===================================================
(1.34) z’(t) = f(t,z(t)), z(to) = xo.
(2.8) y^(n) (t) + p1(t) y^(n-1) (t) +…+ Pn-1 (t) y’(t)+pn(t)
[21] Konstrukcja macierzy fundamentalnej dla układu
(1.3) z’(t) +a(t)z(t) = h(t)
[06] Twierdzenie Picarda – Lindelofa. Twierdzenie 1,22
y(t) = 0 (2.11) (…) = f(t)
liniowego o stałych współczynnikach.
(1.6) u(t) = xo exp ( -∫ to;t] a(s) ds), (1.7) z(to)=0
Załóżmy, że : 1) funkcja f : [a,b] x IRn --> IRn jest ciągła,
[14] Tw.Liouville’a dla równań liniowych n-tego rzędu.
Lemat 2.45 Dla macierzy J^(r) (λ), bedzie klatką Jordana o
[01] Zagadnienie Cauchy’ego dla równania liniowego.
2) istnieje L ∈ R+, takie że
Tw. 2.13 Zakładamy, że: 1) pi∈C((a,b),R) dla 1≤i≤n,
wymiarach rxr, mamy
Twierdzenie 1.3 Jeśli a, h∈C((α,β),R) i to∈(α,β), to zagadnienie
||f(t,x) – f(t,x)|| ≤ L||x-x|| na [a,b]xIRn,
2) funkcje {ϕ1,...,ϕn} stanowią układ fundamentalny rozwiązań
(2.44) exp[J^(r) (λ)t] =
(1.3), (1.6) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
3) (to,xo)∈[a,b]xIRn.
równania (2.8). Wówczas: W[ϕ1,...,ϕn](t) =
[e^λt (t/1!)e^λt (t^2/2!)e^λt ... (t^(r-1)/(r-1)!)e^λt]
istnieje na przedziale (α,β)
Wtedy istnieje dokładnie jedno rozwiązanie u zagadnienia
= W[ϕ1,...,ϕn](to) exp [- ∫ to;t] p(s)ds], gdzie to,t∈(a,b).
[ 0 e^λt (t/1!)e^λt (t^2/2!)e^λt ... (t^(r-2)/(r-2)!)e^λt]..
DOWÓD. Wykażemy jednoznaczność rozwiązania problemu (1.3),
(1.34). Rozwiązanie u jest określone przedziale [a,b].
DOWÓD. Rozpatrzmy równanie różniczkowe
[ 0 0 0 0 0 ...... 0 e^λt ]
(1.6). Jeśli v : (αo,βo) --> R, (αo,βo)⊂ (α,β), jest rozwiązaniem,
DOWÓD. Zamieniamy zagadnienie (1.34) na równanie całkowe.
(2.9) [ ϕ1(t) ... ϕn(t) y(t) ]
Tw.2.46 Macierz fundamentalna rozwiązań układu liniowego
to v’(t)+a(t)v(t) = h(t) dla t∈(αo,βo) i v(to) = 0.
Niech (1.38) u(t) = z’(t), t∈[a,b]. Wtedy
/\(t) Det | ϕ’1(t) ... ϕ’n(t) y’(t) | = 0,
w’(t) = J^(r) (λ) w(t), gdzie w=(w1,...,wr)T jest dana wzorem
Zatem d/dt [v(t) exp ( ∫ to;t] a(s)ds)] =
(1.39) z(t) = xo + ∫ to,t] u(s) ds, t∈[a,b]
[ϕ^(n) 1(t) ... ϕ^(n) n(t) y^(n) (t) ]
(2.44). Załóżmy, że J jest macierzą Jordana wymiaru nxn oraz
= h(t) exp (∫ to;t] a(s)ds), t∈(αo,βo). Całkując tę tożsamość od
Rozpatrzmy równanie całkowe
gdzie /\(t) = 1 / (W[ϕ1,....,ϕn](t) . Jest to liniowe równanie
J = diag [J^(d1) 1 (λ1),....,J^(dm) m (λm)]. Ponieważ
to do t i uwzględniając warunek początkowy, otrzymujemy
(1.40) u(t) = f(t,xo + ∫ to; t] u(s) ds), t∈[a,b]. Rozważmy
różniczkowe n-tego rzędu, dla którego {ϕ1,....,ϕn } jest układem
(t^k/k!) J^k = diag [(t^k/k!) (J1^(d1) (λ1))^k, ...
(1.8) v(t) = ∫ to;t] h(λ) exp (∫ t;λ] a(s)ds)dλ, gdzie t∈(αo,βo).
rozwiązania równania (1.40), będące funkcjami ciągłymi.
fundamentalnym rozwiązań. Współczynnik przy pochodnej
… , (t^k/k! (Jm^(dm) (λm))^k], więc
Rozwiązanie v jest więc wyznaczone jednoznacznie przez dane
Równania (1.40) jest równoważne z zagadnieniem (1,34) w tym
y^(n) (t) jest w tym równaniu funkcją stalą równą jeden.
exp[Jt] = diag [exp{J1^(d1) ((1) t],
zagadnienia (1.3), (1.6): funkcje a i h oraz punkt to.
sensie, że (i) jeżeli z jest rozwiązaniem zagadnienia (1.34), to
Zgodnie z twierdzeniem 2.11, równanie (2.9) jest więc
exp{J2^(d2) (λ2) t},...,exp{Jm^(dm) (λm) t}].
Dowód istnienia rozwiązania sprowadza się do sprawdzenia, że
funkcja u, dana wzorem (1.38), spełnia równanie (1.40),
identyczne z (2.8). Obliczmy współczynnik przy pochodnej
Macierze {J1^(d1) (λ1)t},....,exp{Jm^(dm) (λm)t}
funkcja v : (α,β) -->IR dana wzorem (1.8) spełnia równanie
(ii) jeśli u jest rozwiązaniem równania (1.40), to funkcja z, dana
z^(n-1) (t) w (2.9). Niech
mają strukturę opisaną wzorem (2.44). Rozważmy teraz układ
(1.3) i warunek początkowy (1.7). []
wzorem (1.39), jest rozwiązaniem zagadnienia (1.34).
[ ϕ1(t) ϕ2(t) .... ϕn(t) ]
(2.39) z dowolną macierzą AeMnxn. Mówimy, że macierze A i B
Udowodnimy istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania
Γ(t) = Det [ (...) ].
są podobne, jeśli istnieje mac.nieosobliwa B, taka że B = S-1 AS.
(1.10) z’(t) = a(t) h(z(t)), (1.11) z(to) = xo,
(1.40). Zastosujemy twierdzenie 1.19. Niech X = C([a, b], IRn).
[ϕ^(n) 1(t) ϕ^(n) 2(t) .... ϕ^(n) n(t) ]
[02] Zagadnienie Cauchy’ego dla równania rozdzielnego,
W przestrzeni X określimy normę, przyjmując
Zgodnie z twierdzeniem Laplace'a dla wyznaczników,
[22] ALGORYTM PUTZERA konstrukcji macierzy exp(At)
przypadek regularny. Twierdzenie 1.10 Zakładamy, że
// ||u|| = max{||u(t)||:t∈[a,b]} – to jest norma w przestrzeni
otrzymujemy (2.10) p1(t) = - Γ(t) / (W[ϕ1,...,ϕn](t) , t∈(a,b).
(2.34) z’ (t) = A(t) z(t); Tw.2.49 Załóżmy, że:
1) a∈C((α,β),R), h∈C(δ,µ),R) i (to,xo) ∈(α,β) x (δ,µ),
Banacha. Def:
Ponieważ W’[ϕ1,...,ϕn](t) = Γ(t) dla t∈(a,b)
1) A∈Mnxn i liczby λ1,λ2,...,λn są wartościami własnymi mac. A,
2) h(s)≠0 dla s∈(δ,µ).
||z||λ = max{||z(t)||e^( -λ|t-to| ) : t∈[a,b]} gdzie λ>L. Łatwo
więc całkując równość (2.10) od to do t, otrzymujemy tezę.
2) ciąg macierzy { Pj } j=0;n] jest określony następująco:
Wtedy istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zagadnienia
sprawdzić, że (X, ||*||λ) jest przestrzenią Banacha.
Zmierzamy teraz do wypisania wzoru na wszystkie rozwiązania
(2.47) Po = E, Pj = ∏ k=1;j] (A-λkE), j=1,2,...,n.
Cauchy'ego (1.10), (1.11). Rozwiązanie to jest określone na
Niech F: C([a,b],IRn)-->C([a,b],IRn) będzie operatorem
równania różniczkowego niejednorodnego
3) funkcje r1,r2,...,rn są rozwiązaniami równań różn. liniowych
pewnym przedziale otwartym I ⊂ (α,β), zawierającym to.
określonym wzorem (Fu)(t) = f(t,xo + ∫ to, t] u(ξ)dξ).
