Geometrie nieeuklidesowe powstały w wyniku rozważań nad piątym postulatem Euklidesa, zob.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Elementy. Był on wyraźnie bardziej skomplikowany od pozostałych
czterech. Dlatego wielu geometrów próbowało go z nich wyprowadzić. Zamiast tego udało się jedynie
znaleźć nauczany dziś w szkole aksjomat o równoległych będący prostszym równoważnikiem piątego
postulatu. W 1733 włoski filozof, teolog i matematyk, Giovanni Girolamo Saccheri próbował
udowodnić piąty postulat nie wprost. Tzn. zaprzeczając piątemu postulatowi starał się uzyskać
sprzeczność z czterema pozostałymi (co, na mocy prawa kontrapozycji i twierdzenia o dedukcji,
dowodziłoby, że piąty postulat wynika logicznie z pozostałych czterech). Zamiast sprzeczności uzyskał
twierdzenia geometrii nieeuklidesowej (dokładniej: twierdzenia geometrii hiperbolicznej, w której suma
kątów w trójkącie jest mniejsza od 2π – i to tym mniejsza, im większe pole trójkąta – oraz sprzeczne
z drugim postulatem – który głosił, że prostą można dowolnie przedłużać – twierdzenia geometrii
eliptycznej, w której suma kątów w trójkącie jest większa od 2π). Odkrywszy geometrię
nieeuklidesową, Saccheri natychmiast zakrył ją z powrotem. Mimo braku sprzeczności, odkryte przez
siebie twierdzenia odrzucił jako niezgodne „z naturą linii prostych”. Naturą, której źródeł kilkadziesiąt
lat później Kant dopatrzył się w apriorycznej formie przestrzeni.
Geometria hiperboliczna została powtórnie odkryta przez rosyjskiego matematyka, Nikołaja
Iwanowicza Łobaczewskiego (1829). Toteż później została nazwana jego imieniem, aczkolwiek za
życia jego dzieło nie doczekało się uznania, a sam Łobaczewski uchodził na Uniwersytecie
Moskiewskim za, łagodnie mówiąc, dziwaka. Więcej szczęścia miał węgierski zawodowy oficer
wojskowy, János Bolyai, który dopisał rozdział (1832) na temat możliwości geometrii
nieeuklidesowych do traktatu autorstwa jego ojca, znanego matematyka. Pomysły Bolyai zostały
zaakceptowane przez Carla Friedricha Gaussa, zwanego w jego czasach „księciem matematyków”.
Gauss utrzymywał, że odkrył geometrię nieeuklidesową wcześniej, ale milczał w obawie przed
„wrzaskiem barbarzyńców”. Jest to o tyle wiarygodne, że w tym czasie Gauss pracował nad geometrią
powierzchni zakrzywionych, w której tzw. linie geodezyjne (realizujące najkrótsze połączenia między
punktami) zachowują się podobnie, jak proste nieeuklidesowe.
Wydaje się, że geometrie nieeuklidesowe doczekały się poważnego potraktowania dzięki temu, że
w latach 1830. nastąpił generalny zwrot w stronę empiryzmu, przez co domniemane aprioryczne
intuicje na temat „natury linii prostej” lub formy przestrzeni przestały krępować poszukiwania
alternatywnych systemów, wybór między którymi miał być kwestią empiryczną. W każdym razie
niemiecki matematyk, Georg Riemann, wyraźnie kierował się motywami empirystycznymi w słynnym
wykładzie habilitacyjnym (1854). Uogólniając wyniki Gaussa na powierzchnie o dowolnym wymiarze,
przedstawił on (nazwaną później jego imieniem) ogólną geometrię przestrzeni zakrzywionych.
Geometria euklidesowa oraz geometrie hiperboliczne i eliptyczne stanowią jej szczególne przypadki.
Ogólna geometria Reimanna utorowała drogę późniejszemu sformułowaniu przez Alberta Einsteina
jego teorii względności.
