6. Prawa zachowania (5 stron)

Prawa zachowania to prawa, stwierdzające, Ŝe w układzie odosobnionym pewne wielkości fizyczne nie ulegają zmianie w czasie, mając zawsze tę samą wartość liczbową.

NajwaŜniejsze prawa zachowania dotyczą pędu, energii, momentu pędu, ładunku elektrycznego, liczby barionowej, liczby leptonowej. Wielkości te są stałe w kaŜdym układzie odosobnionym, bez względu na to jakie procesy zachodzą wewnątrz tego układu. Są to wielkości zachowywane bezwzględnie.

Istnienie praw zachowania jest wyrazem niezniszczalności materii w róŜnych jej postaciach oraz rozmaitych form jej ruchu.

Zasady zachowania pozwalają wydedukować wiele własności układu fizycznego bez rozwiązywania równań ruchu tego układu (równań Newtona, Maxwella czy Schrödingera).

6.1. Zasada zachowania pędu

1. Zasada zachowania pędu dla pojedynczej cząstki wynika z II zasady dynamiki,

d p

gdy F = 0

=0 czyli p = const

d t

Gdy na cząstkę nie działa Ŝadna siła lub suma działających sił jest równa zeru to pęd cząstki pozostaje stały.

2. Zasada zachowania pędu dla układu n ciał, najlepiej punktów materialnych.

Za punkt materialny moŜemy uznać obiekt o określonej masie i rozmiarach na tyle małych, Ŝe nie mają one wpływu, lub mają bardzo mały (zaniebywalny) wpływ, na rozpatrywane zjawisko fizyczne.

Na kaŜdy punkt materialny rozpatrywanego układu mogą działać siły wewnętrzne i siły zewnętrzne. Siły wewnętrzne to siły działające na dany punkt w wyniku oddziaływania z innymi punktami materialnymi tego samego układu. Siły zewnętrzne to wszystkie pozostałe siły.

n

n

p

d

i

JeŜeli na układ nie działają Ŝadne siły zewnętrzne, lub ∑

( z )

F

= 0 , to ∑

= 0

i

1

dt

i = 1

i =

Wynik ten dotyczy układu jako całości. Będzie on bardziej uŜyteczny jeŜeli wprowadzimy pojęcie środka masy.

• Środek masy układu punktów materialnych definiujemy jako punkt, którego połoŜenie

wyznaczone jest wektorem R takim, Ŝe

n

∑ m

i i

r

i =

R =

1

n

∑ m i

i =1

m r

+ r m

np. dla dwóch mas

1 1

2

2

R =

m + m

1

2

gdzie ir wektory połoŜenia punktów materialnych układu.

6/ 1

Prędkość środka masy:

R

d

V =

dt

oznaczając masę całego układu przez M = ∑ m otrzymujemy pęd środka masy

i

n

P =

: MV = ∑ p

i

i=1

Pęd środka masy jest równy całkowitemu pędowi wszystkich punktów materialnych wchodzących w skład układu.

Środek masy porusza się w taki sposób, jak gdyby w nim była skupiona masa całego układu i do niego była przyłoŜona suma wszystkich sił działających na układ.

( )

JeŜeli ∑

z

F

, to P = co s

n .

t

i

= 0

Zasada zachowania pędu:

JeŜeli suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru to pęd układu nie ulega zmianie.

Środek masy porusza się wówczas ruchem jednostajnym prostoliniowym.

6.2. Zasada zachowania momentu pędu

0

0

Momentem pędu punktu materialnego względem punktu 0, leŜącego w początku układu współrzędnych, nazywa się iloczyn wektorowy wektora połoŜenia tego punktu przez wektor pędu

kg m

J = r × p [ J] = ⋅ 2

s

6/ 2

Momentem siły względem punktu 0 nazywa się iloczyn wektorowy wektora połoŜenia punktu materialnego przez wektor siły działającej na ten punkt

2

kg ⋅ m

M = r × F

[M] =

2

s

Momentem pędu układu punktów materialnych nazywa się sumę momentów pędu wszystkich punktów, oczywiście względem tego samego punktu 0

n

J = ∑ Ji

i=1

MoŜna pokazać, Ŝe:

n

J

d = ∑ ( z

M )

( z )

( z )

M

= r × F

i

gdzie

dt

i

i

i

i=1

Wszystkie momenty sił muszą być liczone względem tego samego punktu !

Zasada zachowania momentu pędu :

JeŜeli całkowity moment sił zewnętrznych działających na układ jest równy zeru to moment pędu układu nie ulega zmianie.

Dotyczy to układów, w których spełniona jest III zasada dynamiki Newtona, czyli takich, w których siły działające między dowolną parą cząstek są skierowane wzdłuŜ łączącej je prostej i spełniają zasadę równej akcji i reakcji. W takim przypadku momenty sił znoszą się nawzajem.

Moment pędu układu punktów materialnych względem dowolnego, ustalonego punktu moŜna traktować jako sumę momentu pędu środka masy JSM względem tego punktu i momentu pędu wszystkich punktów względem środka masy J’.