(2.11)
y^(n) (t) +p1(t) y^(n-1) (t) +...
r’1(t) = λ1r1(t), r’j(t) = rj-1 (t) +λjrj(t), j=2,3,...,n,
DOWÓD, Rozpoczniemy od wykazania jednoznaczności
Ciągłość funkcji Fu wynika z ciągłości f oraz z faktu, że funkcja
...+ pn-1 (t) y’(t) + pn (t) y(t) = f(t).
z warunkami początkowymi r1(0) = 1, rj(0)=0, j=2,3,...,n.
rozwiązania. Jeśli ϕ jest rozwiązaniem problemu (1.10), (1.11)
g : [a,b] -> IRn, dana wzorem g(t) = ∫ to,t] u(s)ds, t∈[a,b],
Rodzinę funkcji {ϕ(• ,c) }, gdzie c∈IRn, ϕ(- ,c) : (a,b) ->R,
Wówczas e^At = Σ j=0;n-1] rj+1 (t) Pj, t∈R.
na I, to∈I, to ϕ’(t) = a(t) h(ϕ(t)) dla t∈I, ϕ(to) = xo.
jest klasy C1 dla u∈C([a,b],IRn). Udowodnimy, że istnieje
nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
DOWÓD. Oznaczmy Ψ(t) = Σ j=0;n-1] rj+1 (t) Pj, t∈R.
Stąd wynika, że ∫ to;t] [ ϕ’(s) / h(ϕ(s)) ] ds = ∫ to;t] a(s)ds, t∈I,
q∈ [0,1), takie że (1.41) ||Fu –Fv||λ ≤ q||u-v||λ dla u,v∈X.
(2.11), jeśli
Udowodnimy, że (2.48) Ψ(t) = AΨ(t), t∈R.
oraz (1.12) ∫ ϕ(to); ϕ(t)] ds / h(s) = ∫ to; t] a(s)ds, t∈I.
||Fu –Fv||λ = max {||(Fu –Fv)(t)||e^ (-2L(t-to) ; t∈[a,b]}
(i) dla każdego c∈IRn funkcja ϕ( ■, c) jest rozwiązaniem
Przyjmijmy umowę: ro(t) = 0 dla t∈R. Wówczas
Rozważmy funkcję H : (δ,µ) -> R daną wzorem
Z założenia 2) wynikają oszacowania ||(Fu –Fv)(t)|| =
równania (2.11) na (a,b),
Ψ’(t)=Σ j=0;n-1] r’ j+1 (t)Pj = Σ j=0;n-1] [λj+1 rj+1(t) +rj(t)]Pj
(1.13) H(ξ) = ∫ xo; ξ] ds/ h(s) , ξ∈(δ,µ). z (1.12) wynika, że
= ||f(t,xo + ∫ to;t] u(ξ)dξ) – f(t,xo + ∫ to;t] v(ξ)dξ|| ≤
(ii) dla każdego rozwiązania u równania (2.11) istnieje c ∈IRn,
oraz
H(ϕ(t)) – H(ϕ(to)) = ∫ to;t] a(s)ds, t∈I.
≤ L|∫ to;t] ||(u-v)(ξ)||e^(-λ|ξ-to|) e^(λ|r-to| dξ| ≤
takie że u = ϕ(*,c)
Ψ’(t) -ΨnΨ(t) = Σ j=0;n-1] (λj+1 -λn) rj+1 (t) Pj =
Oznaczmy przez (δo,µo) obraz przedziału (δ, µ) za pomocą
≤ ||u-v||λ|∫ to;t] e^(λ|ξ-to|) dξ| ≤ L/λ ||u-v||λ e^(λ|t-to|),
= Σ j=0;n-2] rj+1 (t) Pj+1. Ponieważ Pj+1 = (A-λj+ E)Pj,
funkcji H. Ponieważ H’(ξ) ≠ 0 dla ξ∈(δ,µ), więc istnieje funkcja
(2.8) y^(n) (t) + p1(t) y^(n-1) (t) +…+ Pn-1 (t) y’(t)+pn(t)
t∈[a,b]. Mamy więc ||(Fu-Fv)(t)||e^(-λ|t-to|) ≤ L/λ ||u-v||λ;
Więc Ψ’(t) -λnΨ(t) =
odwrotna do H. Oznaczmy ją przez H^-1. Jest ona określona na
y(t) = 0 (2.11) (…) = f(t)
Σ
t∈[a,b]. Stąd otrzymujemy nierówność (1.41) dla
j=0;n-2] [(A- λj+1 E) Pj+(λj+1 -λn)Pj] rj+1(t) =
q = L/λ.
(δo,µo). Ponieważ ϕ(to) = xo i H(xo) = 0, więc otrzymujemy
[15] Metoda Lagrange’adla równań lin.n-tego rzędu.
Spełnione są więc założenia twierdzenia 1.19. Zatem równanie
(A-λn E) Σ j=0;n-2] Pj rj+1 (t).
(1.14) ϕ(t) = H^-1 (∫ to;t] a(t)dt)
Tw.2.16 Zakładamy, że 1) współczynniki równania różn.(2.11) są
całkowe (1.40) ma dokładnie jedno rozwiązanie
Ponieważ Σ j=0;n-2] Pj rj+1 (t) = Ψ(t) –rn(t) Pn-1,
w pewnym otoczeniu punktu to.
funkcjami ciągłymi na (a, b) i f∈C((a,b),R),
u∈C([a, b],IRn). Dowód twierdzenia jest ukończony. []
więc Ψ’(t) -λnΨ(t) = (A-λn E) Ψ(t) –rn(t)(A-λn E) Pn-1 =
Z (1.14) wynika, że rozwiązanie ϕ jest jednoznacznie określone
2) {ϕ1,...,ϕn} jest układem fundamentalnym roz.równania
= (A -λnE) Ψ(t) –rn(t) Pn.
w pewnym otoczeniu punktu to przez dane zagadnienia (1.10),
jednorodnego (2.8).Wtedy ∃ funkcje {u1,...,un}, ui : (a, b) -> R,
[07] Zależność rozwiązań od parametrów. Tw. 1.24
Udowodnimy, że Pn jest macierzą zerową. Rozważmy wielomian
(1.11): funkcje a i h oraz punkt (to,xo).
1≤i≤n, takie że (2.13) Ψ(t) = Σ i=1;n] ui(t) ϕi(t), t∈(a,b),
Zakładamy, że: 1) F : [a, b]x IRn x IRm-->IRn jest funkcją
charakterystyczny macierzy A: F(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn).
Dowód istnienia sprowadza się do sprawdzenia, że funkcja ϕ,
jest rozwiązaniem równania różniczkowego (2.11).
ciągłą i istnieje L∈R+, takie, że:
Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika, że
dana wzorem (1.14) dla H określonego wzorem (1.13), jest
D
(1.43)
OWÓD. Utworzymy układ liniowy algebraiczny w celu
||F(t,x,µ)-F(t,x,µ)|| ≤ L||x-x|| na [a,b] x IRn x IRm,
F(A) = (A- λ1E)(A - λ2E) ...(A- λnE) = [0], gdzie [0] oznacza
rozwiązaniem rozważanego zagadnienia. Niech I będzie
znalezienia funkcji {u’1,...,u’n}. Z (2.13) wynika, że
2) µo ∈IRm i lim{µ-->µo} F(t,x,µ) = F(t,x,µo) jednostajnie na
macierz zerową w przestrzeni Mnxn. Zgodnie z (2.47), mamy
przedziałem istnienia funkcji ϕ, Z (1.14) wynika, że
Ψ’(t) = Σ i=1;n] u’i(t) ϕi(t) +Σ i=1;n] ui(t) ϕ’ i (t)
[a,b] x IRn. Wów.: lim{µ-->µo} z(t,µ) = z(t,µo) jednost.na [a,b].