Niemiecki matematyk, Felix Klein, wysunął w Erlangen w 1872 program badania geometrii jako teorii
niezmienników pewnych grup przekształceń. Przekształceniem nazywa się dowolna funkcja, która
obiektom matematycznym, np. punktom, przypisuje tzw. ich obrazy, czyli obiekty matematyczne (np.
punkty). W szkolnym kursie geometrii rozpatruje się takie przekształcenia geometryczne, jak
przesunięcia równoległe, obroty, symetrie, jednokładności, powinowactwa prostokątne. Grupą
przekształceń nazywa się parę złożoną ze zbioru przekształceń i operacji składania przekształceń
jako działania wewnętrznego, które jest łączne, dla którego istnieje element neutralny (jest nim
przekształcenie identycznościowe, tj. takie, w którym każdy punkt jest swoim własnym obrazem) oraz
takie, że dla każdego przekształcenia z uniwersum grupy istnieje przekształcenie odwrotne, które
należy do uniwersum grupy. Niezmiennikiem grupy nazywa się taka własność, którą zachowuje
każde przekształcenie z tej grupy. To znaczy, jeżeli dany obiekt geometryczny ma tę własność, obraz
tego obiektu w dowolnym przekształceniu tej grupy też ma tę własność. Z tego punktu widzenia
geometria euklidesowa jest teorią niezmienników grupy izometrii, tj. przekształceń, które zachowują
odległość (w których obrazem dowolnej pary punktów jest para punktów o tej samej odległości).
Niezmiennikami izometrii są m.in. współliniowość (obrazem dowolnej prostej jest prosta),
współokrężność (obrazem dowolnego okręgu jest okrąg), równoległość (obrazem pary prosty
równoległych jest para prostych równoległych). Współokrężność nie jest natomiast niezmiennikiem
powinowactwa prostokątnego, w którym obrazem okręgu może być dowolna elipsa (powinowactwa
prostokątne należą do grupy przekształceń afinicznych, których niezmienniki są przedmiotem
geometrii rzutowej).
Odległość jednak można określić inaczej niż w geometrii euklidesowej. Jedyne warunki, które musi
spełniać funkcja odległości (która parze punktów przypisuje liczbę), są następujące:
1. d(A, B) ≥ 0, (d(A, A) = 0)
2. d(A, B) = d(B, A)
symetria
3. d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
nierówność trójkąta
Normalnie w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie odległość między punktami A( x A,
y A), B( x B, y B), określa się wzorem:
d2(A, B) = ( x A – x B)2 + ( y A – y B)2.
Jeśli jednak określimy odległość wzorem
d(A, B) = | x A – x B | + | y A – y B |,
otrzymamy dość dziwaczną geometrię. Weźmy, na przykład, równanie okręgu o środku w początku
układu współrzędnych i promieniu 1. Przy tak zdefiniowanej odległości ma ono postać:
| x | + | y | = 1
Wykresem tego równania jest brzeg kwadratu. Oto i geometria z kwadratowymi kołami!
Proste w tej geometrii mają kształt łamanych o odcinkach równoległych do osi układu. W ten sposób
przez dowolne dwa punkty przechodzi nieskończenie wiele prostych. Nie jest to geometria całkowicie
oderwana od rzeczywistości. Taką geometrię ma szachownica, jeśli za odległość między polami
szachownicy uznać najmniejszą liczbę posunięć potrzebnych do przesunięcia króla z jednego pola na
drugie. Podobną geometrię ma miasto, w którym każde dwie ulice są równoległe lub prostopadłe (oraz
dodatkowo szerokość ulic jest równa zero).
Odległość w geometrii hiperbolicznej można określić wzorem podanym
w http://pl.wikipedia.org/wiki/Geometria_hiperboliczna. Tam też podano kilka euklidesowych modeli geometrii hiperbolicznej. Model geometrii eliptycznej można znaleźć w http://pl.wikipedia.org/wiki/Geometria_eliptyczna.
W geometrii euklidesowej, hiperbolicznej i eliptycznej odległość jest określona jednolicie na całej
płaszczyźnie (w całej przestrzeni). Natomiast w ogólnej geometrii Riemanna odległość określona jest
tylko lokalnie – jak w terenie, w którym pagórki, doliny i przeszkody są rozmieszczone nieregularnie,
w związku z czym odległość do pokonania między dwoma punktami w różnych rejonach tego terenu
w różnym stopniu różni się od „odległości w linii prostej” (w euklidesowym sensie pojęcia prostej).
Nie w każdej geometrii pojęcie odległości jest określone. Przykładem jest geometria rzutowa.
Geometria rzutowa płaszczyzny powstaje przez dołączenie do prostej każdego kierunku (klasy
abstrakcji ze względu na relację równoległości prostych) „punktu w nieskończoności” (tj. potraktowanie
kierunku jako punkt wspólny wszystkich prostych tego kierunku). Wówczas każde dwie proste się
przecinają. Proste równoległe w sensie euklidesowym przecinają się w „punkcie w nieskończoności”.
