x2 + y2)σ(x, y)dP

D

1

˚

Ix =

(y2 + z2)γ(x, y, z)dV

U

˚

Iy =

(x2 + z2)γ(x, y, z)dV

U

˚

Iz =

(x2 + y2)γ(x, y, z)dV

U

˚

IO =

(x2 + y2 + z2)σ(x, y, z)dV

U

Wartość średnia

˚

˚

1

1

fsr =

f (x, y)dP

f

f (x, y, z)dV

|

sr =

D|

|

D

U |

U

Szereg Fouriera

ˆ

1

π

an =

f (x) cos(nx) dx,

n = 0, 1, 2, ...

π −π

ˆ

1

π

bn =

f (x) sin(nx) dx,

n = 1, 2, ...

π −π

∞

a0

X

f (x) =

+

(an cos(nx) + bn sin(nx)) 2

n=1

Kryteria zbieżności szeregów

∞

ˆ ∞

X

Szereg

f (n) jest zbieżny ↔ całka f (x) dx jest zbieżna

n=n

n0

0

∞

X

1

zbieżny dla p > 1

Szereg

jest y =

np

rozbieżny dla p ≤ 1

n=1

Kryterium porównawcze

Jeżeli 0 ≤ an ≤ bn dla każdego n ≥ n0 i

∞

∞

X

X

Jeżeli szereg

bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.

n=1

n=1

∞

∞

X

X

Jeżeli szereg

an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.

n=1

n=1

2

Kryterium d’Alemberta

∞

a

n + 1

X

Jeżeli lim

< 1 to szereg

an jest zbieżny.

n→∞

an

n=1

∞

a

n + 1

X

Jeżeli lim

> 1 to szereg

an jest rozbieżny.

n→∞

an

n=1

Kryterium Cauchy’ego

∞

X

Jeżeli lim n

p|an| < 1 to szereg

an jest zbieżny.

n→∞

n=1

∞

X

Jeżeli lim n

p|an| > 1 to szereg

an jest rozbieżny.

n→∞

n=1

Zbieżność szeregu naprzemiennego

∞

X

Jeżeli lim bn = 0 to szereg (−1)n+1bn jest zbieżny.

n→∞

n=1

Zbieżność bezwzględna szeregu

∞

∞

X

X

Szereg

an jest zbieżny bezwzględnie, gdy szereg

|an| jest zbieżny.

n=1

n=1

3

Sumy szeregów

∞

X

1

= 1

n(n + 1)

n=1

∞

X

1

π2

=

n2

6

n=1

∞

X

1 = e

n!

n=0

∞

X (−1)n

1

=

n!

e

n=0

∞

X (−1)n+1 = ln 2

n

n=1

∞

X (−1)n+1

π

=

2n − 1

4

n=1

Promień zbieżności szeregu potęgowego 1

c

n

R = lim √

,

R = lim

n→∞ n cn

n→∞ cn+1

4

Szeregi Maclourina

∞

1

X

=

xn

1 − x

n=0

∞

X xn

ex =

n!

n=0

∞

X

(−1)n

sin x =

x2n+1

(2n + 1)!

n=0

∞

X (−1)n

cos x =

x2n

(2n)!

n=0

∞

X (−1)n

ln(1 + x) =

xn+1

n + 1

n=0

∞

X (−1)n

arctan x =

x2n+1

2n + 1

n=0

∞

X

x2n+1

sinh x =

(2n + 1)!

n=0

∞

X

x2n

cosh x =

(2n)!

n=0

Sumy szeregów potęgowych

∞

X

1

xn = 1 − x

n=0

∞

X

x

nxn = (1 − x)2

n=1

∞

X

1 + x

n2xn−1 = (1 − x)3

n=1

∞

X xn = − ln(1 − x)

n

n=1

∞

X

xn

1 − x

= 1 +

ln(1 − x)

n(n + 1)

x

n=1

∞

X

x2n−1

1

1 + x

=

ln

2n − 1

2

1 − x

n=1

5

Tożsamości trygonometryczne cos(x − y) + cos(x + y) cos x · cos y =

2

cos(x − y) − cos(x + y) sin x · sin y =

2

sin(x − y) + sin(x + y) sin x · cos y =

2

sin(2x)

sin x · cos x =

2

sin(x + y − z) + sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z) sin x · sin y · sin z =

4

− cos(x + y − z) + cos(y + z − x) + cos(z + x − y) + cos(x + y + z) sin x · sin y · cos z =

4

sin(x + y − z) − sin(y + z − x) + sin(z + x − y) − sin(x + y + z) sin x · cos y · cos z =

4

cos(x + y − z) + cos(y + z − x) + cos(z + x − y) + cos(x + y + z) cos x · cos y · cos z =

4

6