Pn = ∏ j=1;n] (A -λjE),
H(ϕ(t)) = ∫ to;t] a(s) ds, t∈I. Stąd otrzymujemy
Utwórzmy równanie Σ i=;n] u’ i (t) ϕ’ i(t) = 0
D
zatem Pn= F(A) = [0]. Otrzymaliśmy więc równość
OWÓD. Z twierdzenia Picarda-Lindelófa wynika, że rozwiązania
Wówczas Ψ’(t) = Σ i=1;n] u’i(t) ϕ’i(t) +Σ i=1;n] ui(t) ϕ’’ i (t)
H’(ϕ(t))ϕ’(t) = a(t), t∈I, czyli ϕ’(t) / h(ϕ(t)) = a(t), t∈I,
Ψ
z(*,µ), µ∈IRm, istnieją na przedziale [a, b]. Ponieważ
’(t) = AΨ(t), t∈R. Dowód własności (2.48) jest ukończony.
i ϕ spełnia równanie (1.10). Ponieważ H(xo) = 0, więc 0
Utwórzymy równanie Σ i=1;n] u’i(t) ϕ’i(t) = 0
z(t,µ)=x
Ponieważ Ψ(0) = Σ j=0;n-1] rj+1 (0) Pj = r1(0)E = E,
o+∫ to;t] F(ξ,z(ξ,µ),µ)dξ, więc z (1.43) wynika, że
∈
Po n - 1 krokach tego rodzaju mamy
(δo,µo) i H-1(0)=xo, Z (1.14) wynika, że ϕ(to) = xo. Dowód
więc z warunku jednoznaczności rozwiązań zagadnienia
spełniona jest nierówność całkowa ||z(t,µ)-z(t,µo)|| ≤
Ψ
twierdzenia jest ukończony.
≤
^(n-1) (t) = Σ i=;n] u’i (t) ϕ^(n-2) (t) +
początkowego dla (2.34) wynika, że Ψ(t) = exp( At). W ten
L | ∫ to;t] ||z(ξ,µ) – z(ξ,µ0)||dξ| +
+ Σ i=1;n] ui (t) ϕ^(n-1) i (t).
sposób dowód twierdzenia jest ukończony. [].
+ | ∫ to;t] || F(ξ,z(ξ,µo),µ) – F(ξ,z(ξ,µo),µo)||dξ|, t∈[a,b].
(1.15) δo = inf{H(s), s∈(δ, µ)}, µo = sup{H(s) : s∈(δ, µ)} .
Tworzymy równanie Σ i=1;n] u’i (t) ϕ^(n-2) i (t) = 0
Obierzmy E>0. ∃ δ>0, takie że jeśli ||µ-µo||<δ, to
[03] Zagadnienie Cauchy’ego dla równania rozdzielnego,
i otrzymujemy Ψ^(n) (t) = Σ i=1;n] u’i (t) ϕ^(n-1) i (t) +
[23]Twierdzenie Arzeli-Ascoliego Tw.3.8 Zakładamy, że
||F(ξ,z(ξ,µo),µ) – F(ξ,z(ξ,µo),µo)||<E dla ξ∈[a,b].
przypadek osobliwy. Twierdzenie 1.11 Załóżmy, że
+ Σ i=1;n] ui (t) ϕ^(n) i (t).
1) X⊂C( [a, b], Rn ) jest zbiorem nieskończonym,
Mamy więc dla ||µ-µo||<δ:
1) a∈C((α,β),IR), h∈C((δ,µ),IR),; 2) a(t) ≠≠ 0 dla t∈(α,β),
Wstawiając Ψ i obliczone wartości pochodnych Ψ’,Ψ’’,....,Ψ^(n)
2) X jest zbiorem funkcji wspólnie ograniczonych i jednakowo
||z(t,µ) – z(t,λµo)|| ≤ E(b-a) + L| ∫ to; t] ||z(ξ,µ) – z(ξ,µo)||dξ|.
3) istnieje λ∈(δ,µ), takie że h(λ) = 0 i h(s)≠ 0 dla s∈(δ,µ) \ {λ}.
do (2.11), otrzymujemy równanie
ciągłych. Wówczas każdy nieskończony ciąg {ϕm}, ϕm∈ X
Z twierdzenia 1.12 otrzymujemy, że
Σ
Wówczas następujące warunki są równoważna:
i=1;n] u’i (t) ϕ^(n-1) i (t) = f(t) W celu znalezienia funkcji
dla m ∈ N, zawiera podciąg jednostajnie zbieżny na [a, b].
||z(t,µ) – z(t,µo)|| ( E(b-a) e^(L(b-a)), t∈[a,b]. Stąd wynika teza
(i) Zagadnienie Cauchy’ego (1.16) z’(t)= a(t) h(z(t)), z(to) = λ,
{u’1,...,u’n} otrzymaliśmy wiec układ równań
DOWÓD. Niech A - {t1,t2,...,tm,...} będzie ciągiem wszystkich
twierdzenia. Załóżmy, że f:[a,b] x IRn --> IRn jest funkcją daną i
ma dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego to∈(α,β).
[ϕ1(t) .... ϕn(t) ][u’1(t)] [0]
liczb wymiernych przedziału [a, b]. Konstruujemy nieskończone
(ξ,s) ∈ [a,b] x IRn. rozpatrzmy zagadnienie Cauchy'ego
(ii) Całki niewłaściwe: (1.7) ∫
[ ... .... ... ][ ... ] = [0]
ciągi funkcyjne {ϕm.1}, {ϕm.2},..., {ϕm.k}, ....
λ; λ+E] dt / h(t), ∫ λ; λ-E] dt / h(t),
(1.44) z’(t) = f(t,z(t)), z(ξ)=s,
[ϕ^(n-1) 1(t) .... ϕ^(n-1) n(t) ][u’n(t)] [f(t)]
w następujący sposób: {ϕm.1} jest podciągiem ciągu {ϕm},
E>0 są rozbieżne.
i rozważmy jego rozwiązanie z(*;ξ,s) jako funkcję warunku
Ma on dokładnie jedno rozwiązanie (u’1,...,u’n)∈C((a,b),IRn).
{ϕm.k+1} jest podciągiem ciągu {ϕm.k}, k∈IN, oraz
DOWÓD. Załóżmy, że problem (1.16) ma, prócz rozwiązania z(t)
początkowego Wykażemy, ze przy naturalnych założeniach
Stąd wynika teza.
ciąg {ϕm.1} jest zbieżny na {t1},
=λ, t∈(α,β), rozwiązanie ϕ. Istnieje wówczas E > 0 i t∈(α,β),
dotyczących f mała zmiana warunku początkowego powoduje
ciąg {ϕm.2} jest zbieżny na {t,t2} ....
takie że ϕ(t) = λ i zachodzi jeden z warunków
mała zmianę rozwiązania
[16] Konstrukcja układu fundamentalnego rozwiązań dla
ciąg {ϕm.k} jest zbieżny na {t,t2,...,tk}.
(a) ϕ(t) > λ lub ϕ(t) < λ dla t∈(t-E, t),
równań n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
Ciąg nieskonczony {Ψm} definujemy nastepująco:
(b) ϕ(t) > λ lub ϕ(t) < λ dla t∈(t, t+E).
[08] Zależność rozwiązań od warunków początkowych.
[17] Układy fundamentalne rozwiązań dla układów
Ψm = ϕm.m, m∈IN. Wtedy {Ψm} jest podciągiem ciągu {ϕm},
Rozpatrzmy przypadek, gdy ϕ(t) > λ dla t∈(t-E, t). Mamy wtedy
Twierdzenie 1.25 Załóżmy, że
ϕ
równań różniczkowych liniowych.
jest zbieżny w każdym punkcie zbioru A i prawdziwe są zadania:
(t) = a(t) h(ϕ(t)) dla t ∈ (t - Eo, t) oraz
1) f: [a,b] x IRn --> IRn jest funkcją ciągłą i spełniony jest
∫
Tw. 2.19 Jeśli wielomian charakterystyczny F ma n różnych
(3.1) ∀E>0 ∀m∈IN ∃ N(E,m) ∀k,l>(E,m)||Ψk(tm) -Ψl(tm)||
t; t] ϕ’(s) ds / h(ϕ(s)) = ∫ t; t] a(s)ds , gdzie t-E < t < t < t. Stąd
warunek Lipschitza: istnieje L∈IR+, takie że
pierwiastków (rzeczywistych lub zespolonych) r1,r2,...,rn
<E/3 oraz
wynika, że ∫ ϕ(t); ϕ(t)] ds / h(s) = ∫ t; t] a(t) dt.
||f(t,x) – f(t,x)|| ≤ L||x-x|| na [a,b] x IRn,
to zespół funkcji (2-16) ϕ1(t) = exp [r1 t], ϕ2(t) = exp [r2 t],
(3.2) ∀E>0 ∃δ(E) ∀k∈IN ∀t,t’∈[a,b] |t-t’| < δ(E) ==>
Niech t --> t. Z powyższej równości wynika zbieżność całki
2) (to,xo)∈[a,b] x IRn. Wówczas istnieje C∈IR+, takie że dla
..., ϕn(t) = exp[rn t]. jest układem fundamentalnym rozwiązań
||Ψk(t) -Ψk(t’)|| < E/3.