W geometrii rzutowej nie istnieją półproste, ponieważ nie da się zdefiniować zwrotu półprostej: od
każdego punktu do każdego można przejść w sposób ciągły poruszając się zarówno „w lewo”, jak i „w
prawo” – w jednym z tych przypadków przechodząc przez „punkt w nieskończoności”.
Ponieważ w geometrii rzutowej każde dwie proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie, a przez
każde dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta, to jeżeli w dowolnym twierdzeniu geometrii
rzutowej podstawimy za „punkt” wyraz „prosta” i na odwrót oraz za „przechodzi przez” wyrażenia
„przecina się z”, otrzymamy również twierdzenie geometrii rzutowej.
Analitycznie za punkty płaszczyzny rzutowej można uznać klasy abstrakcji trójek liczb ( x, y, z) ze
względu na relację określoną następująco:
( x, y, z)R( x’, y’, z’) wtw ∃ u ≠ 0: x’ = ux, y’ = uy, z’ = uz.
W przypadku, gdy z ≠ 0, punkt [ x, y, z] można utożsamić ze zwykłym punktem euklidesowym
o współrzędnych ( x/z, y/z). Gdy z = 0, punkt [ x, y, z] można utożsamić z „punktem
w nieskończoności”, kierunkiem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i punkt
( x, y).
Do tej pory była mowa o geometrii trójwymiarowej, a dla uproszczenia rozważaliśmy głównie
geometrię płaszczyzny (dwuwymiarową). Dzięki metodzie analitycznej uogólnienie geometrii na
wyższą liczbę wymiarów nie przedstawia żadnych trudności. Wystarczy zamiast punktów o dwóch
(na płaszczyźnie) czy trzech (w przestrzeni trójwymiarowej) współrzędnych rozważać „punkty” jako
czwórki, piątki, czy nawet nieskończone ciągi współrzędnych. Figury w takich geometriach nie mają
żadnego „wyglądu”, są określone wyłącznie za pomocą równań, nierówności i ich układów. Na
przykład równanie:
A x + B y + C z + D t + E = 0
jest równaniem trójwymiarowej podprzestrzeni przestrzeni czterowymiarowej (euklidesowej). Układ
dwóch równań tej postaci, przy pewnym dodatkowym założeniu, wyznacza dwuwymiarową
podprzestrzeń tej przestrzeni (płaszczyznę), a trzech równań (przy pewnych założeniach) prostą.
Z kolei równanie
x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = r 2
jest równaniem czterowymiarowej sfery o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r.
Kolejnym uogólnieniem geometrii jest topologia – badanie niezmienników przekształceń ciągłych.
Funkcję ciągłą (w punkcie x 0) definiowaliśmy w języku epsilonowo-deltowym następująco:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀ x [| x – x 0 | < δ → | f( x) – f( x 0) | < ε]
Zastępując wartość bezwzględną różnicy liczb odległością między punktami otrzymujemy:
∀ε > 0 ∃δ > 0 [d(A, X) < δ → d(A’, X’) < ε],
gdzie A’, B’ są obrazami punktów, odpowiednio, A, B w przekształceniu f. Przekształcenie jest
ciągłe w punkcie A, jeżeli – jak mówi powyższy warunek – obraz punktu X leży dowolnie blisko
obrazu punktu A, jeżeli punkt X leży odpowiednio blisko punktu A. Jeżeli koła o środku w danym
punkcie nazwiemy otoczeniami tego punktu, można powiedzieć, że przekształcenie jest ciągłe w
punkcie A, jeżeli w dowolnym otoczeniu obrazu punktu A leżą obrazy wszystkich punktów z pewnego
otoczenia punktu A.
Zbiory, w których zdefiniowane jest pojęcie otoczenia punktu, nazywają się przestrzeniami
topologicznymi. Jeżeli otoczenie można zdefiniować za pomocą pojęcia odległości, tj. jeżeli
w przestrzeni jest określona odległość, przestrzeń topologiczna nazywa się przestrzenią metryczną.
Ale pojęcie otoczenia można uogólnić tak, aby nie każda przestrzeń topologiczna musiała być
metryczna. Zamiast pojęcia odległości wyrażającego się liczbą, wystarczy pojęcie niemetryczne
w rodzaju „bliżej niż” (bez sprecyzowania „o ile bliżej”).
Przekształcenia ciągłe można sobie wyobrazić jako rozciąganie i ściskanie bez rozrywania. Obraz
figury w przekształceniu ciągłym jest topologicznie równoważny tej figurze. Na przykład:
Figury topologicznie równoważne są zaznaczone tym samym kolorem, nierównoważne różnymi
kolorami.