J = J

+ J'

SM

(Moment pędu układu zaleŜy od wyboru punktu względem którego jest liczony.)

6.3. Zasada zachowania energii

Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie ulegająca zmianie podczas róŜnorodnych przemian, które zachodzą w przyrodzie.

Energia moŜe występować w róŜnych postaciach. Mamy energię potencjalną, energię kinetyczną, grawitacyjną, spręŜystą, cieplną, elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową i energię masy.

6/ 3

1. Energia potencjalna

Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym kaŜdemu punktowi P jest jednoznacznie przyporządkowana pewna wielkość A(P).

Pole jest stacjonarne jeŜeli nie zmienia się w czasie.

Pole sił - obszar przestrzeni w którym kaŜdemu punktowi przyporządkowany jest pewien wektor określający, jaka siła działałaby na dane ciało gdyby umieszczono je w tym punkcie.

→

→

Praca wykonana przez siłę F przy przesunięciu ciała o element przyrostu drogi d s :

→

→

dW = F d s

→

→

gdzie ds jest na tyle małe, Ŝe F = const. Jednostką pracy jest 1 Joule [1J =1Nm]

Całkowita praca przy przesunięciu ciała z punktu A do punktu B

B →

→

W

F r

( ) d s

AB = ∫

A

W ogólnym przypadku praca ta zaleŜy od drogi po której przemieszcza się ciało: W ≠

≠

s1 Ws2 Ws3 .

Siły których praca zaleŜy tylko od połoŜenia punktu początkowego i końcowego, a nie zaleŜy od drogi po jakiej została wykonana, nazywamy siłami zachowawczymi, a odpowiadające im pola polami zachowawczymi. Przykładami sił zachowawczych są siły grawitacyjne i elektrostatyczne.

W zachowawczym polu sił praca po drodze zamkniętej jest równa zeru.

→ →

→

∫ F( r) d s = 0

PoniewaŜ praca jest wielkością skalarną a jej wartość zaleŜy tylko od współrzędnych punktów początkowego i końcowego, to moŜemy określić pewną funkcję skalarną V określoną we wszystkich punktach pola taką, Ŝe

→

→

W

V r

V r

AB =

( )

A

− ( )

B

lub w uproszczeniu WAB = VA - VB oraz

B

V

V

F ( r) ds

A −

B = ∫

A

Dla punktów bardzo blisko połoŜonych dW= − dV czyli dV = −

Fds

→

podstawiają c d s = ˆ d

x x + ˆ d

y y + d

zˆ z otrzymuje się :

dV = - ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )

st

→

ą d



∂ V

∂ V

∂ V 

F = −

ˆ

 x

+ ˆ y

+ ˆ z





∂ x

∂ y

∂ z 

→

lub w postaci operatorowej



∂

∂

∂ 

F = − ˆ

 x

+ ˆ y

+ ˆ z

 V

 ∂ x

∂ y

∂ z 

6/ 4

→ →

→

Mamy zatem F ( r ) = − grad V ( r )



∂

∂

∂ 

gdzie g ra d ≡ ∇ ≡

ˆ

 x

+ ˆ y

+ ˆ z

 ,



∂ x

∂ y

∂ z 

Operator ten, nazywany gradientem, przetwarza funkcje skalarną w funkcję wektorową.

→

→ →

Wielkość V ( r ) nazywamy energią potencjalną, a siłę F ( r ) siłą potencjalną.

Energia potencjalna jest określona z dokładnością do stałej. JeŜeli do energii potencjalnej we wszystkich punktach dodamy dowolną stałą V’ = V + A to VA’ - VB’ = VA - VB i V’ teŜ spełnia równanie V ' V

− '= W .

A

B

AB

śeby energia potencjalna była określona jednoznacznie trzeba ustalić jej wartość w którymś punkcie, np. przyjąć , Ŝe V(∞ )= 0 , wówczas energia potencjalna w punkcie A wynosi:

∞

V

F ( r) ds

A = ∫

A

2. Energia kinetyczna

JeŜeli ciało o masie m porusza się z prędkością v to związana jest z tym pewna energia, nazywana 1

2

energią kinetyczną.

T =

mv

2

Zasada zachowania energii mechanicznej

JeŜeli siły działające na kaŜdy z punktów materialnych układu odizolowanego są siłami zachowawczymi to całkowita energia mechaniczna układu, E = T + V, nie ulega zmianie.

Gdzie T- oznacza sumę energii kinetycznych wszystkich punktów układu, a V sumę energii potencjalnych.

Istnieje wiele sił dla których nie moŜna określić potencjału:

•

→

→

→

siła Lorenza, F = q v× B , jest zawsze prostopadła do kierunku ruchu cząstki nie wykonuje więc Ŝadnej pracy

• siły niepotencjalne (siły tarcia i oporu ośrodka), które powodują straty energii mechanicznej.

6/ 5