(1.18) ∫ ϕ(t); λ] ds / h(s), co jest sprzeczne z warunkiem (ii).
(r,s) ∈ [a,b] x IRn mamy
równania (2.15).
Obieramy E > 0 i liczby N(E,m), δ(E) zgodnie z (3.1), (3.2).
Analogicznie postępujemy w pozostałych przypadkach.
(1.45) ||z(t;r,s) – z(t;to,xo)|| ≤ C[|to - r| + ||s – xo|| ],
DOWÓD. Z Twierdzenia ( Metoda Lagrange’adla równań lin.
Dzielimy przedział [a,b] na podprzedziały I1, I2,..., Ip o długości
Załóżmy teraz zbieżność całki ∫ λ; λ+E] ds / h(s) , E>0
t∈[a,b].
n-tego rzędu ) wynika, że funkcje {ϕ1,..., ϕn} są rozwiązaniami
mniejszej niż δ(e), wymienionej w (3.2). Zakładamy, że są one
Definiujemy funkcję H : [λ, µ) następująco:
DOWÓD. Istnienie rozwiązań na przedziale [a,b] wynika z tw.
rozważanego równania. Oznaczmy przez V[r1,...,rn] macierz
rozłączne i I1 ∪ I2 ∪ ... ∪ Ip = [a,b].
H(s) = ∫ λ; s] dt / h(t) dla s ∈ (λ,µ), H(λ) = 0.
1.22. Ponieważ z(t;r,s) = s +∫ r;t] f(ξ,z(ξ;r,s))dξ, t∈[a,b],
Vandermonda [1 1 .... 1 ]
W każdym przedziale Ii wybieramy jedną liczbę wymierną ri∈Ii,
Z założenia o zbieżności Całki (1.18) wynika, że H jest funkcją
więc ||z(t;r,s) –z(t;to,xo)|| ≤ ||s-xo|| + |∫ r;t] || f(ξ,z(ξ;r,s)) +
V[r1,....,rn] = | ... ].
1≤i≤p. Definiujemy liczby naturalne {m1,m2,...,mp} następująco:
ciągłą. Obieramy to∈(α,β), tak by było a(to) ≠ 0. Przypuśćmy,
-f(ξ,z(ξ;to,xo) )||dξ| + |∫ r;to] ||f(ξ,z(ξ,to,xo) )||dξ|, t([a,b].
[r^(n-1) 1 r^(n-1) 2 .... r^(n-1) n ]
tmi = ri, i = 1,2,…,p. Niech N(E) = max {N(E,m1),
dla ustalenia uwagi, że a(to) < 0. {W. a(to)>0}. Wówczas
Istnieje Co∈IR+, takie że || f(ξ,z(ξ;to,xo) )|| ≤ Co dla ξ∈[a,b].
Ponieważ W[ϕ1,....,ϕn](t) = exp[(r1+...+rn)t] Det V[r,....,rn]
N(E,m2),...,N(E,mp)}. Mamy więc implikację:
istnieje t < to, takie że ∫ to; t] a(t) dt∈[0, µo) dla t∈(t, to],
Spełniona jest więc następująca nierówność całkowa
i Det V[r1,....,rn] = ∏ i=1; n-1] ∏ j=i+1;n] (ri – rj) ≠ 0.
jeśli k,l>N(E), to ||Ψk(tmi) -Ψl(tmi)|| < E/3, i=1,...,p.
gdzie µo jest określone przez (1.15). Ponieważ H przekształca
||z(t;r,s) – z(t;to,xo)|| ≤ ||s-xo|| + Co|r –to| +
więc funkcje (2.16) są liniowo niezależne. Stanowią zatem układ
Niech t∈[a,b]. Wówczas istnieje j, 1≤j≤ p, takie że t∈Ij. Dla
przedział [λ, µ) na [0, µo), więc H^-1 : [0, µo) --> [λ, µ).
+ L| ∫ r;t] || z(ξ;r,s) – z(ξ;to,xo)||dξ|, t∈[a,b].
fundamentalny rozwiązań.
k,l>N(E) otrzymujemy ||Ψk(t) -Ψl(t)} ≤
Definiujemy funkcję ϕ następująco:
Z twierdzenia 1.12 otrzymujmy oszacowanie
Lemat 2.22 Załóżmy, że układ fundamentalny rozwiązań
≤ ||Ψk(t) -Ψk(rj)||+||Ψk(rj) -Ψl(rj)|| + ||Ψl(rj) - Ψl(t) || <
ϕ(t) = H^-1 ( ∫ to; t] a(s) ds ) dla t∈(t, to],
||z(t;r.s) –z(t;to,xo)|| ≤ [||s-xo|| +Co|r-to|] exp [L(b-a)],
{ϕ1,...,ϕn} równania (2.15) L[y]=0, o współczynnikach
< E/3 + E/3 +E/3 = E, co oznacza, że ciąg {Ψm} spełnia
ϕ(t) = λ dla t∈(to, β).
t∈[a,b]. Nierówność (1.45) jest więc spełniona dla
rzeczywistych ma postać:
jednostajny warunek Cauchy'ego na [a, b]. Jest więc
Funkcja ϕ jest rozwiązaniem problemu początkowego (1.16),
C = max{1,Co}exp[ L(b-a)]. Dowód twierdzenia jest ukończony.
ϕ1 = u1 +iv1, ϕ2 = u1 – iv1,
jednostajnie zbieżny na [a,b]. Dowód tw.jest ukończony. [].
różnym od funkcji stałej z(t) = λ, t∈(α,β). Analogicznie
ϕ3 = u2 +iv2, ϕ4 = u2 – iv2, ...
postępujemy, gdy a(to) > 0 oraz w przypadku, gdy rozbieżna
[09] Różniczkowalność rozwiązań względem warunków
ϕ2k-1 = uk +ivk, ϕ2k = uk – ivk,
[24] Istnienie E- przybliżonych rozwiązań.
jest druga z całek w (1.17). Dowód twierdzenia jest ukończony.
początkowych. HADAMARDA Twierdzenie 1.26 Jeśli
ϕ2k+1,...,ϕn są funkcjami rzeczywistymi.
Tw.3.9 Zakładamy, że
1) f : [a, b] x IRn --> IRn jest funkcją ciągłą,
Wtedy funkcje rzeczywiste
1) D ={(t,x)∈R^(l+n) : t∈[to-a, to+a], ||x-xo||≤b} i f∈C(D, Rn ),
[04] Nierówność Gronwalla. Twierdzenie 1.12 Jeśli
2) istnieje macierz poch.cząstkowych [dxj fi(t,x)] (i,j = 1,...,n) =
(2.17) {u,v1,u2,v2,...,uk,vk,ϕ2k+1,...,ϕn}
2) M= max {||f(t,x)||: (t,x)∈D}, M >0 i h = min {a, b/m}.
1) u∈C([a, b], IR) i Γ∈C([a,b],IR+), gdzie [a,b]⊂IR,
= dx f(t,x), (t,x)∈[a,b]xIRn, i dx f∈C([a,b] x IRn, Mnxn), to
stanowią układ fundamentalny rozwiązań równania (2.15).
Wtedy każdego E > 0 ∃ E- przybliżone rozwiązanie zagadnienia
2) to∈[a,b] i ∃ C∈IR+, takie że
f(t,x) – f(t,x) = ∫ 0;1] dx f(t,x+r(x-x)) dr(x-x).
DOWÓD. Łatwo sprawdzić, że
Cauchy 'ego(3.3). Jest ono określone no przedziale [to-h, to+h].
u(t) ≤ C + | ∫ to; t] Γ(s) u(s) ds|, t∈[a,b], to
DOWÓD. Niech G(r) = f(t, rx + (1-r)x), r∈[0,1].
W[ϕ1,...,ϕn](t) = (-2t)^k
Dowód. Niech m∈N i h>0 będą tak wybrane, aby mh=h. Ciąg
(1.23) u(t) ≤ C exp [| ∫ to; t] Γ(s)ds|] dla t∈[a,b].
Wówczas G’(r) = dx f(t,rx +(1-r)x)(x-x).
W[u1,v1,u2,v2,...,uk,vk,ϕ2k+1,...,ϕn](t), t∈R.
liczb {t-m, t-m+1,...,to,....,tm-1,tm} oraz ciąg wektorów
DOWÓD. Wykażemy najpierw tezę (1.23) dla t∈[to, b].
Zatem f(t,x)-f(t,x) = G(1) – G(0) = ∫ 0;1] G’(r) dr =
Ponieważ W[ϕ1,...,ϕn ](t) ≠ 0 dla t∈R, wiec funkcje (2.17) są
{x^(-m), x^(-m+1),...,x^(0),...., x^(m-1), x^(m)}, x^(k) ∈IRn,
Definiujemy Ψ(t) = C + ∫ to;t] Γ(s) u(s) ds, t∈[to, b].
= ∫ 0;1] dx f(t, x + r(x-x)) dr (x-x),
liniowo niezależnymi rozwiąż.rów.(2.15), co kończy dowód.
Def.następująco: tk = to+kh, k= -m, -m+1,...,0,....,m-1,m
Wtedy Ψ’(t) = Γ(t)u(t)≤Γ(t)Ψ(t) {W. Ψ’(t) - Γ(t) Ψ(t) ≤ 0,
co kończy dowód twierdzenia. []
Tw. 2.27 Załóżmy, że. liczby {r1,r2,...,rp} są różnymi pierwiast-
Oraz x^(0) = xo, x^(k) = x^(k-1) + hf(tk-1, x^(k-1)),
t∈[to, b]} oraz
kami (IR lub IC) wielomianu charakterystycznego F i mają
x^(-k) = x^(-k+1) -hf(t-k+1, x^(-k+1), gdzie k=1,...,m.
Ψ’(t) exp ( - ∫ to; t] Γ(s) ds ) - Γ(t)Ψ(t) exp (-∫ to; t] Γ(s)ds) ≤ 0,
[10] Zagadnienie Cauchy’ego dal układów liniowych.
krotności, odpowiednio, {m,m2,...,mp}
Wykażemy poprawność definicji ciągu {x^(k)}. Ponieważ
dla t ∈[to,b]. Stąd wynika, że d/dδ [Ψ(δ) exp(-∫
(2.1)
to;δ] Γ(s)ds)]≤0,
z’(t) = A(t) z(t) + g(t),
oraz m1 + m2 + ... + mp = n. Wówczas rodzina funkcji
(to,x^(0))∈D), więc wektory x^(1) = x^(0) +hf(to, x^(0)) i
δ∈
(2.2) z(to) = xo.
[to, b]. Całkując tę nierówność na przedziale [to, t] i biorąc
ϕ1.1(t) = exp [r1 t], ϕ1.2(t) = t exp [r1 t],..., ϕ1m1(t) =
x^(-1) = x^(0) – hf(to, x^(0)) są określone i || x^(1) –xo||≤b,
Twierdzenie 2.1 Załóżmy, że
pod uwagę, że Ψ(to) = C, otrzymujemy Ψ(t) ≤
= t^(m1-1) exp [r1 t],
|| x^(-1) –xo|| ≤ b. Załóżmy, że wektory
≤
1) A ∈C((a,b),Mnxn), g∈C((a,b),IRn), 2)(to,xo)∈(a,b)xIRn.
ϕ
C exp (∫ to; t] Γ(s)ds), t∈[to, b].
2.1(t) = exp [r2 t], ϕ2.2(t) = t exp [r2 t],..., ϕ2m2(t) =
x^(-k),...,x^(0),...,x^(k) istnieją i || x^(j) -xo||≤b
Wówczas zagadnienie Cauchy'ego (2.1), (2.2) ma dokładnie
Stąd i założenia 2) wynika oszacowanie (1.23) dla t ∈[to, b].
= t^(m2-1) exp [r2 t], ....
dla j= -k,... ,0,... ,k. Wówczas x^(k+1) i x^(-k-1) można
jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to istnieje na przedziale (a,b).
Załóżmy, że t∈[a, to]. Niech
ϕp.1(t) = exp [rp t], ϕp.2(t) = t exp [rp t],..., ϕpmp(t) =
wyznaczyć i || x^(k+1) –xo|| ≤ h(k+1)M ≤ b,
DOWÓD. Niech [α,β]⊂(a,b) będzie takim przedziałem, że
(1.24) u(t) = u(2to -t), t∈[to, 2to-a]. {W. to+(to – a)}
= t^(mp-1) exp [rp t],
|| x^(-k+1) –xo|| ≤ h(k+1)M ≤ b,
to∈[α,β]. Udowodnimy, że istnieje rozwiązanie problemu (2.1),
Ponieważ warunki t∈[to, 2to-a] i 2to -t∈[a, to]
stanowi układ fundamentalny rozwiązań równania (2.15).
co kończy dowód indukcyjny poprawności definicji.
(2.2) na [α,β] i jest ono jedyne. Rozważmy funkcję
równoważne, więc definicja (1.24) jest poprawna i spełniona jest
Twierdzenie to jest konsekwencją lematów 2.24 i 2.26.
Niech Φ(m):[to-h, to+h]-->IRn będzie funkcją daną wzorami
f : [α,β] x IRn -> IRn, daną wzorem f(t,x) = A(t)x + g(t).
nierówność całkowa
Φ(m)(t) = x^(k) +(t-tk)f(tk, x^(k)) dla tk≤t≤tk+1,
Sprawdzimy, że f spełnia założenia twierdzenia Picarda-Lindelofa
u(2to –t) = u(t) ≤ C + ∫ to; t] Γ(2to -ξ) u(ξ)dξ, t∈[to, 2to -a].
Φ(m)(t) = x^(-k) + (t –t-k) f(t-k, x^(-k) ) dla t-k-1 ≤ t ≤ t-k,
na [α,β]xIRn. Ciągłość f jest widoczna. Wykażemy, że spełnia
[18] Twierdzenie Liouville’a (2.34) z’(t) = A(t)z(t)
Z udowodnionej już nierówności (1.23) dla t∈[to, 2to -a]
gdzie k= 0,1,...,m-1. Funkcję Φ(m) nazywamy łamaną Eulera.
ona globalny warunek Lipschitza względem drugiej zmiennej.
Tw.2.31 Jeśli A∈C((a,b),Mnxn), to∈(a,b) i {ϕ1,...,ϕn} jest
otrzym., że u(t) ≤ C exp [ ∫ to;t] Γ(2to -ξ)dξ], t∈[to, 2to –a],
Udowodnimy, że przy odpowiednim wyborze parametru h jest
Niech L = max {||A(t)|| : t∈[α,β]}. Wówczas || f(t,x) – f(t,x)||
układem rozwiązań dla (2.34), to
czyli u(2to –t) ( C exp [ ∫ to; t] Γ(2to -ξ)dξ] =
ona E- przybliżonym rozwiązaniem zagadnienia (3,3).
= ||A(t)(x-x)|| ≤ ||A(t)|| ||x-x|| ≤ L ||x-x|| na [α,β]xIRn.
(2.35) W(t) = W(to) exp [∫ to;t] Tr(s) ds], t∈(a,b),
= C exp [- ∫ to; 2to-t] Γ(δ)dδ,], t∈[to, 2to –a].-
Funkcja Φ(m) ma następujące własności:
Z twierdzenia 1.22 wynika, że zagadnienie (2.1), (2.2). ma
Gdzie Tr(s) = Σ i=1;n] aii(s), s∈(a,b).
Marny zatem u(t) ≤ C exp [|∫ to; t] Γ(δ)dδ|], t∈[a, to],
1) Φ(m)∈C([to-h, to+h],IRn) i Φ(m) (to) = xo,
dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie istnieje na przedziale
DOWÓD. Wykażemy, że (2.36) W’(t) = W(t)Tr A(t), t∈(a,b).
co oznacza, że oszacowanie (1.23) jest prawdziwe dla
2) pochodna funkcji Φ(m) istnieje dla t∈[to-h, to+h]\Q,
[α,β]. Ponieważ przedział [α,β]⊂(a,b) jest wybrany dowolnie,
[ϕ1 1(t) ϕ1 2(t) ... ϕ1 n(t) ]
t ∈ [a, to]. Dowód twierdzenia jest więc ukończony.[]
gdzie Q ={t-m,...,to,....,tm} i funkcja d/dt Φ(m) jest
byleby tylko to∈[α,β], więc rozwiązanie problemu Cauchy'ego
[ϕi-1 1(t) ϕi-1 2(t) ... ϕi-1 n(t) ]
przedziałami stałą. Ustalmy E>0. Ponieważ f jest jednostajnie
istnieje na (a, b) i jest jednoznaczne.
Wi(t) = Det[ϕ ’ i 1(t) ϕ ’ i 2(t) ... ϕ ’ i n (t) ]
(1.22) z’(t) = f(t,z(t)), z(to) = xo
ciągła na D, więc istnieje µ(E)> 0, takie że zachodzi implikacja
[ϕ i+1 1(t) ϕ i+1 2(t) ... ϕ i+1n(t)] (...)
[05] Twierdzenie Picarda. Twierdzenie 1.13 Zakładamy, że
|t-t|<µ(E) i ||x-x||<µ(E) ==> ||f(t,x) – f(t,x)||<E,
[11] Zagadnienie Cauchy’ego rozwiązań od warunków
[ϕ n 1(t) ϕ n 2(t) ... ϕ n n(t) ]
D = {(t,x), |t-to|<a, ||x-xo||≤b}
gdzie (t,x), (t,x)∈D. Przypuśćmy, że odcinek [to-h, to+h] jest
początkowych.
Wówczas pochodna funkcji W wyraża sie wzorem
1)f∈C(D,Rn), M = max {||f(t,x)|| : (t,x)∈D}, M>0 i
podzielony na podprzedziały o długości h, spełniającej warunek
(2.2) z(to) = xo. (2.3) y^(n) *(t) +p(t)y^(n-1) (t) +...+ pn-
(2.37) W’(t) = Σ i=1;n] Wi(t), t∈(a,b).
h=min (a, b/M),
h< min {µ(E) , µ(E)/M}. Wówczas dla t∈[t-k-1, t-k] lub dla
1 (t) y’(t) +pn(t) y(t) = f(t).
Rozpatrzmy wiersz o numerze i wyznacznika Wi, Ponieważ
2) istnieje L∈IR+, takie że dla (t,x), (t,x)∈D, mamy
t∈[tk, tk+1] mamy: |t- t-k| ≤ h < µ(E), |t –tk|≤h<µ(E)
(2.4) y(to) = xo, y’(to) = xo,...,y^(n-1) (to) = xn-1
{ϕ1,...,ϕn} jest układem rozwiązań dla (2.34), więc mamy
||f(t,x) – f(t,x)|| ≤ L||x-x||.
oraz ||Φ(m) (t) –x^(k)|| ≤ |t-tk| ||f(tk, x^(k)|| ≤ hM < µ(E),
(2.5) z’(t) = A(t) z(t) + g(t), z(to) = x.
ϕ ’ i 1(t) = ai i(t) ϕi 1(t) + Σ k=1,k≠i;n] ai k (t) ϕk 1 (t), (...)
Wtedy ∃ dokładnie jedno rozwiązanie zagadnienia (1.22).
t∈[tk, tk+1],
Twierdzenie 2.2 Przypuśćmy, że
ϕ ’ i n(t) = ai i(t) ϕi n(t) + Σ k=1,k≠i;n] ai k (t) ϕk n (t),
Rozwiązanie to jest określone na przedziale [to - h, to + h].
||Φ(m) (t) –x^(-k)|| ≤ |t -t-k| ||f(t-k, x^(-k)|| ≤ hM <µ(E),
p,p2,...,pn :(a,b) -->IR i f:(a,b) -->IR. Jeśli ϕ : (a, b) -> R jest
gdzie t ∈ (a,b). Rozłóżmy wyznacznik Wi(t) na sumę dwu
DOWÓD. Rozważmy równanie całkowe
t∈[t-k-1, t-k]. Jeśli więc t∈(tk, tk+1), to
rozwiązaniem zagadnienia (2.3), (2.4), to funkcja
wyznaczników, biorąc za podstawę powyższe równości.
(1.25) z(t) = xo + ∫ to;t] f(s, z(s))ds.
||d/dt Φ(m) (t) -f(t, Φ(m) (t) )|| =
u(t) = (ϕ(t), ϕ’(t),....,ϕ^(n-1) (t))T, t ∈(a,b),
Otrzymamy wtedy Wi(t) = aii (t) W(t), i=1,....,n.
Otrzymaliśmy je przez, całkowanie równania różniczkowego w
= ||f(tk, x^(k) ) – f(t,Φ(m) (t) )|| < E.
jest rozwiązaniem zagadnienia (2,5).
Stąd i z (2.37) mamy równość (2.36).
(1.22) i uwzględnienie warunku początkowego.
Dla t∈(t -k-1, t-k) mamy też ||d/dt Φ(m) (t) -f(t, Φ(m) (t) )||
Jeśli u = (u1,...,un)T : (a, b)--> Rn jest rozwiązaniem problemu
Z (2.36) wynika, że funkcja W : (a,b)-> R jest rozwiązaniem
Funkcję u:[α,β] --> Rn, gdzie [α,β]⊂ [to –a, to+a] i to∈[α,β],
= ||f(t -k, x^(-k) ) – f(t,Φ(m) (t) )|| < E. Oznacza to, Φ(m)
(2.5), to ϕ= u1 jest rozwiązaniem zagadnienia (2.3), (2.4).
równania liniowego w’(t) = w(t)Tr(t), t∈(a,b).
nazywamy rozwiązaniem równaniu (1.25), jeśli u∈ C([α,β],IRn),
jest E- przybliżonym rozwiązaniem zagadnienia (3,3) na [to-h,
DOWÓD, Jeśli ϕ:(a,b)-> R jest rozwiązaniem zagadnienia (2.3),
Stąd otrzymujemy tezę (2.35).
(t, u(t))∈D dla, t∈[α,β] i u przeprowadza (1,25) w tożsamość na
to+h]. Dowód twierdzenia jest ukończony. [].
(2.4), to dla funkcji u = (u1,...,un)T, danej wzorami
[α,β].
u1 = ϕ, u2=ϕ’,..., un = ϕ^(n-1),
[19] Rozwiązanie ogólne dla układu liniowego.
Udowodnimy, że zagadnienie początkowe (1.22), to całkując
[25] Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań
(2.6}) mamy u’1(t) = u2(t), ......, u’n-1(t) = un(t),
(2.1) z’(t) =A(t) z(t) + g(t), (2.2) z(to) = xo,
równość
(3.3) z’ (t) = f(t, z(t)), z(to) = xo. Tw. 3.10 Jeśli f∈C(D,IRn) i
(}) u’n(t) = -p1(t) un(t) –p2(t)un-1(t) -...-pn(t) u1(t) +f(t) oraz
(2.34) z ‘(t) = A(t) z(t)
u’(t) = f(t, u(t)), t∈[α,β] , {W. ...}
M≥max{||f(t,x)|| : (t,x)∈D}, M>0, h=min{a, b/M},
u(to) = x, co kończy dowód pierwszej części twierdzenia.
Tw. 2.33 Zakładamy, że 1) A∈C((a,b),Mnxn), g∈C((a,b),IRn),
i uwzględniając warunek początkowy z (1.22), otrzymujemy
to zagadnienie (3.3) ma rozwiązanie na przedziale [to-h, to+h].
Jeśli u=(u1,...,un)T : (a,b) -> IRn jest rozwiązaniem
2) {ϕ1,...,ϕn} Jest układem fundamentalnym rozwiązań układu
(1.26) u(t) = xo + ∫ to, t] f(s, u(s)) ds, t∈[α,β],
DOWÓD. Rozpatrzmy równanie całkowe
zagadnienia (2.5), to zachodzą równości (2.6) i dla ϕ=u1 mamy
jednorodnego (2.34),
co oznacza, że u jest rozwiązaniem równania (1.25) na [α,β].
(3.4) z(t) = xo + ∫ to;t] f(r,z(r)) dr
(2.7) u1=ϕ, u2=ϕ’, u3=ϕ’ , ..., un =ϕ^(n-1)
3) Ψ = (Ψ1,...,Ψn)T : (a,b) ->IRn jest rozwiązaniem układu
Przypuśćmy teraz, że u : [α,β]-->IRn spełnia równanie całkowe
w zbiorze funkcji ciągłych na [to-h, to+h]. Łatwo wykazać, że
oraz ϕ^(n) (t) = -p1(t) ϕ^(n-1) (t) -p2(t) ϕ^(n-2) (t) -...
(2.1). Wówczas rodzina funkcji
(1.25). Wtedy spełniona jest równość (1.26), z której wynika, że
zagadnienie Cauchy'ego (3.3) jest równoważne z równaniem
...-pn(t) ϕ(t) +f(t), t∈(a,b),
ϕ(t,c) = c1ϕ1(t) +...+ cnϕn(t) + Ψ(t), t∈(a,b),
u(to) = xo i u'(t) = f(t, u(t)) dla t ∈[α,β].
(3.4). Udowodnimy istnienie rozwiązania równania (3.4).
co oznacza, że funkcja ϕ spełnia równanie (2.3) na (a, b). Z
gdzie ci∈R, 1≤t≤n, jest rozwiązaniem ogólnym układu liniowego
Udowodnimy istnienie rozwiązania równania (1.25) na przedziale
Niech {Em} będzie nieskończonym ciągiem liczbowym, takim że
(2.7) wynika, że ϕ spełnia warunek początkowy (2.4). Dowód
(2.1) w tym sensie, że
[to-h, to+h]. Rozpatrzmy nieskończony ciąg funkcji {ϕm},
Em>0 dla m∈IN i lim{} Em=0. Oznaczmy przez {Φ(*,Em)} ciąg
twierdzenia jest ukończony.
(i) dla każdego układu stałych c1,..., cn funkcja c1ϕ1+...+cn+Ψ
określony następująco: (1.27) ϕo(t) = xo, t∈[to-h, to+h],
łamanych Eulera, będących Em-przybliżonymi rozwiązaniami
jest rozwiązaniem układu (2.1),
(1.28) ϕm+1(t) = xo + ∫ to; t] f(s, ϕm(s)) ds, m≥1.
zagadnienia (3.3) na [to-h, to+h]. Wtedy {Φ(*,Em)} jest
[12] Układy fundamentalne rozwiązań dla równań
(ii) dla dowolnego warunku początkowego (2.2), gdzie
Wykażemy, że funkcje ϕm, m≥0, są określone na przedziale
ciągiem wspólnie ograniczonym na [to-h, to+h] oraz
liniowych n-tego rzędu. (2.8) y^(n) (t) +p1(t) y^(n-1) (t)
(to,xo)∈(a,b)xIRn, istnieje układ stałych c,...,cn, taki ze
[to-h, to+h]. Własność ta jest równoważna z warunkiem
Φ(t,Em) -Φ(t,Em) = (t-t) f(tk, x^(k) ) dla t,t∈[tk, tk+1],
+...+ pn-1 (t) y’(t) +pn(t) y(t) = 0
rozwiązanie c1ϕ1+...+cnϕn+Ψ, układu (2.1) spełnia war.(2.2).
(1,29)
Φ
(t, ϕm(t))∈D dla t∈[to-h, to+h].
(t,Em) -Φ(t,Em) = (t-t) f(t-k, x^(-k) ) dla t,t∈[t-k-1, t-k],
Przyjmijmy następującą definicję. Zespól funkcji {ϕ1,...,ϕn},
DOWÓD. Wykażemy warunek (i). Z założeń 2) i 3) wynika, że
Jest on spełniony dla m = 0. Załóżmy, że dla pewnego m ≥ 0
Mamy więc oszacowania ||Φ(t,Em) -Φ(t,Em)|| ≤ M|t-t|
stanowiący liniowo niezależne rozwiązania równania (2.8),
ϕ’(t,c) – A(t) ϕ(t,c) –g(t) =
mamy (t, ϕm(t))∈D dla t∈[to-h, to+h]. Wówczas
dla t,t∈[tk, tk+1] lub t,t∈[t-k-1, t-k]. Stąd łatwo wynika, że
nazywamy układem fundamentalnym rozwiązań tego równania.
= Σ i=1;n] c1[ϕ’ i(t) –A(t)ϕi(t)]+Ψ’(t) –A(t)Ψ(t) –g(t) = 0
||ϕm+1(t) –xo|| ≤ M|t-to|≤b dla t∈[to-h, to+h],
funkcje ciągu {Φ(*,Em)} spełniają jednostajny warunek
Twierdzenie 2.8 Jeśli pi ∈ C((a,b),R) dla 1≤i≤n, to istnieje układ
dla t∈(a,b), co kończy dowód własności (i).
co kończy dowód indukcyjny warunku (1.29).
Lipschitza na przedziale [to-h, to+h] ze stalą M. Zatem
fundamentalny rozwiązań równania (2.8),
Wykażemy warunek (ii). Zauważmy, że spełnienie warunku
Wykażemy, że ciąg {ϕm} jest jednostajnie zbieżny na przedziale
{Φ(*,Em)} jest ciągiem funkcji jednakowo ciągłych na
Dowód. Oznaczmy przez {ϕ1,...,ϕn} rozwiązania równania
początkowego (2.2) przez ϕ( ■, c) jest równoważne ze
[to-h, to+h]. W tym celu udowodnimy oszacowanie
[to-h, to+h]. Z twierdzenia Atzcli-Ascoliego wynika, że istnieje
(2.8), określone przez następujące warunki początkowe:
znalezieniem takiego wektora c = (c1,... cn)T, że
(1.30) ||ϕm(t) -ϕm-1(t)||≤ M (L^m-1 |t-to|^m /m!) dla
ϕ
podciąg zbieżny jednostajnie na [to-h, to+h]. Oznaczmy ten
1: y(to)=1, y’(to)=0,...,y^(n-2) (to) = 0, y^(n-1) (to) = 0,
Φ(to)c +Ψ(to) = xo.
t∈[to-h, to+h], gdzie m ≥ 1, Łatwo sprawdzić, że nierówność ta
podciąg znowu przez {Φ(*,Em)}. Niech Φ(t)=lim{} Φ(t,Em),
ϕ2: y(to)=0, y’(to)=1, y’’(to)=0,...,y^(n-2) (to) = 0, y^(n-1) (to)
Ponieważ Det Φ(t0)≠0, więc powyższy układ liniowy ma
jest prawdziwa dla m = 1. Załóżmy teraz , oszacowanie (1.30)
t∈[to-h, to+h]. Wówczas Φ∈C([to-h, to+h],IRn).
= 0, ...
dokładnie jedno rozwiązanie. Dowód twierdzenia jest ukończony.
dla pewnego m ≥ 1. Wówczas ||ϕm+1(t) -ϕm(t)|| ≤
ϕ
Definiujemy funkcje αm: [to-h, to+h]-->IRn następująco:
n: y(to)=0, y’(to)=0, ...,y^(n-2) (to) = 0, y^(n-1) (to) = 1.
≤ | ∫
α
to; t] ||f(s, ϕm(s)) – f(s, ϕm-1(s))||ds| ≤
m(t) = d/dt Φ(t,Em) –f(t,Φ(t,Em)),
Wów.Φ(to) jest macierzą jednostkową i W[ϕ1,...,ϕn](to) = 1. Są
[20] Definicja macierzy e^At i jej własności.
≤
jeśli t∈(tk, tk+1) lub t∈(t-k-1, t-k) dla pewnego k, -m+1≤k≤m-1,
|∫ to; t] L||ϕm(s) -ϕm-1(s)||ds|≤|∫ to;t] L^m M(|s-to|^m / m!)
to więc rozwiązania liniowo niezależne na (a, b), co kończy
Tw.2.40 Niech E ∈Mnxn oznacza macierz jednostkową A∈Mnxn.
oraz αm(t)=0 dla t=tk lub t=t-k, k=0,...,m. Wtedy
ds| = M (L^m |t- to|^m+1 / (m+1)!) , t ∈[to-h, to+h],
dowód twierdzenia.
Wówczas szereg macierzowy potęgowy
(3.5) Φ(t,Em)= yo+ ∫
co kończy dowód indukcyjny nierówności (1.30).
to;t] f(r,Φ(r,Em) )ds + ∫ to;t] αm(r)dr,
Uwaga 2.9 Z analizy dowodu twierdzenia 2.8 wynika, że
(2.40) E+ (A/1!) + (A^2/2!) +...+ (A^m/m!)+... jest zbieżny.
t∈[to-h, to+h] ; oraz ||∫ to;t] αm(r)dr || ∫ Emh,
Zauważmy teraz, że zbieżność jednostajna na przedziale
równanie (2.8) ma nieskończenie wiele układów
DOWÓD. Niech k i m będą liczbami naturalnymi. Niech, dla
t∈ [to-h, to+h]. Przechodząc do granicy przy m-->∞ w (3.5),
[to-h, to+h], ciągu {ϕm} jest równoważna zbieżności
fundamentalnych.
ustalenia uwagi, bidzie k > m. Wówczas dla sum częściowych
jednostajnej na tym przedziale szeregu funkcyjnego
stwierdzamy, że funkcja Φ spełnia równanie całkowe (3.4), co
rozważanego szeregu
kończy dowód twierdzenia Peano. [].
(1.31) ϕ0 + (ϕ1-ϕo) + (ϕ2-ϕ1) +...+ (ϕm -ϕm-1) +... .
Sk = E + (A/1!) +...+ (A^(k-1) / (k-1)!),
Wynika to z faktu, że ciąg sum częściowych szeregu (1,31) jest
[13] Rozwiązanie ogólne równań liniowych n-tego rzędu.
Sm = E + (A/1!) +...+ (A^(m-1) / (m-1)!), mamy
identyczny z ciągiem {ϕm}. Z (1.30) wynika, że wyrazy szeregu
(2.8) y^(n) (t) +p1(t) y^(n-1) (t) +...
(2.41) ||Sm –Sk|| = || (A^m/m!) +...+ (A^(k-1)/(k-1)!)|| ≤
(1.3) z’(t) +a(t)z(t) = h(t)
liczbowego
...+ pn-1 (t) y’(t) +pn(t) y(t) = 0
≤ Σ i=m; k-1] (||A||^i/i!). Ponieważ szereg liczbowy
(1.6) u(t) = xo exp ( -∫ to;t] a(s) ds),
||xo|| + M h/1! + M Lh^2 /2! +...+ M L^m-1 h^m / m! +...,
Twierdzenie 2.14 Załóżmy, że pi∈ C((a,b),R) dla 1≤ i ≤ n oraz
1 + (t/1!) +...+ (t^j / j!)+... jest zbieżny dla każdego t∈R, więc
(1.7) z(to)=0
który jest zbieżny, majoryzują odpowiednie wyrazy szeregu
f ∈ C((a,b),R). Jeśli
z oszacowania (2.41) wynika teza twierdzenia.
(1.10) z’(t) = a(t) h(z(t)),
funkcyjnego (1.31). Zatem szereg (1.31) jest jednostajnie
1) {ϕ1,...,ϕn} jest układem fundamentalnym rozwiązań równania
Tw.2.40 jest prawdziwe także dla macierzy kwadratowych o
(1.11) z(to) = xo,
zbieżny na przedziale [to-h, to+h] i istnieje ϕ = lim{m-->∞} ϕm,
liniowego jednorodnego (2.8),
zespolonych elementach. Będziemy później z tego korzystać.
(1.15) δo = inf{H(s), s∈(δ, µ)}, µo = sup{H(s) : s∈(δ, µ)} .
przy czym zbieżność jest jednostajna na [to-h, to+h].
2) Ψ jest rozwiązaniem równania (2.11), to rodzina funkcji
Sumę szeregu (2.40) oznaczamy przez e^A lub exp(A).
(1.22) z’(t) = f(t,z(t)), z(to) = xo
Rozpatrzmy ciąg funk.{Ψm}, gdzie Ψm : [to-h, to+h] -> IRn i
(2.12) Φ(t,c) = Σ i=1;n] ci ϕi (t) + Ψ(t), t∈(a,b),
Z udowodnionego twierdzenia wynika, że dla dowolnej macierzy
Ψ
(1.34) z’(t) = f(t,z(t)), z(to) = xo.
m(t) = f(t, ϕm(t)), t∈[to-h, to+h] Ponieważ f jest funkcją
c=(c1,...,cn)∈IRn, jest rozwiązaniem ogólnym równania (2,11).
A∈Mnxn i dla każdego t∈R istnieje macierz
ciągłą jednostajnie na zbiorze D, więc ciąg {Ψm} jest
Dowód. Niech L będzie operatorem różniczkowym określonym
(2.42) e^At = E + (At/1!) + ((A^2 t^2)/2!) +...
[ S P I S T R E Ś C I ]
jednostajnie zbieżny na [to-h, to+h], Przechodząc zatem do
następująco: L[z](t) z^(n) (t) +p1(t) z^(n-1) (t)+...
…. + ((A^m t^m)/m!)+.... = Σ k=0;∞] ((A^k t^k)/k!)
[I] [01] Zagadnienie Cauchy’ego dla równania liniowego.
granicy przy m-->∞ w (1.28), otrzymujemy
...+pn-1(t) z’(t) +pn(t) z(t), t∈(a,b),
Niech e^At = [bij(t)] (i,j = 1,...,n).
ϕ
[02] Zagadnienie Cauchy’ego dla r-nia rozdzielnego,
(t) = xo + ∫ to; t] f(s, ϕ(s))ds, t∈[to-h, to+h],
gdzie z jest funkcją klasy Cn na (a,b). Wówczas
Dla każdej pary indeksów (i,j), 1≤i, j≤n, funkcja bij jest sumą
przypadek regularny.
co kończy dowód istnienia rozwiązania, problemu (1.22)
L[Φ(*,c)](t) = Σ i=;n] c1 L[ϕi](t) +L[Ψ](t) = f(t), t∈(a,b).
szeregu potęgowego zbieżnego na R. Zatem pochodne b’ ij
[II] [03] Zagadnienie Cauchy’ego dla r-nia rozdzielnego,
Udowodnimy teraz jednoznaczność rozwiązania zagadnienia
Stąd wynika, że funkcja Φ(-,c), określona wzorem (2.12) jest
istnieją na R i są sumami szeregów otrzymanych przez
przypadek osobliwy.
(1.22) na dowolnym przedziale [α, β] ⊂ [to-h, to+h],
rozwiązaniem równania (2.11).
różniczkowanie szeregu (2.42). Ponieważ
[04] Nierówność Gronwalla.
zawierającym punkt to. Jeśli u, v : [α,β]-->IRn są
Przypuśćmy, że u jest rozwiązaniem równania (2.11). Określmy
(d A^i t^i) / (dt i!) = i (A^i t^i-1) / i! =
[III][05] Twierdzenie Picarda.
rozwiązaniami, to funkcja w(t) = ||(u-v)(t)||, t∈[α,β], spełnia
wektor c = (c1,....,cn)∈IRn jako rozwiązanie układu
= A (A^(i-1) t^(i-1)) / (i-1)! = ((A^(i-1) t^(i-1)) / (i-1)! ) *A,
[IV] [06] Twierdzenie Picarda – Lindelofa.
nierówność całkową w(t) ≤ |∫ to; t] Lw(s)ds|, t∈[α,β]
[ϕ1(to) ϕ2(to) ... ϕn(to) ] [c1]
Więc (d/dt) e^At = Σ i=1;∞] A (A^(i-1) t^(i-1)) / (i-1)! =
[V] [07] Zależność rozwiązań od parametrów.
Z nierówności Gronwalla wynika, że w = 0, czyli u = v. Dowód
[ϕ’1(to) ϕ’2(to) ... ϕ’n(to) ] [c2] .... =
= Σ i=1;∞] (A^(i-1) t^(i-1)) /(i-1)!) A = Ae^At = e^At A.
[08] Zależność rozwiązań od warunków początkowych.
twierdzenia Picarda jest ukończony. []
[ϕ^(n-1) 1(to) ϕ^(n-1) 2(to) ... ϕ^(n-1) n(to)] [cn]
Wykazaliśmy więc, że (2.43) (d/dt) e^At = A e^At = e^At A.
[VI] [09] Różniczkowalność rozwiązań względem warunków
[ u(to) ] [ Ψ(to) ]
początkowych. HADAMARDA
= [ u’(to) ] - [ Ψ’(to) ] ....
[10] Zagadnienie Cauchy’ego dal układów liniowych.
[u^(n-1) (to)] [Ψ^(n-1) (to) ]
[VII][11] Zagadnienie Cauchy’ego rozwiązań od warunków
gdzie to jest ustalonym punktem przedziału (a,b). Wtedy funkcja
początkowych.
Φ(t,c) = Σ i=1;n] ci ϕ(t) + Ψ(t), t∈(a,b)
[VIII][12] Układy fundamentalne rozwiązań dla równań
jest rozwiązaniem równania różniczkowego (2.11) i
liniowych n-tego rzędu.
u(to) = Φ(to,c), u’(to)=Φ’(to,c),...,u^(n-1) (to) =
[13] Rozwiązanie ogólne równań liniowych n-tego rzędu.
= Φ^(n-1) (to,c). Zgodnie z twierdzeniem o jednoznaczności
[IX] [14] Tw.Liouville’a dla równań liniowych n-tego rzędu.
rozwiązań problemu Cauchy’ego, mamy więc u=Φ(*,c), co
[X] [15] Metoda Lagrange’adla równań lin.n-tego rzędu.
kończy dowód twierdzenia. (...) Zbiór rozwiązań równania (2.8)
[XI] [16] Konstrukcja układu fundamentalnego rozwiązań dla
jest więc przestrzenią liniową wymiaru n. Jej bazą jest układ
równań n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
fundamentalny rozwiązań.
[17] Układy fundamentalne rozwiązań dla układów równań
różniczkowych liniowych.
[XII][18] Twierdzenie Liouville’a
[19] Rozwiązanie ogólne dla układu liniowego.
[XIII][20] Definicja macierzy e^At i jej własności.
[21] Konstrukcja macierzy fundamentalnej dla układu
liniowego o stałych współczynnikach.
[XIV] [22] ALGORYTM PUTZERA
[XV] [23]Twierdzenie Arzeli-Ascoliego
[XVI] [24] Istnienie E- przybliżonych rozwiązań.
[XVII][25] Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań